SUR UN PROBLÈME DE VALEURS PROPRES

Dans un grand nombre de problèmes de Physique et même de Chimie (diffraction, vibration d’un haut-parleur circulaire, problème des deux centres en théorie des quanta, questions relatives à la molécule d'hydrogène), on a besoin d’écrire l’équation des ondes (1) dans un espace où les surfaces coordonnées sont des quadriques homofocales de révolution. On peut choisir comme système de telles quadriques soit le faisceau composé d’ellipsoïdes allongés et d’hyperboloïdes

. à deux nappes, soit celui qui comprend les ellipsoïdes aplatis et les hyperboloïdes réglés. À cause des applications à l’acoustique qui nous intéressent particulièrement, nous avons choisi ici le deuxième système, celui qui contient

! un ellipsoïde infiniment aplati (qu’on pourra au besoin assimiler à un disque

plan).

Mise en équation du problème. — L’espace étant rapporté à ce système de quadriques æ = fchn cos£ cosy, y = fchncos£é sine, 2 = fshnsiné.

(*) Pour la théorie générale de cette équation, voir le Traité d'Analyse de Riemann (RIEMANN- Weser, Die partiellen Differential Gleichungen der Mathematischen Physik, t. I, Braunschweig, 1912).

s'écrit, après le changement de variables (1) dans le Laplacien

pu) F2 É —COS?E

ŒPAUp © 20p op SPL TRRRRES (SE + ro mi Lee )+ RE TAE ]=-#r.

Traitons d’abord le problème dans le cas le plus simple, celui où les ondes sont

| à symétrie cylindrique, c’est-à-dire où p est indépendant de o

Eu. Re

dE?

eee + #2 f? sin? RE

op on

mL

+thn< + Æ2f2sh?np = o.

- Si l’on s'intéresse alors, comme dans les problèmes de potentiel, aux solutions del équation (2) qui sont à la forme dite à variables séparées : p = U(E) V(n), - l'équation (2), où les dérivées cessent d’être partielles, s'écrit, Qi division par p

AU

dU ædV

ul

de la forme

2 F2 cin? ; av 2 ; 5 tgE£ dE + k2f? sin | —- dE rate + Æ2f? sh? =

Fonction F,(E seul) + Fonction F:.(n seul) = 0.

Elle n’est possible, puisque £ et sont indépendants, que si ces deux fonctions séparément sont des constantes, a et b, telles que a + b—o, c’est-à-dire si les

. deux équations

?U 9€ 4U -2 f2 sin? — Æ 7 te E de +( a+/kf?sin PS ar dv

+thn RoEnArs EU AA )IAE0

sont satisfaites. On passe d’ailleurs de (3) à (3') en changeant U en Vet£ en#n. On pourra donc se contenter d’étudier (3). L’équation (3) sera dite équation modifiée de l'équation (3) par analogie avec un langage, consacré par l'usage

aujourd’hui, relatif à l'équation de Bessel.

Le problème consiste maintenant à intégrer l’équation (3) ou du moins à en

calculer les solutions, et en particulier à dégager celles de ces solutions qui

- conviennent à la question posée. Or, on voit tout de suite que la fonction p(æ, y, z) doit être donnée sans ambiguïté lorsque x, y, s, le sont; ou encore que P(E, n) doit être invariante quand £ augmente de 27. Donc, seules nous

- intéressent les intégrales de (3) qui sont des fonctions de période 27 de £. Il n’est

| pas sûr qu'elles existent pour toute valeur de la constante a. La question qui se

- soulève ici est donc

: « Existe-t-il une manière de choisir a pour que (3) possède

des intégrales de période 27 ? ».

C'est là un problème de recherche des valeurs propres où caractéristiques d'une équation différentielle. Poincaré le pose dans son Ouvrage : Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste (t. I) pour l'équation très générale dite

de Hill

A(æx) étant une fonction périodique (2x) de x. Avec précision, on écrit A(x) sous la forme a—2q4(x); L(æ) étant continue partout, deux fois dérivable, et telle que son maximum et son minimum soient tous deux égaux à 1 en valeur absolue. [ M. Léon Brillouin dans un article récent (!) a étudié l’équation de Hill dans un cas plus général et avec des méthodes toutes différentes du procédé habituel qui consiste à supposer A(x) fourni par son développement de Fourier]. C’est à propos de ce problème que se sont introduits les déterminants infinis. Dans le cas général, il est très compliqué. | Le cas le plus simple qui puisse se présenter est le cas où A(x) est réduit à un

premier terme de son développement trigonométrique, l’équation est alors celle que Mathieu étudia en 1868 dans son Mémoire sur la vibration d’une membrane plane elliptique

Y'+(p —2q cos2æ&)y = 0, qu’on peut écrire aussi

J'+(a+ k2f?sin?x)y = 0.

Elle ressemble, en plus simple, à l’équation (3). Les valeurs caractéristiques a— a(k?f?) de l’équation de Mathieu ont fait l’objet de multiples recherches, principalement de la part des mathématiciens anglais; mais il faut citer en France outre les travaux de Poincaré, l’étude récente de M. Vladimir Baranov dans sa Thèse (2?) (Montpellier, 1941) qui y applique le calcul matriciel. Les méthodes appliquées à l'équation de Mathieu ont toutes ceci de commun, qu’elles supposent la solution cherchée (de période 27 en x) développée en série de Fourier de x, et qu’elles recherchent la condition d’existence d’un tel développement.

On est ramené à étudier un système d’équations où les inconnues sont les coefficients, en nombre infini bien entendu. Les travaux les plus poussés qui ont été accomplis dans ce sens sont dus à Lindsay Ince, qui a construit des tables de valeurs de a en fonction de la constante physique donnée k°? f?; et dessiné les courbes correspondantes dans le plan des (a, k? f?); la réussite de la méthode est due à ce que les équations successives sont à trois termes seulement. (C'est ce même fait qui est également à la base de la réussite de M. Baranov.)

On peut donc chercher à appliquer à l'équation (3), qui est celle de notre problème, la méme méthode en posant a priori son intégrale périodique cherchée U(E) sous forme de série de Fourier.

Étude de l’équation (3). — Toutefois faut-il tout de suite remarquer que cette équation (3) n’est pas du type de Hill puisqu'elle contient un terme du premier ordre, et que, même si l’on fait disparaître celui-ci, le coefficient de y contient

sin?£

Néanmoins la méthode qui consiste à déterminer le développement de Fourier a permis à Lindsay [nce de mettre en évidence des solutions périodiques et entières en £. Mais les relations de récurrence qu’il obtenait entre les coefficients

alors un terme en et ne demeure pas fini.

(1) Quarterly applied of Math., juillet 1948, p. 167. (?) Contribution à l’étude des fonctions de Mathieu normées, 1941.