SUR LES FONCTIONS ANALYTIQUES UNIFORMES. AT

coefficient de # de la quantité complexe — = (Xs) sera positif Î

, VoeitTe ou négatif; si donc y, est dans une région D du plan, l'intégrale aura ses points critiques fixes. Dans le reste du plan deux branches se permutent autour du point critique mobile. Cependant la fonction y(7,) a une infinité de déterminations : une ou deux d’entre elles seulement sont des intégrales qui, par permutation autour du point mobile, prennent en X, la valeur y,.

Au contraire, remplaçons x par la fonction modulaire x = o(X). L'intégrale générale de la nouvelle équation sera uniforme si y, est dans une région du plan, et à deux branches dans le reste du plan. Et cependant, l'intégrale est une fonction de la constante à une infinité de branches.

Pour examiner dans quelles conditions cette circonstance peut se présenter, considérons une branche y = o(x, Los Yo) l'intégrale définie par les conditions initiales æ,, y,, Y,. Laissons x et x, fixes et faisons déplacer le point y,. Pour y,— y, il y a une branche de la

fonction ®(y,) qui coïncide avec ®. Prolongeons analytiquement cette branche : alors, ou bien, quel que soit le chemin que nous suivrons, il y aura toujours coïncidence entre (Yo) et (x, LV IQU bien il existera un point Ÿ, tel que la coïncidence ait lieu jusqu’en ce point, mais plus au delà.

Considérons les points critiques mobiles de l’intégrale

ÿ = o(æ, HE)

Les affixes de ces points dépendent analytiquement de y,. Supposons que toutes les branches de cette fonction analytique a(y,) restent pour y,— Ÿ, bien déterminées et distinctes des points 6. Ces points tendront vers des points limites qui seront les points autour desquels se permutent les différentes branches d’intégrale définies par les conditions initiales x,, Y,. Or, pour y, = Ÿ, et dans le voisinage de Y,, ces différentes branches coïncident avec des branches d’une certaine fonction f(y,), algébroïde pour y, = Ÿ,. La branche +; étant justement une de ces branches, on voit que la fonction &(y,) coïncide Z.

42 L. ZORETTI.

avec f(y,) quelque voisin que soit y, de Y, et, comme la coïncidence entre ©, et f subsiste pour y, et Y,, 9; ne cesse pas de coïncider avec @ en Ÿ,, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Comment est intervenue, dans la démonstration, l'hypothèse que les points critiques mobiles a tendent vers des limites déterminées différentes des points £? C'est que, en effet, l’on est alors assuré que les branches qui se permutent autour des points mobiles pour y, = Y, sont toutes les limites des branches qui se permutaient autour des points critiques mobiles pour y, assez voisin de Y,. Sans cela, on ne pourrait affirmer que la coïncidence entre ©,(x, Gr ad et f(Yo) a encore lieu en Ÿ,, car o;(x, æ,, Ÿ,) pourrait ne pas provenir d’une permutation autour des points critiques mobiles à partir de 9 (æ,æ,, Y,).

On voit done que la coïncidence entre les branches de l’intégrale ® et la fonction © peut cesser en Y, si le point Y, est tel que l’un ou plusieurs des points critiques mobiles tendent vers un point ë ou deviennent indéterminés.

Il n’en résulte pas que, nécessairement, la coïncidence cesse dès qu'il existe de tels points YŸ,. Parmi ces points Y, il peut s’en trouver certains tels que, y, tendant vers l’un d’eux sur un chemin L, la coïncidence cesse en effet. Distinguons alors deux cas :

1° Ces points Ÿ, ne forment pas de ligne. Alors, partant de y, avec une branche quelconque de la fonction 9(y,)on pourra revenir au même point y, avec toutes les branches de la fonction © sans jamais rencontrer de tel point, car, si un chemin rencontre un point Y,, on pourra le déformer aussi peu qu'on voudra de façon à ne plus rencontrer de point Ÿ , et, d’autre part, à ne pas changer de branche. Comme on ne rencontre plus de point Y,, la coïncidence ne cesse pas d'avoir lieu entre les branches de l'intégrale y = +(x,x,, y,) et de la fonction 9(y,). On pourra donc affirmer, dans ce cas, que les branches de l'intégrale épuisent toutes les branches de la fonction.

