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les équations obtenues pour la détermination des A, sont les mêmes que pour À entier, à cela près que les relations de récurrence ne sont plus singulières pour les valeurs o et 1 de l’indice (puisque l'indice n’est pas entier). La sommation précédente est donc à effectuer ici de —c à +. chi
Si À est rationnel, soit … toutes les fonctions GŸ,,(sim£) admettant la période
257 en £, il en est de même de la fonction pe}(£). On peut donc la normer dans un intervalle d'amplitude 257.
Si dans l'expression de ces fonctions pe} (£), de période 257, on fait le change-
ment sin £ — z, on obtient des fonctions de z qui admettent les points — 1 et +1 comme singularités effectives. Avec précision une telle fonction reprend sa valeur primitive après 2s lacets entourant le segment - 1, +1. Par le procédé allégué au Chapitre I on pourrait déterminer là aussi la relation entre a et £ pour qu’une intégrale de l’équation de Mathieu associée soit de période 2sx en £. Nous avons également effectué ailleurs (!) ce calcul et donné aux solutions correspondantes
des formes intéressantes.
Nous ne développons ici que la méthode qui généralise immédiatement celle du Chapitre II. Nous convenons d'appeler encore équation caractéristique des fonctions de période 25sr la relation entre a et À qui donne naissance à ces fonctions. :
Cas de r quelconque. — Soit 7 — À, on posera
EDS ÿ y : \ pexts)= À hp Grp (Sin E );
ra
on aura d’ailleurs aussitôt une seconde intégrale
\ Q! Pas :
gei(E)= D A Ghep(SinE),
en prenant pour G dans l'intégrale définie ci-dessus, au lieu du contour C des fonctions P”', le contour C des Q”.
Les relations de récurrence entre les A*,, s’écrivent simplement en remplaçant
n par À + p, ou, à un changement de notation près, par À.
L’équation caractéristique s'écrit en portant ces deux valeurs dans la deuxième. Ces fractions continues sont convergentes (même étude que dans le cas simple de l’Introduction) Cette équation caractéristique s’écrit de facon compliquée. Écri-
vons-la seulement dans le cas simple où » — A (Les fonctions GŸ sont alors celles
(?) C. R. Acad. Sc., 224, 19/7, p. 1322; Voir aussi, Bull. Soc. Math. France, fasc. IL, 1948.
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de Legendre, c'est le cas du Chapitre 1, on a alors
(2À +1) 22 pe AOHDOR TS Des a + 5) 40 ay
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