FONCTIONS D'INDICE QUELCONQUE RÉEL

| Nous avons défini et calculé au Chapitre précédent les solutions de l'équation de Mathieu associée qui se réduisent pour # —o aux polynomes de Gegenbauer C}.

La méthode employée consistait à développer ces fonctions en séries DAC et se basait sur le fait que les C> sont liés par des relations de récurrence homogènes

à trois termes.

Mais, l'équation de Gegenbauer admet encore, lorsque n n’est plus entier, des solutions liées encore par les mêmes formules de récurrence; ces solutions ne sont plus des polynomes. Par exemple l’une d’elles a pour expression (on remplace n par À pour rappeler qu’il n’est plus entier)

1 il EG 37 REG NP Armes

Le contour (CG) étant celui qu’on emploie pour la définition des fonctions de Legendre associées, c’est-à-dire soit CG, soit Co.

Fig. 2. Fig. 3.

On obtient donc ainsi tout de suite deux solutions distinctes de l'équation (l’une correspond à la fonction P* de Legendre, l’ autre à Q").

La solution G} vérifie l'équation de Gegenbauer, où & vaut À(1 + 2v). Si l’on pose donc par définition

PA(E)= DA Gi p(SinE),