RIQUIER

toujours le même, soit Tordre x,y* Considérant ensuite les intervalles simples partiels obtenus par la subdivision de l'intervalle total relatif à une indéterminée quelconque, on commencera parles ranger dans Tordre naturel que leur assignent les valeurs croissantes de cette variable. Si Ton désigne alors par

j'i) ;m {(tr)

l X » l JC 9 • • • » l X »

les diverses suites d'intervalles simples ainsi obtenues, et que Ton associe ces derniers de toutes les manières possibles en prenant un terme et un seul dans chaque ligne horizontale du Tableau précédent, deux quelconques des intervalles complexes qui en résultent pourront être désignés par les notations

('») [i?\ if, •■■],

où les deux combinaisons d'entiers positifs

cl\ (3', . . .,

sont nécessairement distinctes, delà posé, nous dirons, pour abréger, que l'intervalle partiel (4) est de taxe inférieure, ou supérieure à Tintervallc partiel (5), suivant que la première des deux combinaisons dont il s'agit sera elle-même de taxe inférieure ou supérieure à la seconde (I), et nous conviendrons de considérer nos intervalles partiels cornpi ex es dans un ordre tel que leur taxe aille toujours en croissant; nous dirons, en pareil cas, qu'ils sont ordonnés.

Observons, en passant, qu'un intervalle complexe forme une portion limitée et complète de l'espace à n dimensions.

III. En vertu de Thypothèse faite sur (v) m , il existe évidemment quelque intervalle complexe

dans lequel cette variante se trouve constamment comprise, et que nous représenterons, pour abréger, par £,. Si Ton divise en deux par-

ties égales chacun des intervalles simples dont se compose $ s et qu'on ordonne (II) les divers intervalles complexes résultant de cette subdivision, il existe certainement quelqu'un de ces derniers où la variante (v ) m tombe un nombre infini de fois. Appelons 3 2 le premier d'entre eux pour lequel cette circonstance se réalise; opérons sur lui comme nous l'avons fait sur 3 i9 et ainsi de suite indéfiniment. Nous formerons de cette manière une suite illimitée d'intervalles complexes

(O) ~r \t "**it •••» ** fit •••»

jouissant de la triple propriété que nous allons énoncer : i° chacun d'eux fait entièrement partie du précédent et, par suite, de tous ceux qui viennent avant lui; 2° celui de rang k est formé d'intervalles simples ayant pour grandeurs respectives les valeurs numériques de

3° la variante (*>),„ tombe une infinité de fois dans chacun des intervalles (6).

Cela posé, considérons la suite illimitée

(*0f» («Oit •••> (*0m» •••>

et soient (tv), le premier terme de cette suite, («>) a le premier des termes restants situé dans l'intervalle 3 2 , (<*>) 3 le premier des termes restants situé dans l'intervalle 3 :i > et ainsi de suite indéfiniment. La distance des deux points (w)*, (w) k + h> au plus égale à

jL^(X -*,)■+(¥-- jr.)» + ... f

est infiniment petite pour k infini, et, par suite, la variante (w) k est convergente (4).

Fonctions continues.

7. Considérons une fonction f(x,y 9 . . .) définie dans un fragment déterminé de l'espace à n dimensions, et désignons par (a? , y , ...) un point fixe, par (x, y, ...) un point variable, situés l'un et l'autre