ARTICLE

Hypothèses non fingo»

Neque enim leges intellectui aut rehas damus ad arhitrium no$tru/m, sed tanquam sçribae fidèles ahipsius naturae voce latas etprolatas excipimiu et describimus,

Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia.

§ 1. — La notion de puissance ou le nombre cardinal.

Nous appelons c ensemble > toute réunion M d'objets de notre conception m, déterminés et bien distincts^ et que nous nommerons e: éléments !> de M. Nous écrirons ainsi

La réunion de plusieurs ensembles M, N, P, *>$ qui n'ont aucun élément commun^ donne un ensemble qui sera représenté par

Les éléments du nouvel ensemble sont ainsi les éléments de M^ de N^ de ?, etc.^ considérés comme formant un seul tout.

(i) Publié dans les Mathematische Annalen, Bd XLVI^ p. 481-512. l S'^i'^-

Nou» dirons qu'un ensemble M^ est une c partie > de Tensemble M, si les éléments de M, sont aussi des éléments de M.

Si M, est une partie de M^ M^ une partie de M, M, est aussi une partie de M.

. A tout ensemble M correspond une c puissance )> bien déterminée que nous appelons aussi son a: nombre cardinal :».

Notis appelons (c puissance i^ ou ^ nombre cardinal » de M, la notion générale que mus déduisons de M à Vaide de noire faculté de penser, en faisant abstraction de la nature des différents éléments m et de leur ordre.

Nous représentons par

le nombre cardinal ou pyissance de M, résultat de ces deux abstractions.

Chaque élément isolé m, abstractjon faite de sa nature^ est une a: unité > ; le nombre cardinal M est donc lui-même un ensemble déterminé d'unités qui se présente comme Timage ou la projection de Tensemble M dans notre esprit.

Nous disons que deux ensembles M ef'N sont ^équiualents » et nous écrivons ;

(*) M.ajN ou NrsjM

lorsquUl est possible de les associer, de telle sorte qu*à chaque élément de Vun d'eux corresponde un et un seul élément de Vautre.

A chaque partie M, de M correspond alors une partie déteV- . minée équivalente N, de N, et réciproquement.

Si Ton a trouvé une telle loi d'association pour deux ensembles équivalents, on peut (sauf le cas où ceux-ci ne comprendraient qu'un seul élément) en trouver plusieurs autres. Notamment, on peut toujours faire en sorte qu'à un élément déterminé m^ de M, corresponde un élément déterminé n, de N. Car, si la loi d'association primitive ne faisait pas correspondre m, et Hj, c'est qu'à l'élément m^ de M correspondrait

l'élément n. de N, tandis qu'à Télément n« de N correspobdrait l-élément m. de M; il suffit donc de modifier la loi d'associa* tion de façon que m, et n^ et de même m, et n^ deviennent des éléments correspondants des deux ensembles^ et cela sans modifier la correspondance des autres éléments. Nous avons alors atteint notre but.

Un ensemble est équivalent à lui-même

(5) MrsjM.

Si deux ensembles sont équivalents à un troisième, ils sont équivalents entre eux.

(6) DeMrvjP etNrvjP il résuUe MrsjN.

Il est d'importance capitale que deux ensembles M et N ont alors et seulement alors le même nambre cafdinal lorsquHls sont équivalents.

(7) De M rsjN résulte M = N et

(8) DeM = N résulte M rvN.

L'équivalence de deux ensembles est aussi la condition nécessaire et suffisante de Végalité de leurs nomh'es car^ dinaux.

En effet, d'après ladéfinition de la puissance donnée plus haut^ le nombre cardinal M reste inaltéré lorsqu'on substitue d'autres objets à un, à plusieurs ou à tous les éléments de M.

Or, si Ton a M rv? N, il y a une loi d'association qui réalise une correspondance biuniforme de M et N et fait correspondre à l'élément m de M l'élément n de N. Nous pouvons donc substituer à chaque élément m de M l'élément correspondant n de N et par cette opération transformer M en N sans changer le nombre cardinal. Donc

La réciproque de ce théorème résulte de la remarque

qu'entre les éléments de M et les diverses unités de son nombre cardinal M existe jine correspondance biuniforme. Car^ comme nous Tavons vu, M résulte de M en ce sens que chaque élément de M devient une unité de M. Nous pouvons donc dire que

De môme N rv? N, et comme Ton a H = N, il en résulte, d'après (6), MrsjN.

De la notion de Téquivalence résulte encore immédiatement le théorème suivant :

Si M, N, P, ... sont des ensembles formés d'éléments tous distincts et si M', N', P' sont des ensembles correspondants analogues, les relations

MrVjM' NrvjN' Prv;P'.,.

ont pour conséquence

§ 2. — Comparaison des puissances.