2° Les points Y, forment des lignes. Cela exige, en particulier, que les points Y, forment eux-mêmes des lignes. Dans ce cas, pour revenir au point Yo aprés en être parti, avec Loutes les valeurs de p(Y) il pourra être nécessare de décrire des chemins rencontrant des

points Ÿ,. Alors il pourra se faire que certaines branches de la fonc-

on ®(y,) soient des intégrales dont aucune branche ne prend au point #, la valeur y.

En définitive, la circonstance exceptionnelle signalée ne se présente Jamais quand les points Y, ne forment pas de ligne ; elle peut se présenter, sans avoir nécessairement lieu, quand les points Y, forment des lignes.

En se reportant à l’exemple étudié plus haut, on voit que dans le premier cas les points Y, sont les points zéro et æ. Quand y, tend vers zéro, le point critique mobile tend vers £ = +. Quand y, tend vers l'infini, ce même point est indéterminé. Dans les deux exemples suivants, les points Y, forment des lignes.

Les points YŸ, ne sont pas forcément des points algébriques de la

fonction P(Yo); mais ils ne peuvent pas être /ranscendants essentiels,

puisque les points x, et x sont distincts des points £ et l’on sait que dans ces conditions toutes les intégrales restent déterminées.

4. Je vais maintenant me borner au cas où l'intégrale générale de l'équation différentielle donnée est une fonction à » branches au plus, permutables autour des points critiques fixes ou mobiles, et je me propose de démontrer le théorème suivant :

Tuéorëme C. — Quand l'intégrale générale d'une équation algébrique du premier ordre est une fonction à n branches au plus, elle admet autour des points critiques mobiles un nombre m de branches (m£n) qui est le même quelle que soit l'intégrale considérée, sauf exception pour un nombre fini de valeurs de la constante. De plus, l'intégrale générale est une fonction algébrique de la constante.

Je m'appuierai sur une autre proposition inédite de M. Panlevé, qui est la suivante :

Si l’intégrale générale y = o(x, &,y,) d’une équation algébrique du premier ordre admet un nombre fini de branches, les points critiques mobiles de l’intégrale ne peuvent ètre indéterminés pour aucune valeur de la constante y,.

41 L. ZORETTI.

Considérons les points Y, pour lesquels les points critiques mobiles tendent vers des points £ ou sont indéterminés. Il faut démontrer que la seconde hypothèse ne peut se présenter.

Supposons que le point y, tende vers Y, d’une façon quelconque. Il arrive alors que deux branches

vor, % YO) Ve F0, (22,0)

permutables entre elles, en général, autour des points critiques mobiles, cessent de se permuter si y, prend la valeur Ÿ,. Posons

ac) — 0: (2,2; va et 33 (6), =: (20, @. Ar

Les deux fonctions 3,(x) et 3,(x) ne se permuteront plus autour des points critiques mobiles, ni d’ailleurs, en général, autour des points critiques fixes : ce sont deux fonctions analytiques distinctes.

Quand y, est voisin de Ÿ, sans se confondre avec Ÿ,, il existe un point du plan des +, soit a(y,), tel que, æ tournant autour de a, on passe de o,(x) à ow,(æ) et toute la question est de savoir ce que devient ce point & quand y, tend vers Y,.

Supposons que & devienne indéterminé. Comme la fonction a (y,) est analytique, le domaine d’indétermination pour y, = Ÿ, est conüinu, et, s’il ne se réduit pas à un point, il comprend des points en dehors des points £; soit x — «à un de ces points-limites. Il existe des valeurs de y, assez voisines de Ÿ, pour que la différence & — « soit aussi petite qu'on veut.

Or, ce point « étant distinct des points 6, l'intégrale y = o(x, «, y) admet un nombre fini de branches toutes a/gébroïdes par rapport à Yo, pourvu que y, soit suffisamment voisin de Ÿ,. Pour chacune des branches, on pourra donc décrire un cercle de centre Y, à l'intérieur duquel la branche considérée est algébroïde, et, comme le nombre des branches est fini, on pourra, en définitive, affirmer qu'ilexiste un nombre p tel que sous la condition | y, — Y,|<p toutes les branches de l'intégrale &(x, «, y,) sont algébroïdes. De même, toutes les branches de l’intégrale o(x, x,, y,) sont algébroïdes par rapport à æ, et y, dans deux cercles l’un de centre « et de rayon r, l’autre de centre Ÿ, et de rayon &.

Donnons en particulier à y, une valeur y, prise dans le cercle L'ARA PIEe et telle que l’on ait la(y,) — a| < = Parmi les

branches de l'intégrale o(x, a, y,) se trouvent justement les deux branches +, et ©, qui se permutent autour de a. D'autre part, les » branches de l'intégrale o(x, x,, y,) sont algébroïdes pour

jf LEE . . 72 [æe— al < - et ly, — Yo | ec £ even particulier, pOur T,—=%;, Yo — Ye

Donc les deux branches ©,, », sont deux branches d’une même fonction algébroïde pour +, = «, y,— Y,. Les deux branches z,(x), 3,(x) se permutent donc autour de &, et le point Y, est un point ordinaire, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Donc, tous les points critiques mobiles ou, si l’on veut, toutes les branches de la fonction analytique &a(y,) sont bien déterminées quel que soit Ÿ,. Donc, si l’on considère y — o(x, &y, Yo) Comme une fonction analytique de y,,, les seuls points transcendants possibles de cette fonction sont les points Y, tels que l’une des branches au moins de a( y,) tende vers un point £ quand y, tend vers Y,.

Avant d'aborder la démonstration du théorème C, je ferai encore une remarque. Étant donnée une équation algébrique du premier ordre dont l'intégrale a un nombre fini de valeurs, pour une inté-

grale déterminée y = o(x, x,, y,), ce nombre est le même en tout point x, du plan. Nous avons vu, en effet, dans le Chapitre précédent, qu’une fonction qui admet un nombre borné et variable de branches, admet certainement des coupures en dehors des points algébriques. Or, nous savons ici que les singularités de l'intégrale en dehors des points algébriques sont en nombre fini. Le résultat annoncé s’en déduit.

Abordons maintenant la démonstration du théorème C. Soit » le nombre maximum des branches de l'intégrale générale

5 4 ÆS o(x, Lo) JT

D'après ce qui précède, nous pouvons donner au point x, une position fixe, et tout revient à étudier le nombre des branches de la fonction

de +, pa, Ts Yo); suivant les différentes valeurs de y,. Il faut mon-

trer que le nombre des branches de l'intégrale qui se permutent autour des points critiques mobiles ne dépend pas de y,.

Supposons d’abord que les points Y,, pour lesquels on a a(Y,) = ée ne forment pas de lignes. Nous sommes alors certains que, pour avoir le nombre des branches de l'intégrale permutables autour des points critiques mobiles, on n’a qu'à considérer toutes les branches de la

fonction analytique o(y,) = 9(x, &,, y,). C'est une fonction à un nombre limité de branches et dont les seuls points singuliers sont des points critiques algébriques et des points Y, qui sont transcendants ordinaires. Or, une fonction ne peut avoir de points transcendants ordinaires quand elle n’a pas de coupure et qu’elle a un nombre borné de branches. Donc, certainement, le nombre de ses branches ne dépend pas de y,, et, de plus, ses seuls points singuliers sont algébriques. L'intégrale considérée comme fonction de la constante n’a que des singularités algébriques.

On pourrait encore dire : la fonction inverse y,(y) est la fonction Vo—=90(2,, &, y). Elle n’a, elle aussi, qu'un nombre fini de branches, parce que les branches de cette fonction de y sont toutes des détermi-

nations de l'intégrale définie par les conditions initiales æ, y. La fonc-

tion 9 et son inverse ayant un nombre fini de branches, elles ne peuvent avoir que des singularités algébriques (car elles n’ont pas de

coupures). De plus, non seulement la fonction © n’a que des singularités algébriques, mais c’est une fonction algébrique de la constante. Quand les points Y, forment des lignes, le raisonnement précédent ne s'applique plus. Je vais montrer que ce cas ne peut pas se présenter et que, par suite, les conclusions ci-dessus sont toujours vraies.

Soit L une ligne de points Y,. Considérons l’affixe a d’un point critique mobile comme une fonction analytique de y,. Quand y, tendra vers un point de L, une branche de cette fonction au moins tendra vers un des points £,,Ë,, ..., €,; considérons la fonction suivante

C’est une fonction analytique de y, qui peut admettre les points de Lcomme points {ranscendants. Cette fonction peut avoir une infinité de branches (car une fonction qui admet un nombre fini de

branches peut très bien avoir une infinité de points critiques algébriques ('). Mais les seules singularités possibles de cette fonction ® sont d’abord des points critiques algébriques et ensuite des points Ÿ, qui peuvent être de nature transcendante, mais en chacun desquels la fonction prend la valeur zéro.

