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Fe fermés simples comme il vient d’être indiqué et dont chacune est complète-
CCR OTEEUDhOSe dont chacune #$ est limitée par (x I) contours p Ï
ment intérieure à la suivante; de telle sorte que si À est un point quelconque intérieur à S, il sera aussi intérieur à S, si p est choisi assez grand.
La ligne L, a été supposée fermée; on pourra supposer qu'elle n’est pas une ligne fermée pourvu qu'elle puisse être considérée comme la limite d’une suite de contours fermés simples au sens qui a été donné à cette expression. Par exemple, L, pourrait être un cercle de rayon
56 Pierre Cousin.
infini, ou bien encore une hyperbole, en supposant S extérieure à cette
hyperbole. | Dans les théorèmes suivants S désigne une aire du plan de la variable x limitée par (x + 1) lignes Z,, L,, L,...., L, satisfaisant aux
conditions précédentes et S désigne une aire du plan de la variable y
limitée d'une facon analogue par les (in + 1) lignes 4, L,..., L,.
Théorème XI. On suppose qu'à chaque point (a, b) intérieur à (S, S') correspondent :
1° deux cercles: 1 de centre a et 7,, de centre b, respectivement intérieurs à S et S';
2° une fonction f(x ,y) des deux variables x et y monotrope et sans espace lacunaire, définie à l’intérieur de (l'y, ra) et telle que si (ab) est un point intérieur à (Ly, Ta) la fonction f(x, y) soit équivalente au point (a', b") à la fonction f(x, y).
Il existe une fonction F(x,y) de x et y monotrope et sans espace lacunaire, définie à l’intérieur de (S, S') et équivalente en tout point (a, b) intérieur à (S, S') à la fonction f(x, y) correspondant à ce point.
Théorème XII. Aw lieu de supposer que chacune des fonctions f(x , y) de l'énoncé précédent est monotrope et sans espacé lacunaire, on peut supposer que chacune d'elles f(x , y) est le logarithme d'une fonction v,,(x , y) régulière à Vintérieur de (1,7) et telle que si (a’,b') est un point intérieur à vao( ; Y) Va’ (® , y)
Il existe alors une fonction F(x,y) définie à l'intérieur de (S, S) à un multiple près de 2ix et équivalente en tout point (a, b) intérieur à (S, S) à la fonction f(x ; y).
(Lys Tw) le quotient soit régulier et différent de © au point (a', b).
Démonstration du théorème XI. Soit: S,8,,...,S,,... la suite indéfinie d’aires ayant pour limite S et dont chacune est composée d’après les indications du précédent paragraphe, et soit S;, S,,...,8S,,... la suite analogue ayant pour limite S.
Chacune des aires (S,,S) (p—1,2,..., ©) étant intérieuresà (S, S’), il existe (théorème T) une fonction de æ et y monotrope et sans espace lacunaire, définie à l’intérieur de ($,, $;) et équivalente en tout point intérieur à (S,,8;) à la fonction de l'énoncé correspondant à ce
point. Il est clair que l’on obtiendra une nouvelle fonction satisfaisant
aux mêmes conditions que ç, en retranchant de @, une fonction quelconque de x et y régulière à l’intérieur de LS CUS): Considérons la différence:
N Pp41— Pp — Ops
o, sera une fonction réguliére à l'intérieur de PSS)
Soie sion, £,,... une suite indéfinie de nombres tous positifs formant une série convergente.
Je dis que les fonctions ç,,w,,...,@,,... peuvent étre choisies de
telle sorte que l’on ait à l'intérieur de (S,,, S5;):
MOTOS, CRUE
En effet y; étant un entier positif au moins égal à 2, supposons que és n(u — 1) premiers fonctions @,,6,,...,@,,... satisfassent à la condition précédente: je vais montrer qu'on peut choisir la fonction @,,, de telie sorte qu'elle y satisfasse également.
Il existe, en effet, une fonction d,,, de x et y monotrope et sans espace lacunaire à l'intérieur de (5,,:, S,,,) et équivalente en tout point intérieur à (S,,1, S,,1} à la fonction de l'énoncé correspondant à ce point.
Il faudra prendre pour w,,, une fonction équivalente à d,,, à l'intérieurs de (S,:,,S,.4et choisié-de telle Sorte que;- à l’intérieur, de (ose). on ait:
mod es Fe el Ée CE
Je considère pour cela la différence :
(1) DT o
qui est régulière à l’intérieur de (S,, S;).
Je prends alors dans le plan de la variable x sur le périmètre ou a l'extérieur de Z, un point a, à distance finie ou infinie; si L, est un cercle de rayon infini ce choix ne peut se faire qu’en prenant pour a, le point ©. Sur le périmètre ou à l'intérieur de chacune des lignes L, &—1,2,...,n) je prends un point quelconque a; si la ligne L, se réduit à un point À, ce choix ne peut se faire qu’en prenant pour a, le point À lui même. D'une façon analogue, je prends dans le plan de la variable y les (m + 1) points b,,b,,...,0b,. Les aires S,; et 5, sont
Acia mathematica. 19. Imprimé le 2 mai 1894, 8
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limitées, la première par (n + 1) contours fermés simples C,;, es de Ce)
et la seconde par (m+ 1) contours simples C,,C;',,.…, C#",; les points a, et db, sont extérieurs respectivement à C, et C}'; (S,, S,1) est in-
térieure à (S,, S;) et la fonction €, est régulière à l’intérieur dés 152
I existe alors (proposition VIT) un polynôme P entier en =: Œ à,
ne : date] que, à l'intérieur de (S, :, S;;) ae ee .. y 9 LL
z— à, ? &@— an y — D, ? y —by d ER
mod (&, — P) < e,.
Je pose:
= ) Dir + Dis Je
Comme P est une fonction régulière à l’intérieur de (S, S”) et à fortiori à l'intérieur de (S,,1, Sy) la fonction @,,, est équivalente à d,,, à l’'in- LÉTIEUT UE Se Si):
L'égalité (1) devient:
= ) Cas CRE Cu SE é A+ I
avec:
mod (@, — P) <'e, à l'intérieur de (5,2, S:2,)
ns
et en posant:
jaurai:
N Pur ae On = 0,
avec:
mod{(d) <,e, à. l'intérieur defss,, S7.)
On à ainsi déterminé la fonction @,,, satisfaisant aux conditions requises. On déterminera de méme de proche en proche la suite indéfinie de fonctions w,:, 0,3,
Je définis une fonction J'(x, y) à l’intérieur de (S, S') par la conditionFuivante: on 3, à l'intérieur de(s, , Shine sc)
(3) F(x x U) = Chi — 2 Re
Sur les fonctions de # variables complexes. 59
On a ainsi une infinité d'expressions de la fonction F(x,y); il faut montrer que chacune d’elles a un sens bien déterminé et que toutes définissent la même fonction.
La série du second membre de (3) est une fonction régulière de x et y à l’intérieur de (S,, S'); car on a, à l’intérieur de LS SS)la suite indéfinie d’inégalités:
MO OR TENEX G=1,2,3,., 0)
La suite des e,,, étant une série convergente, 1l en résulte (proposition
VIID que la. série:
