PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE CAEN

1. La démonstration donnée par Cauchy du principe fondamental de la théorie des équations algébriques repose sur un postulatum implicitement admis par l'illustre géomètre et démontré, il y a quelques années, par M. Darboux, dans le Bulletin des Sciences mathématiques ( { ). M. Darboux a prouvé, en effet, que si une fonction continue de deux variables réelles prend, pour tous les points situés à V intérieur d'un contour fermé, des valeurs qui demeurent comprises entre deux nombres, H et K, elle obtient nécessairement, pour un système au moins de valeurs des deux variables indépendantes, la valeur qui marque la limite maximum ou minimum de toutes les valeurs quelle peut prendre.

D'autre part, la démonstration de Cauchy reposé sur des considérations empruntées à la théorie des fonctions circulaires.

Nous nous sommes proposé dans ce travail un double but : i° établir quelques propriétés générales des fonctions continues d'un nombre quelconque de variables, et en particulier étendre à ces dernières le théorème de M. Darboux; 2° réduire à leur plus grande simplicité les raisonnements qui permettent d'éviter toute considération étrangère à l'Algèbre dans la démonstration du principe relatif aux équations entières.

(t) Année 1872, p. 307 et suivantes.

2 MQITIER.

De l'espace à n dimensions. Espaces limités, complets.

2. Nous nommerons point à n coordonnées tout système de valeurs particulières respectivement attribuées aux n variables réelles a?,j, ..., et espace à n dimensions l'ensemble de tous les points à n coordonnées.

La distance des deux points

\ x \9 y%* • • •)> \ x u y%> • • •) sera, par définition, la racine carrée non négative de la quantité

(*,— x t y+ (/,— ji) 1 -*-. . ..

Dans l'espace k n dimensions, on a souvent à considérer, à l'exclusion de tous les autres points, ceux dont les coordonnées satisfont à certaines conditions, d'une nature absolument quelconque d'ailleurs : leur ensemble constitue ce qu'on appelle une portion de l'espace à n dimensions.

Une portion d'espace est dite limitée, lorsque la distance d'un point variable au point (o, o, . . .) ne cesse d'y être numériquement inférieure à quelque quantité positive fixe; elle est dite illimitée dans le cas contraire.

Un point est dit complètement extérieur à une portion donnée de l'espace à n dimensions, lorsque sa distance à un point variable de la portion dont il s'agit ne cesse d'être supérieure à quelque quantité positive fixe.

Enfin, une portion donnée de l'espace à n dimensions est dite complète, lorsque chacun des points qui n'en font pas partie lui est complètement extérieur.

Par exemple, en désignant par R une constante positive, et par x , y , ... des constantes quelconques, positives, négatives ou nulles, le fragment d'espace défini par la relation

est à la fois limité et complet. Si l'on supprime le signe d'égalité qui figure entre les deux membres, pour ne laisser subsister que le signe d'inégalité, on obtient un fragment limité, mais incomplet.

Variantes complexes.

3. Dans un Mémoire sur les quantités incommensurables (Annales de l' École Normale, novembre 1887), M. Méray appelle variante un nombre variable ?„,,„,... dont la valeur dépend de certains entiers positifs m, n, . . . , qui prennent toutes les combinaisons de valeurs possibles, et que l'on nomme ses indices.

En se bornant au cas Je plus simple, où le nombre des indices se réduit à 1, une variante v m est dite convergente, si, un nombre positif a de petitesse arbitraire étant donné, on peut assigner pour l'entier m une valeur à partir de laquelle la différence v m + p — v m ne cesse d'être numériquement inférieure à a, quelque valeur positive que Ton attribue à l'entier/?.

On dit que la variante v m a pour limite la quantité invariable V, si la différence V— v m est infiniment petite pour m infini.

Pour qu'une variante tende vers quelque limite, il faut et il suffit quelle soit convergente,

\. Nous nommerons variante complexe un point (variable) de l'espace à n dimensions ayant pour coordonnées n variantes, dépendant toutes d'un même indice.