Prenons alors une branche déterminée de cette fonction qui tende vers zéro quand y, tend vers un point Y, de L. Considérons le domaine À des points y, dont la distance à L est inférieure à &, et prolongeons analytiquement la branche choisie de toutes les manières possibles dans cette bande. Elle se permutera avec certaines autres branches de ®. On peut toujours supposer que le segment de L sur lequel on a construit le domaine A, d’une part, et # d’autre part, ont été choisis assez petits pour que ce prolongement ne permette pas de franchir la coupure L; en d’autres termes, on aura, par un tel choix de À et de e, exclu celles des branches de ® qui pourraient ne pas admettre L comme coupure. Alors toutes les branches permutables dans A avec la branche qui a été choisie au début tendront vers zéro quand le point y, tendra vers un point arbitraire de L d’une façon quelconque.

Je dis encore que toutes ces branches tendent uniformément vers zéro dans les mêmes conditions. J’entends par là qu’on peut choisir assez petit pour que le module de ®(Yy,) reste inférieur à un nombre n donné d'avance quelle que soit la façon dont on prolonge dans À la branche primitive. Supposer le contraire reviendrait à admettre que, quelque petite que soit la distance y, ŸY, (Y, étant un certain point de L), on aurait des points y, faisant prendre à ®(y,) une valeur supérieure en module à 1. Il y aurait par suite une branche de fonction ® qui, lorsque le point y, tendrait vers un point de L suivant un certain chemin, ne pourrait pas tendre vers zéro. Or les branches de ® n'admettent aucun point d’indétermination. Donc en un point de L, ladite branche prendrait une valeur différente de zéro. Elle ne pourrait, par suite, être de celles qui se permutent avec la

(!) Par exemple, la fonction à deux branches définie par l'équation

VA) Cie

18 L. ZORETTI.

branche primitive, car on pourrait la prolonger au delà de L. Donc cette hypothèse est à rejeter.

11 suffit maintenant de reprendre la démonstration bien connue donnée par M. Painlevé dans sa Thèse pour voir que la fonction ® doit, dans ces conditions, être identiquement nulle. Il est nécessaire de préciser et de compléter cette démonstration pour l'appliquer au cas actuel : Ayant déterminé € de façon que ®(Yy,) soit limité en module dans A, nous pourrons toujours prendre sur L un arc AB assez petit pour que les conditions suivantes soient remplies : soient y et y” les extrémités de cet arci posons

Vel) )Ce Ya — Y"—= QT + y") ct,

P,(Yo) = P(y: > D, =0 07) Considérons la fonction F(Yo) = (Yo) PC Yo) Pr( Yo).

Cette fonction est définie dans un triangle curviligne T formé par AB et Les deux lignes obtenues en faisant tourner L d’un angle «, autour de y’ et d’un angle «, autour de y”. Nous pourrons toujours prendre Y,7", 0, et *, tels que ce triangle soit intérieur au domaine A dans lequel nous savons que |®(y,)| << n.

Nous définirons dans cette aire la fonction F en prolongeant de toutes les façons possibles trois branches de la fonction ® en ayant bien soin de prendre pour valeurs initiales : pour ®(y,) notre branche initiale et pour P(y,) et b(y,) deux branches obtenues à partir de la précédente aux points y, et y,, sans sortir de À.

Alors nous pourrons affirmer que la fonction F est une fonction analytique multiforme bornée dont toutes les branches sont nulles sur le contour de T et plus généralement en tous les points singuliers non algébriques.

Quand y, décrit ce domaine, le point F(y,) décrit dans son plan un domaine continu borné qui admet donc pour frontière une ligne. Or ces points frontières ne peuvent provenir ni d’un point régulier, ni d’un

et ensuite

point algébrique de F, et, comme en tous ses points non algébriques F est nulle, on voit que F(y,) est identiquement nulle. Donc une au moins des fonctions ®(y,),D,(%,), ®,(7,)et par suite toutes les trois sont nulles. Le théorème est donc démontré.

Je remarque que la dernière partie de la démonstration précédente permet d’énoncer le théorème suivant :

Tuéorèue. — Si une fonction analytique n'a, en dehors des singularités algébriques, que des points transcendants ordinaires en chacun desquels elle prend la méme valeur, ces points transcendants ne peuvent former une ligne (\).