Si les deux ensembles M et N, dont les nombres cardinaux sont a = H et & == N, remplissent les deux conditions :

i^ Il n'y a aucune partie de M qui soit équivalente à N,

^^ Ily a une partie N, de N, telle que lH^rsj M, il est tout d'abord évident que celles-ci sont aussi remplies lorsqu'on remplace les ensembles M et N par deux ensembles respectivement équivalents M' et N'; elles expriment donc une relation déterminée entre les nombres cardinaux aetb*

De plus, l'équivalence de M et N, et par suite l'égalité de a et 6 sont exclues ; car si l'on avait M rv; N et N,rv; M, on aurait aussi NjrvjN, et en vertu de l'équivalence des ensembles. M et N, il existerait une partie de M, de M telle que M.rv^M, et par suite M.rv; N, ce qui est contraire à la première condition.

En troisième lieu, la relation de a à b est telle qu'elle exclut la même relation de b àa; car si l'on permute dans

i^ et S'' les lettres M et N, on obtient deux conditions qui sont contradictoires aux premières.

^otis exprimons la relation de aàb caractérisée par les conditions i"" et 2^ en disant : a est plus petit que b ou encore b est plus grand que a^ ce que nous écrivons

(1) a<b on b> a On démontre facilement que

(2) Si a < 6, b <€^ on a toujours a<c.

De méme^ il résulte immédiatement de la définition que si P, est une partie d'un ensemble P, la relation a < Fj entraine toujours a < P e< P < 6 entraine aussi P, < 6.

Nous avons vu que chacune des trois relations

exclut les deux autres.

Au contraire^ il n'est nullement évident ^ et nous nepour* rions que difficilement démontrer actuellement que pour deux nombres cardinatix quelconques a et b, Vune de ces trois relations est nécessairement vérifiée.

Bientôt, lorsque nous aurons jeté un coup d*œil sur la suite ascendante des nombres cardinaux infinis et que nous aurons pénétré leur enchaînement, nous reconnaîtrons Texactitude du théorème suivant :

A. — Si a et b sont de%» nombres cardinaux arbitraires, tan a :

ou a = 6, ou a < 6, ou fl > 6.

On déduit très simplement de ce théorème les propositions suivan*» tes dont nous ne ferons provisoirement aucun usage.

B. — Si deux ensembles M ^/ N sont tels que M est équivalent à une partie N^ e2^ N ^/ N équivalent à une partie M^ deU^ U et^ sont aussi équivalents.

0. — Si M| est une partie d'un ensemble M, M, une partie de Vensemble M^ et si Us ensembles M et M, sont équivalents, ils sont aussi équiva* lents à l'ensemble M^.

D. — Si deux ensembles. M ^^ N sont tels que K n^est équivalent ni avec

M Ini-mim, %i àvêc nnt partie de M» il y a une pzriiê N^ de N gui est éguivaiente iU.

E. — Si dew ensemàlee U etlSine sont pas iqûivàUnts et s'il f a une por/ttf N; de N équivalente à M, U n'y a aucune partie de M équivale te

§ 3. — Uàddition el la multiplication des puissances.

La réunion de deux ensembles M et N qui n'ont aucun élément commun a été représentée par (M, N) [§ 4. (2)]. Nous nommons ce nouvel ensemble Vens^mble'SomYne (Vereinigungsmenge) de U et de ^,

Si M', N' sont deux autres ensembles sans éléments communs et si Mv>j M', Nrv? N', nous avons vu que

Il en résulte que le nombre cardinal de (iM^ N) ne dépend qiue des nombres cardinaux H = a et N = 6.

. Ceci nous conduit à la définition de la somme de a et b lorsque nous posons

Puisque dans la notion de puissance^ il est fait abstraction de Tordre des éléments, nous avons

(2) a 4- fr = 6 + a et pour 3 nombres cardinaux a, b et c

Arrivons à la multiplication.

La réunion d'un élément m d'un ensemble M et d'un élément n d'un autre ensemble N forme un nouvel élément {m, n). Nous désignerons par la notation (M X N) l'ensemble formé de tous les éléments (m, n) et nous l'appellerons

ensemble-produit (Verbindungsmenge) de U et de ^, On a ainsi

(4) (MXN) = K»)(.

On voit facilement que la puissance de (M X N) ne dépend que des puissances de R = a et ^ ==: & ; car si Ton remplace les ensembles M et N par les ensembles respectivement équivalents

M'=|w'| etN'=|n'|

et si Ton considère rUyin' ainsi que n^ n' comme des éléments associés, on voit que Tensemble

(M'XN') = |(w',»')|

est lié à Tensemble (M X N) par une correspondance biuniforme si Ton fait correspondre les éléments (m, n) et (m' n'). Ainsi

(5) (M'xN')pcj(MxN).

Nous pouvons maintenant définir 1^ produit aXb par réquation

(6) ax6 = (MxN),

On peut aussi déduire des deux ensembles M et N, dont les nombres sont a et b, un ensemble de nombre cardinal a X b par la règle suivante : on remplace chaque élément n de Tensemble N par un ensemble M»rv;M; si Ton considère les éléments de tous ces ensembles M. réunis en un seul tout S, on voit facilement que

(7) Sp^(MxN) et par suite

Car si nous désignons par m. Télément de M» correspondant à r^ément m de M, on a :

(8) S = jm.|

et, par suite, les ensembles S et (M X N) se correspondent

d'une manière biuniforme lorsque Ton associe m^ et (m, n).

