INTRODUCTION

L'objet de ce travail est l'étude des solutions périodiques d’une équation qui se rencontre en Physique mathématique et qui se réduit à l’équation de Mathieu pour des valeurs particulières des paramètres. Le résultat le plus intéressant est la mise en lumière de solutions que l’on peut nommer de forme finie, en entendant par là que les séries de fonctions simples qui les représentent se réduisent à des sommes d’un nombre fini de termes, et que l’équation caracté- - ristique (ou des valeurs propres) est algébrique, ce qui n’arrive jamais pour l'équation de Mathieu elle-même.

On avait déjà observé un phénomène semblable pour l’équation de Lamé

V'+ [A+ n(n +iyl snx]y = 0

et pour l’équation dite de Hill à trois termes, quelquefois appelée de Whittaker

J'+ [a+ bcos2x + ccos4x]y = 0,

qui toutes deux généralisent l’équation de Mathieu et admettent des solutions de forme finie.

L'existence de solutions finies de.ce genre pour l’équation-de Mathieu associée étudiée ici

J'— 2vtgxy +(a+k?sin?x)y = 0

n’avait pas été mise en évidence jusqu'alors parce que personne, semble-t-il, n’avail songé à choisir l’élément de série qui se prête le mieux aux calculs et à la discussion de cette équation, et qui est le polynome de Gegenbauer C;(sinx).

Ce choix, qui d’ailleurs est le plus simple et le plus logique, a l’avantage de réduire à trois termes les relations de récurrence entre les coefficients A de la série solution ZA/C’(sinx) et permet aussitôt, par là-même, de mettre en évidence les solutions de forme finie.

L’étude d’un cas particulier simple et courant constitue le premier Chapitre. Les deuxième et troisième Chapitres traitent du cas général et discutent de

l'existence des solutions de forme finie et de la décomposition de l'équation caractéristique.

On sait qu’on utilise aussi, pour étudier les fonctions de Mathieu, des développements en séries, non de fonctions trigonométriques, mais de fonctions de Bessel. On a donc cherché ici aussi, pour ces fonctions dites associées, si un développement analogue n’était pas possible. Le calcul l’a fourni facilement et l’on a pu découvrir la raison profonde de son existence dans une correspondance algébrique étudiée par Sonine (dans son célèbre Mémoire sur les fonctions de Bessel) et qu’il nomme corrélation. Gette correspondance jette la lumière sur des résultats curieux trouvés déjà pour les fonctions de Mathieu ordinaires et pose la question de savoir si ce parallélisme des deux développements, l’un en séries de fonctions sphériques, l’autre en série de fonctions du cylindre circulaire, n’a pas une signification géométrique simple, et s’il ne caractérise pas toute une famille de fonctions. N’existerait-il pas, par exemple, pour les fonctions de Lamé ou de Hill à trois termes, qui présentent des particularités analogues, de tels développements parallèles ? C’est un problème qu’il serait intéressant de résoudre.

En résumé, l'étude de cette équation qui, plus générale que celle de Mathieu, ‘admet des solutions plus particulières (puisque de forme finie) constitue un exemple de ces cas généraux, qui, selon l’expression de M. René Garnier, apparaissent néanmoins Comme « plus particuliers encore que leurs cas particuliers ».