5. Autres applications. — Je signalerai pour terminer deux autres applications du théorème A.

La première est relative aux fonctions uniformes et continues dans une aire. Considérons une telle fonction que nous supposerons analytique en tous les points de cette aire A sauf pour un certain ensemble de points ne comprenant pas d’aire; mais supposons que si l’on tend vers un de ces points sur un chemin quelconque la fonction tend toujours vers la même valeur variable avec le point considéré.

Les points singuliers de la fonction dans A ne peuvent former un ensemble dénombrable et, d’après les travaux de M. Painlevé, la fonction ne peut non plus avoir dans cette aire de ligne singulière isolée. Mais les théorèmes de M. Painlevé n’excluent pas le cas d’une coupure dont tous les points seraient limites de points singuliers ou de coupures. D'autre part d’après le théorème A nous pouvons affirmer qu'il ne peut y avoir aucun ensemble discontinu de points singuliers. Donc les seules singularités possibles sont des lignes dont chacune doit être. limite de lignes. Si l’on veut, la fonction ne peut avoir qu’un ensemble parfait de lignes singulières dans A. A vrai dire les recherches de M. Painlevé ne portent pas sur les lignes définies d’une façon générale mais seulement sur les lignes ayant un arc. Mais il-est bien vraisemblable que le résultat demeure exact dans le cas général. Quant

(:) Par exemple la fonction inverse d’une fonction uniforme qui a un nombre fini de points essentiels ne présente aucun ensemble continu de points singuliers.

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à l'existence d’un ensemble parfait de lignes singulières elle n’est pas incompatible avec la continuité de la fonction et l’on peut en former facilement des exemples. Mais je crois que ce cas pourrait aussi être exelu en supposant que la fonction continue dans A est holomorphe sur le contour de 4, ce qui reviendrait à dire que la fonction est analytique au sens de Weierstrass dans toute l'aire, sauf sur un ensemble non superficiel.

6. En second lieu je rappelle que, d’après le théorème de MM. Poincaré et Volterra, toute équation f(x) = «a où f est analytique a une infinité dénombrable de racines, au moins si a est un point non singulier de la fonction inverse. Mais, comme le signale M. Borel ('), il n’en est peut-être plus de même si à est singulier. Supposons que f soit uniforme, je dis que, si l’ensemble des zéros de f(z) — a n’est pas dénombrable, la fonction f a des coupures. En effet, soit E cet ensemble non dénombrable de zéros. L'ensemble E + E’ est fermé et non dénombrable. C’est donc la somme d’un ensemble parfait K et d’un ensemble dénombrable. Si E et E’ n’avaient aucun point commun, E ne contiendrait aucun point de F; E serait dénombrable, ce qui est impossible. Donc E contient au moins un point de son dérivé et le même raisonnement montre qu'il en contient un ensemble non dénombrable.

Donc la fonction f(z) — aa uneinfinité non dénombrable de points singuliers. Mais, comme en chacun de ces points elle doit être nulle, chacun d’eux doit appartenir à une coupure d’après le théorème A.

S1 les coupures sont isolées elles sont en infinité dénombrable (?), l’une d’elles au moins doit donc contenir une infinité non dénombrable de zéros de f(z) — a. Ceci nous amène à nous poser cette question : Une fonction uniforme peut-elle être nulle en un ènsemble non dénombrable de points d’une coupure isolée ? Question intéressante mais qui parait bien difficile à aborder.

(*) Leçons sur la théorie des fonctions, p. 56.

(?) Car chacune peut être entourée d’une aire ne contenant aucune coupure. Or, dans un plan, des aires sans points communs sont toujours en infinité dénombrable (voir les Mémoires de M. G. Canror, Acta, t, I).

J’arrête ici ces indications et les applications du théorème A. Une étude plus approfondie des ensembles discontinus de singularités et de la façon dont se comporte la fonction dans leur voisinage en élargira

sans doute le champ. Qu'il me suffise d’avoir montré la nécessité et l'intérêt d’une telle étude.

Vu et approuvé :

Paris, le 28 novembre 1904,

Le Doyen DE LA FACULTÉ DES SCIENCES,

Pauz APPELL.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 28 novembre 1904,

Le Vice-RECTEUR DE L'ACADÉMIE DE Pants,