LES ENSEMBLES PARFAITS PLANS

1. La plupart des géomètres qui se sont occupés des ensembles parfaits se sont, en général, limités au cas des ensembles rectilignes. Un grand nombre de propriétés de ceux-ci pouvaient d’ailleurs s’étendre immédiatement au cas de plusieurs dimensions. Mais une étude particulière de ce cas révèle l'existence de certaines propriétés nouvelles que l’étude des ensembles rectilignes ne pouvait faire con-

SUR LES FONCTIONS ANALYTIQUES UNIFORMES. à

naître, parce qu'elles perdaient, pour ceux-ci, leur signification ou leur intérêt. Une étude approfondie des ensembles à deux dimensions, par exemple, est à désirer; elle serait certainement féconde en surprises et en applications, comme d’ailleurs tout ce qui touche aux ensembles. Il ne faut pas se dissimuler que les difficultés y seraient nombreuses, et l’extrème rigueur que nécessitent les raisonnements n’est pas une des moindres.

Les quelques pages qui vont suivre n’ont pas la prétention d’être même l’ébauche d’une telle étude. J'ai seulement dû préciser, dans leur énoncé ou leur démonstration, certaines propriétés qui m'étaient indispensables dans la suite. J'y ai joint la démonstration de quelques propositions nouvelles qui m'ont paru intéressantes.

J'appelle ensemble fermé un ensemble qui contient son dérivé, et ensemble parfait un ensemble identique à son dérivé. On peut donner de ces ensembles un grand nombre d’exemples. Mais il est important d'indiquer un procédé permettant de les construire tous.

Soient E un ensemble fermé, a un point extérieur à E. On peut entourer a d’un cercle ne contenant à son intérieur (') aucun point de E. Le rayon de ce cercle a une limite supérieure 9. Sur le cercle C de centre a et de rayon p il y a au moins un point de E, car, dans le cas contraire, lout point de C serait centre d’un cercle ne contenant aucun point de E et un raisonnement bien connu montrerait que la limite inférieure des rayons de ces cercles n’est pas nulle. Il y aurait douc un cerele de centre a et de rayon plus grand que 9 ne contenant aucun point de E.

Ceci posé, supposons que E soit borné (?). Je dis qu’on peut obtenir E en excluant du plan les points intérieurs à un au moins des cercles d’une suite dénombrable de cercles.

D'abord on peut trouver un cercle C de rayon R contenant à son intérieur tous les points de E. J’exclus les points extérieurs à C. A tout point restant qui n'appartient pas à E répond, on vient de le voir, un nombre r que l’on peut appeler la distance de ce point à l'ensemble E.

(*) Le mot éntérieur est toujours pris dans son sens étroit. (2) On peut toujours se ramener à ce cas pourvu que Ë ne comprenne pas

tout le plan.