ST V
La continuation analytique de la différence D(& , y) — log @ — y}
est alors régulière au point B.
Le
Démonstration d’un théorème fondamental.
5. Les propositions qui sont l'objet du présent travail, sont la conséquence d’un théorème fondamental que je vais exposer dans cette deuxième partie.
Il] sera tout d’abord question de fonctions de (# + 1) variables complexes de la nature suivante: chacune de ces fonctions est définie à l'intérieur d’une certaine région pour tous les points de laquelle elle n’est pas supposée régulière, muis dans laqueile elle est. monotrope et
Acta mathematica. 19. Imprimé le 23 avril 1894. 9
10 Pierre Cousin.
n'admet pas d'espace lacunaire. Cette dernière condition signifie d'une facon précise que si A7 désigne un point quelconque de la région considérée, il existe un point aussi voisin que l’on veut de AZ pour lequel la fonction est régulière.
Si deux fonctions de cette nature se trouvent définies simultanément à l'intérieur d’une même portion d’aire et si leur différence est régulière en tout point de cette aire, je dirai que les deux fonctions sont équi-: valentes dans la portion d'aire considérée; si leur différence est réguliére en un point, les deux fonctions seront équivalentes en ce point.
La condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions # et ® soient équivalentes en un point , est que l’on ait pour les points situés dans le domaine de /Z:
f étant une fonction régulière en M.
Il est clair que deux fonctions équivalentes en un point à une même troisième sont équivalentes entre elles.
Cela posé, soit Z' un ensemble de contours fermés simples ou com- POSéS 71, Jar. 7x tracés respectivement sur les » plans des x variables Lis Tasv.. M. Dans tout ce paragraphe le point x (x,,,,...,,) sera constamment supposé à l'intérieur de Z' et pourra être quelconque dans l', les seules distinctions à faire dans la position des points représentant des variables porteront sur une (n + 1)" variable y; de telle sorte que quand yje-dirai que la fonstion f(x, y).de x, .,...), 4, y estréguliere en un point du plan de la variable y, cela signifiera qu’elle est régulière en ce point quel que soit æ à l'intérieur de 1”.
Soit S une aire connexe du plan de la variable y: cette aire S est SHbdiViSée eh réSIOnS put. NT é et dont chacune est limitée par un contour fermé simple. Deux régions
périmètre: cette portion cominune sera désignée par {
en nombre quelconque mais fini,
et À, seront dites contiguës si elles ont une portion commune de
np (xp peut être une
ligne continue, ou bien être composée d'un certain nombre de lignes continues distinctes mais en nombre fini: les extrémités de /. seront les
np
extrémités des différentes lignes qui la composent; /,, est la ligne que
np y doit traverser pour passer de la région À, à la région À, sans entrer
dans une autre région que ces deux-là; j'aurai à envisager des intégrales
Sur les fonctions de n variables complexes. A
pour lesquelles le chemin d'intégration sera /,,; j'établis à cet effet la distinction suivante entre les deux notations {,, et L,,: l,, sera parcourue pour l'intégration dans le sens qui est direct sur le périmètre de R,; l, Sera parcourue dans le sens qui est direct sur le périmètre de Ê,: ainsi /,, et {, désigneront le même chemin d'intégration mais avec des sens différents; il résulte de là que y, en passant de À, à À, traversera ly dans le sens direct, et 1, dans le sens indirect.
J'aurai encore à considérer les points qui sont communs aux périmètres de plus de deux régions, tout en étant intérieurs à S (et non sur son périmêtre); ces points seront appelés des nœuds; soit B un de ces nœuds; si j'appelle R,,;, R,5R,,..., R,,R, les récions que. l'on’traverse successivement en faisant le tour du point PB dans le sens direct, B est l'extrémité commune aux Ycheminsad'intésrationcs, Des ds Lil; les- régions R,,R,,R;,...,R,, R, séront dites attenantes au nœud B.
À chaque région À, je fais correspondre une fonction des (n + 1) variables complexes x, ,%,,...,%,,Y, f,(x,y) définie pour x intérieur à Z’et pour y intérieur à un contour fermé &, enveloppant R,: à l'intérieur de la région où elle est définie f,(x, y) est supposée monotrope et sans espace lacunaire; on fait de plus l'hypothèse suivante: si À, et R, sont deux régions contiguës, &, et &, ont une portion d’aire commune où les deux fonctions f(x,y) et f,(æ,y) sont simultanément définies; on suppose que ces deux fonctions sont équivalentes dans la portion d’aire où elles sont simultanément définies; ?,, étant tout entière dans cette portion d’aire, il résulte de là que la différence f,(x, y) — f,(x , y) sera régulière en tout point de /,,, y compris ses extrémités.
Si À est un point intérieur à R,, je dirai que f,(x, y) est la fonction correspondant au point À; et si À est un point commun aux périmètres de plusieurs régions R,, R,, R, etc. la fonction correspondant au point À sera l’une quelconque, prise à volonté, des fonctions f,(x , y), f(x; y), Le, y) etc.
Voici le théorème que je vais établir:
Théorème fondamental. | existe une fonction F(x,y) monotrope et
12 Pierre Cousin.
sans espace lacunaire définie pour x intérieur à [' et y intérieur à S et qui, en chaque point intérieur à S, est équivalente à la fonction correspondant à ce point.
L'expression point intérieur à S, employée dans l'énoncé précédent. exclut les points situés sur le périmétre de S.
Définition des fonctions I,,(x, y) et ®(x, y). Pour le démontrer, je pose, À, et R, étant deux régions contiguës:
JT (x , y) = I fr(& , 2) et CT. 2) da;
