INTRODUCTION

Lie mot fonction^ qui a sefvi primitivement à désigner les différentes puissances d' une même quantité^ a pris une signification de plus en plus étendue, jusqu'à ce que Dirichlet ait donné à ce mot le sens qu'on lui attribue aujourd'hui.

Il y a fonçHony dès qu'on imagine une correspondance entre des nombres, qu'on convietit de considérer comme les états de grandeur d'une même variable y, avec d'autres nombres, tous distincts, qu'on convient de considérer comme les états de grandeur d'une même variable x. On ne s'occupe pas, dans cette* définition, de rechercher par quels moyens la correspondance peut être effectivement établie ; on ne cherche même pas s'il est possible de l'établir. La notion de fonction, entendue de cette manière, est entièrement contenue dans la notion de détermination] ce point de vue s'oppose à celui qui consiste à partir de certaines fonctions simples, et à considérer des expressions composées avec ces fonctions simples, en réservant le mot de fonction aux expressions ainsi obtenues.

Après avoir défini, d'après Dirichlet, la fonction la plus générale, on est conduit à distinguer les fonctions en différentes catégories, suivant qu'elles possèdent ou ne possèdent pas telle ou telle propriété; c'est ainsi, par exemple, qu'une fonction peut être continue ou discontinue, ponctuellement ou totalement discontinue, intégrable ou non intégrable, posséder Ou non une dérivée, etc. • . . Chacune de ces distinctions conduit à une étude particulière, et toutes ces études présentent le caractère suivant: on recherche si le fait d'imposer à la fonction la plus générale telle ou telle restriction s'exprimant par une définition simple entraîne d'autres conséquences simples.

Par exemple, on a reconnu, contrairement à ce qui avait été longtemps admis, qu'il existe des fonctions continues n'admettant pas de dérivée. Ce

Baire: Sur les fonctions

résultat doit être entendu de la manière suivante: le fait d'imposer à une fonction la continuité n'entraîne pas comme conséquence l'existence d'une dérivée; il en résulte que les fonctions continues qui admettent une dérivée ne forment qu'une classe particulière dans l'ensemble des fonctions continues; autrement dit, c^est 'par exception qu^une fonction continue admet une dérivée.

Indiquons un autre exemple: on démontre qu'une fonction continue est uniformément continue] ces deux propriétés, la continuité et la continuité uniforme, sont définies d'une manière différente l'une de l'autre; on pouvait croire a priori que l'une n'entraîne pas l'autre, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions continues, mais non uniformément continues; le théorème que je rappelle montre que cela n'est pas.

D'une manière générale, étant donné un ensemble de propriétés bien définies qu'on impose à une fonction, il y a lieu d'étudier aussi complètement que possible les propriétés qui sont des conséquences nécessaires des premières. C'est, à ce qu'il me semble, la manière la plus nette d'interpréter les résultats des différents travaux entrepris sur les fonctions de variables réelles; parmi ces travaux, qui sont nombreux, je me contenterai de citer le mémoire de M. Darboux: « Sur les fonctions discontinues », et l'ouvrage de M. Dini: a Fondamenti per la teorica délie funzioni di variabili reali jj.

Le présent travail est conçu dans cet ordre d'idées; je vais indiquer brièvement la nature des questions que je me suis proposé de résoudre.

Après avoir, dans le premier chapitre, exposé quelques considérations générales qui s'appliquent à toutes les fonctions, et donné des définitions dont j'ai besoin dans la suite du travail, j'aborde, dans le chapitre II, l'étude des deux problèmes suivants:

1. Une fonction de deux variables x et y étant assujettie à être continue par rapport à chacune d'elles, les valeurs qu'elle prend sur une ligne quelconque forment une fonction d'une variable qui peut être discontinue: je me propose d'en déterminer la nature.

2. Quelles sont les fonctions discontinues qu'il est possible de représenter par des séries dont les termes sont des fonctions continues?

Je suis parvenu à résoudre complètement ces deux problèmes, qui se trouvent admettre la même solution, ce qui m'a conduit à les traiter simultanément: il existe une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction discontinue puisse être obtenue, soit dans les conditions du premier problème, soit dans les conditions du second; le chapitre II est tout entier consacré à l'établissement de cette condition, que j'ai été conduit à énoncer ainsi: il

de variables réelles.

faut et il suffit que la fonction donnée soit 'ponctuellement discontinue relative' ment h tout ensemble parfait.

Les questions traitées dans les deux chapitres suivants, qui sont- des généralisations en divers sens des questions précédentes, sont loin d'être résolues d'une manière aussi complète. Dans le chapitre III, où il ne s'agit que de fonctions d'une seule variable, je définis, en particulier, les fonctions développables en séries doubles de fonctions continues] n'étant pas parvenu, en ce qui concerne ces fonctions, à trouver une condition caractéristique aussi complète que celle du chapitre II, je nie suis contenté d'exposer les résultats partiels que j'ai obtenus sur la question. Dans le chapitre IV, je donne quelques propriétés des fonctions de plusieurs variables, continues par rapport à chacune d'elles.

Enfin j'étudie, dans le chapitre V, une question en apparence assez distincte de celles qui précédent. Je fais remarquer tout d'abord que les raison* nements par lesquels on intègre les équations aux dérivées partielles les plus

simples, par exemple l'équation: ^ -{- ^ = 0^ introduisent l'hypothèse de

la continuité des dérivées qu'on emploie. Il est donc légitime de se proposer le problème suivant: rechercher toutes les fonctions assujetties seulement aux conditions indispensables pour que les éléments qui entrent dans l'équation donnée aient un sens et vérifient cette équation. Par exemple, en ce qui

concerne l'équation: Tp -|- j^==0, on sait que, si l'on assujettit une fonction à «être continue ainsi que ses dérivées, et à satisfaire à l' équation, elle doit être constante sur chaque droite: x — y=^ Constante; il s'agit de savoir si, lorsqu'on supprime l'hypothèse de la continuité des dérivées, le résultat subsiste ou non.

D'une manière générale, il arrive très souvent qu'une question d'analyse étant posée, on introduit, pour traiter cette question, des hypothèses plus restrictives qu'elle n'en comporte par elle-même ; on peut donc dire qu'on laisse inachevée une partie du problème; il s'agirait de traiter, au moins dans quelques cas simples^ cette partie de la question qu'on a, pour ainsi dire, abandonnée en chemin ; c'est ce que j'ai essayé de faire pour l'exemple traité dans le chapitre V; je suis arrivé, comme on le verra, à résoudre en partie la question.

Les principaux résultats contenus dans ce travail ont été communiqués à l'Académie des Sciences dans les séances du 8 novembre 1897 , du 21 mars, des 6 et 13 juin 1898,

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