RAM
est une fonction régulière de x et y à l'intérieur de (S,, $;) comme chacun des termes qui la composent.
L'expression (3) a donc un sens bien déterminé; il reste à montrer que deux quelconques des expressions de F{x,y) fournissent la même fonction. Soit (4 étant un entier positif) les deux expressions:
F(x ) y) PT 2 Optr
et
F(x ; y) Nr SE 2 Dre J
elles définissent F(x,y) respectivement à l'intérieur de (S,, 5) et (Six Six) elles définissent donc simultanément F(x, y) à l'intérieur de ($S,, S;); pour vérifier qu’elles donnent la même fonction il suffit de se rappeler que:
a Op+r = Pp+r+i PE Lpire
La fonction F(x,y) satisfait aux conditions de l'énoncé. Car si (4, b) est un point quelconque intérieur à (S, S'), on peut prendre p assez grand pour que (a,b) soit intérieur à (S,, S;); dès lors F{x,y) est définie dans le domaine de (a, b) par l'égalité:
F(x 7] y) Pp+1 SE 2 tes
60 Pierre Cousin.
La série du second membre est une fonction régulière au point (a, b); done, en ce point, F(x, y) est équivalente à ç,,, et par suite à la fonction f(x , y) de l'énoncé. |
Démonstration du théorème XII Elle est analogue à la précédente avec cette différence que les fonctions F{x,y), &, d ne sont définies qu'à un multiple prés de 2ir; il n'en est pas de méme des fonctions à dont chacune est définie sans ambiguïté. On sera en effet conduit comme pour la démonstration précédente à poser:
Dis LE (or = 4 :
On prendra pour £ l’une quelconque des déterminations de la différence LL à
Ds — @,; chacune de ces déterminations est une fonction régulière dans
(S, , S;); le polynôme P se détermine comme précédemment et l'on pose:
d, = ce TT fes do, est ainsi définie sans ambiguïté.
29. Du théorème précédent on déduit les deux suivants par un mode de raisonnement déjà donné.
Théorème XIII J} existe une fonction Vi(x , y) régulière en tout point
Vab(æ ; 4)
(a, b) intérieur, à (S, S') et telle que le quotient Do
soit régulier et différent de © au point (a, b).
Théorème XIV. Si une fonction ®(x, y) n'admet à l'intérieur de (S, S que des singularités non essentielles, elle est le quotient de deux fonctions W et V régulières à l'intérieur de (S, S') et telles que la fonction obtenue est irréductible à l'intérieur de (S, S").
Il est à remarquer que dans l'énoncé précédent aucune hypothèse n'est faite sur la nature des singularités que peut admettre ®(x,y) sur le périmètre de (S, S'); ce périmetre peut être une ligne de points singuliers essentiels pour la fonction (x, y).
30. Je signale un cas particulier du théorème précédent pour montrer un exemple de l'application qu'on peut en faire.
Sur les fonctions de 7% variables complexes. GI
Soient © et C’ deux contours fermés simples pris respectivement sur les plans des deux variables x et y; AB une ligne sans boucle intérieure
à C et limitée aux points À et B; A'B' une ligne analogue intérieure
à C'; soit ®(x, y) une fonction de x et y qui n’admet à l'intérieur de C et C' que des singularités non essentielles; excepté sur les lignes AB , A'B' qui peuvent être des lignes de points singuliers essentiels. En considérant AB et 4'’B' comme des contours fermés indéfiniment aplatis, le théoreme précédent, appliqué à cet exemple, montre que (x, y) est le quotient de deux fonctions régulières à l'intérieur de © et C’, sauf sur
les lignes AB et 4’B.
31. Je me suis borné dans cette quatrième partie, pour éviter des complications de notations qui m'ont paru inutiles, à considérer le cas de deux variables complexes. Les mêmes démonstrations s'étendent sans aucune difficulté au cas de » variables complexes.
Caen, le 28 octobre 1893.
Vu et approuvé:
Paris, le 30 novembre 1893, Le Doyen pe LA Facurré pes ScreNcEs,
