Sur les fonctions de n variables complexes
Dans un mémoire remarquable publié dans le tome 2 des Acta mathematica M. Poincaré a démontré le théorème suivant:
Si une fonction analytique de deux variables complexes n’admet à distance finie que des singularités non essentielles elle est le quotient de deux fonctions entières.
Le mémoire de M. PoincaRÉ est le seul travail publié sur cette importante question. Je me suis proposé d'établir pour les fonctions de » variables complexes un théorème plus général que celui de M. Poincaré, en employant à cet effet un procédé de démonstration qui m'est personnel.
Je me suis efforcé dans cette étude d'établir la plus grande analogie possible avec la théorie connue des fonctions d’une seule variable complexe.
M. Mrrrac-LerrLer a, dans un théorème devenu classique, démontré l'existence et donné l'expression analytique d’une fonction d’une variable complexe n'admettant pour points singuliers que des points donnés à l'avance et formant un ensemble dénombrable dont le seul point limite est le point © et telle qu’en chacun de ses points singuliers elle se comporte comme une fonction donnée. Deux théorèmes importants dus à M. Werersrrass peuvent étre considérés comme des conséquences successives du théorème de M. MrrraG-LerrLer; le premier est relatif à
Extr, des Acta math., t, 19, 1
2 Pierre Cousin.
l'existence d’une fonction entière admettant pour zéros des points donnés à l'avance; le second relatif à l'expression sous forme d’un quotient de deux fonctions entières d’une fonction d’une variable qui n'admet comme points singuliers que des pôles. Ces trois théorèmes forment un ensemble de trois propositions intimement reliées entre elles. Je crois être arrivé à donner pour les fonctions de n variables complexes un groupe de trois propositions correspondant aux trois précédentes, et reliées entre elles d’une facon analogue. Toutefois, en ce qui concerne la deuxième de ces propositions, une différence importante s'impose entre le cas d’une variable et le cas de plusieurs variables; elle est due à ce fait qu'une fonction régulière d’une seule variable n'admet pour zéros que des points isolés, tandis que les zéros d’une fonction de plusieurs variables complexes ne sont jamais des points isolés; le problème ne se présente donc plus de la même façon dans les deux cas; les énoncés des théorèmes VI et IX indiqueront comment on peut poser le problème dans le cas de n variables complexes. j
Parmi les travaux se rattachant aux questions que j'ai traitées je signalerai, outre le mémoire précité de M. Poincaré, deux extensions aux fonctions de # variables complexes du théorème de M. Mirrac- LerrLer données par M. APPEzL' et par M. DAUTHEVILLE. ?
Pour l'exposition, j'ai divisé mon travail en quatre parties.
La première contient la démonstration de quelques propositions préliminaires, qui sont, je crois, pour la plupart nouvelles; toutefois M. PAINLEVÉ * a déja donné une proposition analogue, moins générale,
La deuxième partie est consacrée à la démonstration d'un théorème qui est, pour la suite, d’une importance capitale.
La conclusion de la troisième partie est le théorème suivant:
Si une fonction de n variables complexes n'admet que des singularités non essentielles à l'intérieur de n cercles ayant pour centres les n origines et dont chacun à un rayon fini ou infini, cette fonction est le quotient de deux séries entières par rapport aux n variables, convergentes à l'intérieur des n cercles.
" Acta mathematica, tome 2, page 71.
* Thèse, Paris, Gauthier-Villars, pages 44 et 50. * Thèse, Paris, Gauthier-Villars 1887, page 68.
La quatrième partie a pour but la démonstration de quelques théorèmes qui sont, dans une certaine mesure, l’extension pour # variables des théorèmes donnés pour une variable par M. Mrrrac-LerrLer dans le tome 4 des Acta mathematica.
En terminant cette introduction, qu’il me soit permis de remercier MM. Poincaré et ApPrerz pour le bienveillant accueil qu’ils ont fait à mes premières recherches, et de leur exprimer iei ma profonde reconnaissance.
Propositions préliminaires.
1. J'emploierai pour les variables complexes la représentation géométrique ordinaire: chaque variable sera représentée par un point d’un plan.
J'établirai d'abord quelques propriétés de la fonction (y) définie par l'égalité:
I de (1) AO es
AEB
y et 2 sont deux variables complexes représentées sur le méme plan: l'intégrale est prise le long du chemin AEB de À vers B; je suppose pour plus de simplicité que ce chemin ne présente aucune bouele. Pour distinguer entre Îles points À et B, je dirai que À est l’origine et B l'extrémité du chemin d'intégration; lorsque cette distinction ne sera pas nécessaire les deux points À et B seront appelés les deux extrémités du contour d'intégration: aucune confusion ne pourra résulter par la suite de cette désignation. 5 Soit CED un chemin supposé parcouru de C vers D et traversant AEB en un seul point E; je trace la
ligne AMB ne traversant pas CE et telle que le point C soit intérieur au contour AMPBEA4A: si le sens AEB 8 est direct sur le périmètre du contour AMBEA, je M
4 Pierre Cousin.
dirai que C'ED traverse AB dans le sens direct: dans le cas contraire
C'ED sera dit traverser AB dans le sens indirect. | La fonction @(y) qui est définie par l'égalité (1), est régulière en
tout point qui n'est pas situé sur le chemin d'intégration AEB: ce chemin
AËEB est une coupure pour la fonction w(y). à
L'expression explicite de o(y) est d’ailleurs, en désignant par @ et d
les valeurs de z correspondant aux deux points À et B:
p(y) = log
en prenant pour le logarithme une détermination convenablement choisie.
De cette expression explicite de o(y) se déduisent les propositions suivantes:
1% Si l’on fait parcourir au point y un chemin CED traversant AB au seul point Æ, la continuation analytique de ç(y) est régulière au point Æ et en tout point de ED; l'expression de cette continuation analytique est en tout point de ED) donné par: 1 + ç&(y), si CED traverse AB dans le sens direct; et par: — 1 + w(y) dans le cas contraire.
2% La continuation analytique de la différence:
PU) log (D 4),>
est régulière au point B; et la continuation analytique de:
Ai ner
est régulière au point À.
log (a — y)
2. Je considère une fonction f(x, ,&,,...,4%,,y) des (n + 1) variables complexes %, ,%,,...,%,,y représentées géométriquement sur (n + 1) plans différents 7,,7,,...,7, sont n contours fermés, simples ou complexes, tracés respectivement sur les # plans des » variables
Li, Ts: 2,3 l'ensemble de ces contours sera désigné par y; l’ensemble des valeurs x, ,%,,...,#x, sera le point x; je dirai que * est intérieure à 7 ST ,%,,...,%, Sont respectivement intérieures à ÿ,, 7»... Ju.
: er + re La détermination à prendre pour log(b — y) est arbitraire,
Pour abréger l'écriture, j'écrirai f(x, y) au lieu de f(&,,æ&,,...,%,,9) toutes les fois qu’il n’en pourra résulter aucune confusion.
I” désigne un contour fermé, simple ou complexe du plan de la variable y; (x,y) sera dit intérieur à (7, /') si æ et y sont respectivement à l'intérieur de y et /°.
Cela posé, je suppose la fonction f(&,y) régulière tant que x est dans y et y dans /”. |
Je définis une fonction ®(x,y) des (n + 1) variables &,,æ,,...,4,,y par l'égalité:
, 2)d (2) de, fe
AEËEB
z est représenté sur le même plan que la variable y; le chemin d'intégration AEB est supposé tout entier à l'intérieur de /!.
La fonction ainsi définie est régulière pour x intérieur à y et y quelconque dans son plan, mais non situé sur la ligne d'intégration AEB; cette dernière est pour ®(x,y) une coupure relative à la seule variable y.
Je vais étudier la continuation analytique de (x, y) lorsque y traverse le chemin AÆB, x se déplaçant en même temps d’une façon quelconque à l’intérieur de 7.
@,2) —f&,y) 2 — 7 est régulière pour x intérieur à y et y et z intérieurs à 1”. Soit, en
Pour cela, je remarquerai d’abord que la fonction
MO D EG D 0 Da AU 0, = Counipoibtiintereur à (7, 1); si d n’est pas égal à c, il est clair que la fonction considérée est régulière en ce point. Je suppose donc € — b, et je pose:
T, a me an dy (DE=A2, 00) y=Y + 0, 2 = g + b.
Je trace sur les plans des n variables x, n cercles de rayon R de centres 4, , 4, ,:-.,@,, en supposant À assez petit pour que ces » cercles soient respectivement intérieurs à 7,,7:,...,7,; et sur le plan de la variable y, je trace un cercle de centre b et de rayon 9 assez petit pour que ce cercle soit intérieur à Z.
(0 Pierre Cousin.
Je désigne par © l’ensemble des (n + 1) cercles tracés. La fonction f(x, y) est développable en série entière en de LE FOTOS ACONE vergente à l’intérieure de C; soit:
SAC IRSC H
ce développement; en y remplaçant chaque coefficient À par son module |A}, les variables x par À, et y par p, on obtient une série convergente:
On a à l’intérieur de C:
Hi ED
fle, — fe, y) ZAetes 2 GB y) Hp) sn PR
En effectuant la division par 7 — y de chaque terme du second membre, on est conduit à la série:
(4) 2A%; 1x," A. œ, (2 18—1 + 2'B= y Je + zy 6? ni y 1)
qui devient, en remplaçant chaque coefficient À par son module |A, les æ par À, et y et z par un nombre positif r:
(5) ZB| À | Reiterte+ on 81
cette dernière série est convergente pour r < p, comme étant la dérivée par rapport à » de la série (3) où l’on aurait remplacé © par r. La série (4) est donc absolument convergente dans C; par suite
f(æ , 2) — f(& , y) CSV
y = à —= bd, ce que je voulais établir.
CeLAreSUNere AU DOM = 0, LU D Lt.
On peut dès lors poser:
f(&, 2) — 1, y) PT UP TAUS AE) y F(x,y,2) étant régulière en tout point (x,7, 2) intérieur à (y, 1°). L'égalité (2) peut être maintenant écrite pour (x, y) intérieur à (y, /') sous la forme:
D(x , y) — = ] F(x ,y,2)d2 + ÎG ; 4) | LR
21T AËB AEB
ou en posant comme précédemment:
I da p(yi=s LE
den = (F9, dde + o(y)f(e, 9) AEËB
L'intégrale qui figure au second membre est une fonction de x et y régulière en tout point intérieur à (7, Z'}: il en est de même par hypothèse de f(x, y); enfin la fonction w(y) a été étudiée dans le paragraphe précédent. On en conclut immédiatement les propriétés suivantes de ®(x 9 y)
1% Si l'on fait parcourir au point y un chemin CED (de C vers D) contenu à l'intérieur de /' et traversant AEB au seul point E, tandis que æ se déplace d'une façon quelconque à l’intérieur de 7, la continuation analytique de (x, y) est régulière au point Æ et en tout point de ÆD: elle a pour expression ®(x, y) + f(x, y) si CED traverse AB dans le sens direct et pour expression: ®(x, y) — f(x, y) dans le cas contraire.
2% a et b étant les valeurs de z qui correspondent aux points À et B, la continuation analytique de la différence:
D(x, y) Le =). 1
est régulière au point B et celle de:
O(& , y) +1 Vlog (a — y)
est régulière au point À.
3. Soient »* chemins d'intégration 4, B, 4,B,..., A,B tracés sur le plan commun aux deux variables y et z, et ayant l'extrémité B commune; le sens d'intégration est pour chaque contour de À vers B. Ces contours sont supposés ne pas se couper et n'ont par suite aucun
1 La détermination À prendre pour log(b —- y) est arbitraire.
8 Picrre Cousin.
autre point commun que PB; de plus on suppose qu’en parcourant dans le sens direct un petit cercle de centre B, on rencontre les contours précédents dans l’ordre: 4,B, 4,B,..., 4,B c'est à dire par ordre d'indices croissants.
Je trace alors la lighe À MA, de facon qu'il n'y ait aucun des contours précédents à l’intérieur du contour fermé 4 BA,MA,.
À chaque chemin 4,B, je fais correspondre une fonction f(x, y) de (n + 1) variables x Le ES TR EBULIere POULE intérieur à un contour fermé 7’ et pour 7
intérieur à un certain contour fermé ©, enveloppant le chemin À4,B. Le contour 1’ est le même pour les # fonctions f,(x, y).
1 f(&, 2) de.
sen = | 2 a
Je pose:
AB
l'intégrale est prise le long de 4,B de À, vers B; la fonction o,(x , y) est de la forme de celle qui a été étudiée dans le paragraphe précédent. Je définis une fonction (x, y) pour x intérieur à Z' et y intérieur
à BA, MA,B par l'égalité:
D(x, y) = Zo,(&, 4); (P=1,% 7)
cette fonction est régulière en tout point intérieur à la région où je la suppose ainsi définie.
Je vais donner la condition nécessaire et suffisante pour que l’extension analytique de ®(x, y) soit régulière au point B, x étant toujours supposé à l'intérieur de 7”.
Si b est la valeur de y correspondant au point B, l'extension ana-
lytique de la différence Pa 9) — > D, y) 108 (0 — y)
est régulière au point B; il en sera de même de la continuation ana-
lytique de:
: I ; PA ZE, (x , y) — Zee 20 (x , y) log(b — y) (Reltion
Sur les fonctions de n variables complexes. 9 c’est-à-dire de:
I Y Da, y)—— log (b — y)2f,(x, y).
La somme Zf,(x,y) est régulière au point B comme chacune des fonctions qui la composent (x restant toujours dans /').
La condition nécessaire et suffisante pour que l'extension analytique de ®(x,y) soit régulière au point PB sera donc que:
identité qui a un sens bien précis pour y dans le domaine de B, x étant toujours quelconque dans /”.
4. Un cas particulier dont la considération sera utile plus loin est celui où la somme précédente se réduit à un multiple de 2x; soit:
