CHAPITRE I

Généralités sur les fonctions de n variables.

1. Considérons une fonction quelconque des n variables x^^ x^^... Xn] cela veut dire que, dans un certain domaine D de Tespace à n dimensions, nous supposons qu'à chaque système (a?,)o, (a;,)o,. ,. (arn)o, appartenant au domaine D correspond un nombre, que nous désignons par f{{Xi)oj (^^î)©,-.- (3^n)o).

Soit un point P du domaine D, de coordonnées (a:,)©^ (ar,)o,... (Xn)o] considérons la sphère à n dimensions de centre P et de rayon p,, c'est-à-dire l'ensemble des points pour lesquels on a :

L'ensemble des valeurs de la fonction en tous les points dont les coordonnées satisfont à cette condition a une limite supérieure (ou maximum) Mi, Prenons une suite décroissante de nombres positifs, tendant vers 0. Soit:

On prendra successivement les sphères de centre P et de rayons p,, />i,... /5p,...; soient 3f,, -Mj,... Jtfp,... les limites supérieures de f dans ces sphères; chaque sphère étant comprise dans la précédente, on a évidemment la suite d'inégalités : ♦

M^^Mt^-'^Mp^" (1)

La quantité itfp, qui ne croît jamais, a une limite déterminée quand p croît indéfiniment; je désignerai par M [(a;,)o, {Xt)oy... {Xn)o] ou 3/o cette limite, et je dirai que Mo est le maximum de la fonction au point P.

2. On sera conduit au m.ême nombre Jf©, si au lieu d'une suite de sphères, on considère une suite de domaines de forme quelconque D|, i)^,... Dqy... pourvu qu'ils satisfassent aux conditions suivantes:

1.^ Le point P est intérieur à chacun de ces domaines, en entendant par là qu'il existe une sphère de centre P et de rayon positif dont tous les points intérieurs font partie du domaine.

2.^ La plus grande dimension de Dq tend vers 0, en entendant par là que, si petit que soit p, il existe une valeur de q telle que Dq est contenu tout entier à l'intérieur de la sphère de centre P et de rayon p.

de variables réelles.

Supposonfi en effet ces deux conditions remplies, et soient il/',, J/'»,... M'q^... les limites supérieures de la fonction dans D,, Aj--* Dq^... En vertu des deux propriétés précédentes, il existe pour tout nombre M'q deux nombres Jlf^', Mp" de la suite (1) tels que l'on a:

et de plus, p\ et par suite p'\ croissent indéfiniment avec q. Donc M'q a pour limite Mq.

3. Les propriétés fondamentales du nombre Jlfo, qui résultent immédiatement de sa définition, sont les suivantes:

1.° Si petit que soit le nombre positif e, il existe un nombre positif p tel que, dans la sphère de centre P et de rayon p, on a en tout point:

f(Xi , a?, , » . . .Tn) < 3fo + e.

2.° Si petits que soient e et p, il existe dans la sphère de rayon /& i\\x moins un point pour lequel on a:

4. Etant donnée une fonction /, j'aurai souvent besoin de considérer^ simultanément, d'une part la limite supérieure de f dans un certain domaine continu à n dimensions, d'autre part le maximum en un pointj tel que je viens de le définir. Je préciserai, lorsque cela sera nécessaire, en désignant par M [/*, D] le maximum de f dans le domaine 7), et par M [/*, F] le maximum do f au point P.

Remarquons que, d'après nos définitions, si un point P est à Vintérieur d'un domaine D (c'est-à-dire s'il existe une sphère de centre P contenue dans Z)), on a certainement:

5. J'appelle l'attention sur un cas particulier intéressant. Supposons qu'en un point P on ait:

Alors, si petit que soit le nombre positif £, on peut trouver un nombre p tel que, dans la sphère de centre P et de rayon p, on ait en tout point:

La fonction possède donc au point P l'une des deux propriétés dont l'ensemble

Baire: Sur les fonctions

constitue la continuité; l'autre serait exprimée par la condition;

Nous conviendrons de dire que la fonction possède au point P la semi^continuité supérieure. Si la propriété a lieu pour tous les points d'un domaine, nous dirons que la fonction, dans ce domaine, est semi-continue supérieurement. On peut dire aussi qu'elle est toujours égale à son maximum.

6, Pour donner tout de suite des exemples de fonctions possédant la propriété précédente, partons d'une fonction quelconque f{Xi^ a;,,... a*»), et appelons <f{x^J o^s,... x'n) la fonction qui a pour valeur en chaque point le maximum en ce point de f.

La première des propriétés indiquées au § 3, peut s'exprimer de la manière suivante:

Etant donné s, on peut trouver un domaine D entourant le point Po^

et tel que:

Si maintenant nous prenons dans D un point quelconque P, on a en ce point:

et par suite:

ce qui s'écrit:

C'est la propriété qui caractérise les fonctions que j'ai appelées semi-continues supérieurement.

On peut faire la démonstration d'une manière un peu différente. J'énonce d'abord quelques remarques sur les domaines à n dimensions.

Etant donné, par exemple, une sphère de centre Pq^ je considère, d'une part, l'ensemble S des points pour lesquels :

d'autre part l'ensemble S' des points pour lesquels:

Je dirai que S est une sphère fermée, S' une sphère ouverte. La différence essentielle entre ces deux ensembles réside dans le fait suivant:

Etant donné un point quelconque de S', il existe une sphère ayant ce point pour centre et de rayon positif, dont tous les points font partie de S\ J'ap-

de variables réelles.

pelle d'une manière générale domaine ouvert à n dimensions tout ensemble de points possédant cette propriété. On voit que l'ensemble S ne rentre pas dans cette catégorie de domaines.

Cela posé, je dis que, dans tout domaine ouvert, les deux fonctions f et (f ont même limite supérieure; cela tient à ce que, X étant un nombre quelconque, si l'une des deux fonctions peut dépasser dans le domaine la valeur X — e, quel que soit c, cela est également vrai pour l'autre fonction. (On voit aisément que le raisonnement ne s'applique plus si le domaine n'est pas ouvert.)

Ce point étant établi, pour définir le maximum en un point de f et de y, nous pouvons employer une suite de domaines ouverts D,, Dj,... Z)^,...; les limites supérieures de f et <f dans chacun de ces domaines sont égales; par suite, les maxima de / et f au point P sont définis comme limites de suites identiques; il sont donc égaux. Ainsi, on a, en tout point P:

et comme, par définition, on a:

on voit que :

c'est-à-dire que la fonction f est égale à son maximum, autrement dif, elle est semi-continue supérieurement,

7. De môme que nous avons défini M[f\j nous définirons, en chaque point P, le minimum m de la fonction /"(a;,, a:,,... Xn)] m sera la limite vers laquelle tend le minimum de f dans un domaine entourant P, lorsque la plus grande dimension de ce domaine tend vers 0.

Si en un point P on a:

on dira qu'en ce point la fonction possède la semi-continuité inférieure.

En partant d'une fonction quelconque f{Xi^ x^^.,. Xn)j et en appelant ^(Xij Xf,... Xn) la fonction qui a pour valeur en chaque point le minimum de fj on reconnaît que ^ est semi-continue inférieurement.

8. Remarquons tout de suite que si une fonction ^ est semi-continue inférieurement, la fonction — ^ est semi-continue supérieurement ; à toute propriété de l'une correspond évidemment une propriété de l'autre; il nous suffira donc d'étudier les fonctions de l'une de ces catégories.

8 Baire: Sur les fonctions

Donnons, à tftre d'exemple, quelques propriétés simples de ces fonctions,

La somme de plusieurs fonctions semi-continues supérieurement, est une fonction semi-continue supérieurement.

Si, dans uii certain domaine, une fonction semi-continue supérieurement a pour limite supérieure X, elle atteint, en un certain point du domaine, la valeur 1. Il suffit, pour s'en rendre compte, de reprendre le raisonnement qu'on emploie lorsqu'on suppose la fonction continue : on divise le domaine donné en un nombre iini de domaines partiels; dans l'un au moins de ces domaines la limite supérieure est X; on démontre ainsi l'existence d'un point oîi le maximum de la fonction est X, et .où par suite la fonction est elle-même égale à }..

Indiquons enfin une propriété qui est, en un certain sens, la propriété caractéristique des fonctions semi-continues supérieurement.

Soit Po un point limite de points P,, Pj,... Pny-] supposons que la suite /"(Pi), /"(P,),... f{Pn)j»" ait una limite a, ou, plus généralement, soit a un nombre tel que, si petit que soit e supposé positif, les quantités de la suite précédente surpassent, à partir d'un certain rang, a — e; on peut affirmer que l'on a:

car si l'on avait f{Po) < «, la fonction ne posséderait pas au point Po la somicontinuité supérieure.

Sous une autre forme, nous pourrons dire que si une fonction f est semicontinue supérieurement^ Vensemhle des points où Von a f^a est toujours un ensemble fermé^ c^est-à-dire un ensemble contenant son dérivé.

De même, si une fonction est semi-contimie inférieur ement, Vensemble des points où f^ a est essentiellement fermé.

9. Soit f une fonction quelconque^ (f son maximum, ^ son minimum, et soit g une fonction continue. Je dis que la fonction f+g a pour mnximum (f-\-g et pour minimum ^-{-g»

Démontrons par exemple que f-^g a, au point Po, son maximum égal h (fo + go. En effet, si on se donne un nombre positif e, on peut déterminer autour de Po un domaine en tout point duquel on aura à la fors:

/< ?o + I ^ et :

de variables réelles. 9

et par suite :

Il est donc certnin qu^on a :

M [f+ g, Po] ^ ?o + i/o .

En second lieu, on peut trouver un domaine autour de Pq oîi Ton aura partout :

9 >9o — I • Dans ce domaine, il y a au moins un "point où Ton a :

et par suite :

f+9>9o + 9o — ^' ce qui montre que l'on a :

M[f+9j Po]=9o + 9o.

10. Continuons à employer les notations fj ç, ^ pour désigner respectivement une fonction quelconque, son maximum et son minimum. On a, en tout point:

Chacune des deux fonctions 9 — /", f—^ est positive ou nulle. ^

Je dis que, dans tout domaine à n dimensions, y — /" a pour limite inférieure 0. Je peux toujours, dans le domaine donné, prendre un domaine ouvert; il me suffit donc de démontrer la chose pour un domaine ouvert. Supposons donc que la limite inférieure de <p — /* dans le domaine ouvert 7) puisse être un nombre positif X. On aurait, en chaque point de ce domaine:

ou :

On pourrait en conclure :

et d'après le § 9, on a :

Af[/-+x, D] = ^f[f, 7)] + x.

10 Baire: Sur les fonctions

Donc on aurait:

ce qui n'est pas possible, puisque nous savons qu'on a :

On reconnaît de même que f—^R pour minimum dans, tout domaine h n dimensions.

On peut aussi conclure de là que chacune des deux fonctions (p — /", /*— i//, a pour minimum en tout point.