APPLICATIONS

4. Je voudrais maintenant montrer par des exemples que le théorème À se présente d’une facon naturelle et nécessaire dans bien des questions, même élémentaires, de la théorie des fonctions et qu’il est susceptible d'applications intéressantes.

L'étude générale des fonctions analytiques comprend des problèmes des deux types suivants : 1° Trouver les propriétés d’une fonction ayant des singularités données (étudier la croissance, les développements, les zéros, etc. ); 2° Trouver les singularités de fonctions répondant à une définition donnée (par exemple de fonctions vérifiant une équation différentielle ou fonctionnelle, ou admettant un développement donné). On comprend que, dans l’un et l’autre cas, il soit très utile de connaître les propriétés caractéristiques de grandes classes de fonctions. Or, notre théorème A établit justement une telle propriété pour les fonctions uniformes pourvues de coupures; on saura désormais que ce sont les seules qui peuvent rester continues en leurs points singuliers. On pourra donc trancher certaines questions qui restaient douteuses ou compléter certains énoncés; je n’en citerai comme exemple que le théorème B’.

On peut objecter qu'il est bien superflu de s'attacher à l'étude de certaines fonctions à singularités compliquées, car on n’a pas souvent l’occasion d’en rencontrer. L'exemple des fonctions fuchsiennes dont toute une classe à justement un ensemble parfait de points singuliers,

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montre qu'une équation fonctionnelle des plus simples introduit de telles fonctions en Analyse ('). Les fonctions définies par des équatons différentielles même très simples peuvent rentrer dans le même type. D'ailleurs, toutes les fois qu'on veut définir des classes de fonctions par un procédé analytique on est forcé de n'exclure @ priort aucune hypothèse, si invraisemblable qu'elle puisse être. La théorie analytique des équations différentielles a jusufié d’une manière 6clatante certaines études modernes de la théorie des fonctions où 1l pouvait sembler à certains qu'on introduisait à plaisir les complications.

2. Le théorème A intervient justement dans la démonstration d’un certain nombre de propositions de la théorie des équations différenelles. Je citerai par exemple le théorème suivant de M. Painlevé :

Etant donnée une équation différentielle du second ordre algebrique en y", y, yetx, toute intégrale y uniforme (ou à n branches) dans une aire À, admet dans celte aire des points d’indélermina-

ton. Elle n'y admet d'ailleurs pas de coupure Gros

J'ajoute d’ailleurs que la démonstration de ce théorème peut se faire sans le secours du théorème A. Au contraire, 1l se présente d’une façon nécessaire dans la solution de la question qui fait le principal objet de ce Chapitre et qui est une des premières que l'on est amené à se poser dans la théorie analytique des équations du premier ordre. Le théorème A permet de la résoudre assez simplement alors que tous les efforts qui ont été faits pour se passer de ce théorème sont restés vains.

5. Les équations du premier ordre. — Avant d'aborder cette application je crois indispensable de préciser certains résultats de la théorie des équations du premier ordre dont les énoncés m'ont été communiqués par M. Painlevé, mais dont les démonstrations sont inédites.

(*) Elles vérifient aussi une équation très simple du troisième ordre. (2?) Painsevé, Leçons de Stockholm, p. 443.

Considérons une équation du premier ordre F(y', y, æ)— 0 algébrique en y’, y etx (') et considérons l'intégrale unique y définie par des conditions initiales y, y,, x,, æ, élant distinet des points £, points critiques fixes de l'intégrale qui peuvent, on le sait, se déterminer algébriquement antérieurement à toute discussion et qui sont en nombre fini. Cette intégrale dépend de x et des conditions initiales Los Vos + Mais, comme on a F(y,, y, &,) — 0, on peut dire que l'intégrale est une fonction de x, x, et y,. Ceci posé, on connaît le théorème fondamental suivant :

DS » à , ..

L'intégrale y = o(x, x,, y,) est une fonction axcéBroïne de x et de y, pour x = x, et cela quel que soit y.

Plus généralement joignons par un chemin { ne passant par aucun point & deux points #, x, arbitraires distincts eux-mêmes des points €. Si l’on poursuit analytiquement sur / (?) l'intégrale y déterminée par les conditions initiales &,, yo, Y,, on arrive en æ avec une valeur coïncidant avec une branche d’une certaine fonction y = y(7,) algébroïde en y,. Ces théorèmes sont classiques, mais dans leur application il faut procéder avec une extrême prudence. Par exemple, il faudrait bien se garder d’en conclure que l'intégrale considérée comme fonction de la constante est une fonction analytique qui n'admet que des points singuliers algébriques ou encore, dans le cas où un nombre fini de branches de l'intégrale se permutent autour des points critiques mobiles, que l'intégrale dépend algébriquement de la constante.

Il y a, en effet, une importante distinction à faire entre les deux fonctions suivantes. D'une part, laissant x, et y, fixes, faisons déplacer x d’une façon quelconque dans le plan sans tourner autour des points A la branche d’intégrale y = o(x, x,,y,)se permutera avec un certain nombre d’autres branches d’intégrale o,(x,%6, Yo) Da(T Lo Vo) ++.

(2) Pour le raisonnement il suffit que F soit analytique en +, pourvu que les points critiques fixes # de l'intégrale soient en nombre fini. 2) Il s’agit ici d’un prolongement analytique plus général que celui de 5 P ë 5 l Weierstrass. Sur / on pourra rencontrer un point critique algébrique de Y. Pour ce point æ, la branche d’intégrale prend la valeur y. Au dela de x, nous adopterons une quelconque des branches qui, en æ, prend la même valeur y.

D'autre part, laissons au contraire x et æ, fixes et prolongeons dans tout son domaine d'existence par le procédé de Weierstrass la fonction

analytique de y, : o (x; Zi; Yo) — 9(%,), obtenue. Il est bien évident, et cela d’après le théorème de tout à l’heure, que toutes les branches ®, Dis Des... appartiennent à la fonction CU: mais la réciproque n’est pas nécessairement vraie : 1 peut arriver que la fonction 9(Y) aitau point y, des valeurs y, intégrant bien l'équation différenuelle. mais dont aucune détermination ne se réduira à y, pour & = #, quand le point x se déplacera dans le plan d’une façon quelconque sans tour-

ner autour des points a Avant d'étudier les circonstances dans lesquelles ce fait singulier se

produit, je voudrais reproduire les exemples bien simples qu’en à donnés M. Painlevé.

Considérons l'équation

(@) PT atyso) dont l'intégrale générale est

/ a TL (2) ye= Eye.

Les points £ sont x == 0 et x = + etil y a un point critique mobile

autour duquel se permutent une infinité de branches de l'intégrale y. Ces branches épuisent toutes les branches de la fonction y(y,). Cette fonction à deux points critiques non algébriques mais logarithmiques qu sont y, =0ety, = x.

4 Fe : M a) BR Considérons maintenant le rapport des périodes = d’une différen- À

tielle elliptique de première espèce comme fonction du module X et

posons x — 0) Si nous remplaçons dans (1) et (2) x par cette

[0] fonction, nous voyons que l'intégrale y(X) définie par les conditions mitales X,, y, aura ou non un point critique mobile suivant que le