Une variante complexe est dite convergente, lorsque toutes ses coordonnées le sont à la fois.

On dit que la variante complexe (v) m a pour limite le point fixe (V), quand ses diverses coordonnées ont respectivement pour limites les coordonnées correspondantes du point fixe.

Pour qu une variante complexe (*>),,, s °ît convergente, il faut et il suffit que, un nombre positif a de petitesse arbitraire étant donné, on puisse assigner pour l'entier m une valeur à partir de laquelle la distance des deux points (?) m * (v)nn-p ne cesse détre inférieure à a, quelque valeur positive que l'on attribue à l'entier p.

Pour que la variante complexe (v) m tende vers la limite (V), il faut et il suffit que la distance de ces deuv points soit infiniment petite pour m infini.

t\ RIQUÏER.

Pour qu une variante complexe tende vers quelque limite, il faut et il suffit quelle soit convergente.

5. Lorsqu'une variante complexe est convergente, et qu'à partir d'une valeur suffisamment grande de son indice elle reste constamment située dans quelque espace complet, sa limite y est elle-même nécessairement située.

Car, autrement, cette limite serait complètement extérieure à l'espace dont il s'agit, ce qui est impossible, puisque la distance de la variante proposée à sa limite est infiniment petite.

6. En désignant par (v) m une variante complexe quelconque, et par

des valedrs particulières distinctes de son indice se succédant indéfiniment suivant quelque loi déterminée, l'expression

est évidemment une variante complexe dépendant de l'indice k. Cela posé, si la variante (v) m reste constamment comprise dans quelque portion limitée d'espace, la loi de succession des valeurs (i) peut être choisie de telle sorte que la variante (w) k soit convergente (*).

I. Désignons par a, [3, ... des entiers indéterminés en nombre n % que nous conviendrons de considérer dans un ordre toujours le même, l'ordre a, [3, . . . , par exemple, et soient

deux quelconques des combinaisons obtenues en attribuant aux entiers dont il s'agit tous les systèmes possibles de valeurs positives; ces combinaisons étant, bien entendu, supposées distinctes, les différences

(*) Voir le Nouveau Précis d'Analyse infinitésimale de M. Méray, p. 59.

ne peuvent s'annuler à la fois. Cela posé, nous dirons que la première des combinaisons (2) est de taxe inférieure ou supérieure à la seconde, suivant que la première des différences (3) qui ne s'évanouit pas est négative ou positive (*). ,

Il importe de faire à cet égard l'observation suivante. Si Ton désigne par

„«r an

trois combinaisons de valeurs attribuées aux entiers a, p, ...; si l'on suppose en outre que la première soit de taxe inférieure à la seconde, et la seconde de taxe inférieure à la troisième, la première est nécessairement de taxe inférieure à la troisième. C'est là une conséquence immédiate des relations évidentes

a' - OL m — (a'— y?) ■+- (a"- a"),

II. Désignant par x , j , . . . certaines valeurs particulières des n indéterminées Xy y, ..., et par X, Y, ... d'autres valeurs particulières des mêmes indéterminées, nous nommerons intervalle complexe l'ensemble de tous les points dont les coordonnées œ 9 y f ... se trouvent respectivement comprises dans les intervalles simples de x à X, de y à Y, (ou égales à quelques-unes de leurs valeurs extrêmes).

Nous nommerons subdivision d'un intervalle complexe l'opération consistant à subdiviser (de façons quelconques) les n intervalles simples dont l'association le constitue, puis à former de toutes les manières possibles un intervalle complexe avec n intervalles partiels pris respectivement dans chacun d'eux.

Nous aurons besoin ci-après de considérer dans un ordre déterminé les divers intervalles complexes provenant de la subdivision d'un intervalle donné; la loi de leur succession peut être choisie de bien des manières, et l'on peut, par exemple, la fixer comme il suit. En premier lieu, on adoptera pour les indéterminées x> y, ... un ordre

C 1 ) Voir Gauss, Werkc, Band III, p. 37.