De nos définitions résultent immédiatement les théorèmes

(9) axb = bxa

10) aX(bX€) = {axb)Xc

(H) ax{b -hc) = ab + ac

parce que

(MxN)po(NXM)

[MX(NxP)]no[(MxN)XP]

[Mx(N,P)]rv;[(MxN),(MxP)].

L'addition et la multiplication des puissances sont ainsi soumises aux lois commutative, associative et distributive.

§ 4. — ^exponentiation des puissances.

Nous disons d'une loi qui, à chaque élément n de N fait correspondre un élément déterminé de M, le même élément pouvant être employé plusieurs fois, qu'elle réalise une représentation (Belegung) de Vensemble N sur les éléments de l'ensemble M, ou, plus simplement, une représentation de N sur M. L'élément de M associé ainsi à n est, d'une certaine façon, une fonction uniforme de n et peut, par exemple, être désigné par f(n) ; f(^) est la fonction de représeûtation de n ; la représentation correspondante de N sera désignée par f (N).

Deux représentations /^(N) et /.(N) sont alors, et seulement alors, dites identiques lorsque pour tous les éléments n d« N on a l'équation

(1) fi{n) = nin)

de sorte que si pour un seul élément particulier n = n^ cette équation n'est pas vérifiée, les représentations f^{^) et /".(N) sont considérées comme distinctes.

Par exemple^ si m, est un élément particulier de M et si Ton suppose que pour tous les éléments n on a

on a une représentation particulière de N sur M.

On obtiendra une autre représentation lorsque, m, et m, étant deux éléments différents de M, n, un élément particulier de N, on pose

pour tous les n différents de n^.

La réunion de toutes les représentations distinctes de N sur M forme un ensemble déterminé dont les éléments sont f(N); nous le nommons Vensemble exponentiel (BelegungB-^ menge) de N avec M et nous le représentons par I9 notation (NIM). Ainsi

(2) (N|M) = {AN)j.

Si Mrv;M', Nrv;N', on voit facilement que

(3) (N|M)r^(N'|MO.

Le nombre cardinal de (N|M) ne dépend donc que des nombres cardinaux M = a et K = b ; cela nous conduit à la définition de a*

Pour trois ensembles quelconques, M, N et P, on démontre facilement les théorèmes suivants :

(5) [(N|M)X(P|M)]no[(N,P)|M]

(6) [(PlM)X(PlN)]rv;[PI(MxN)]

(7) [P|(N|M)]no[(PxN)|M]

Il en résulte^ si l'on pose T = c> que, pour trois nombres cardinaux a, h^ c quelconques, on a :

On reconnaîtra par Texemple suivant combien ces formules simples, étendues aux puissances, sont instructives et d'une grande portée.

Désignons par o la puissance du continu linéaire X (c'est-a-dire de Tensemble X de tous les membres réels x qui sont ^ et r^ l. On s'assure facilement que o peut être représenté par la formule

H^ étant le non^bre défini au § 6.

En effet, d'après (4), 2^* n'est pas autre chose que la puissance de l'ensemble de toutes les représentations

(lî) a? = ^ + ^+...4-^^+...(oùAv) = 0oul).

des nombres x dans le système de numération dont la base est 2. Si nous remarquons, de plus, qu'il n'y a pour chaque nombre x qu^une seule manière de les représenter ainsi, sauf pour les nombres

pour lesquels il y a deux manières, nous voyons qu'en représentant par |d,| l'ensemble « dénombrable » de ces derniers on a :

Supposons que l'on retranche de X un ensemble dénombrable quelconque m et désignons le reste ptfr X^, on a :

X =. ({M, X.) = (['..-.{, fM.x.) |r„.j.->j|«,j .lM~fM , ?t~x,

et il en résulte et par saite (§ 1)

xpo(|4,x)

En élevant au carré les deux membres de la formule et se reportant au § 6, (6)

Où = 2^. 2^» = 2^. + «- == 2^'. =

et par des multiplications successives :

V étant un nombre cardinal fini quelconque.

Élevons les deux membres de (11) à la puissance K,. On obtient :

Mais comme d*après § 6, (8) H^H^z=: M,

La signification des formules (13) et (14) est celle-ci : Les continus à V dimensions ainsi que les continus à H^ dimensions ont même puissance que le continu linéaire. Ainsi, tout le contenu du mémoire du Journal de Crelle^ tome LXXXIV, page 242, est obtenu, d'une façon purement algébrique à Taide des formules fondamentales du calcul des puissances.

§ 5. — Les nombres cardinaux finis.

Nous voulons montrer tout d'abord que les principes que nous venons d'exposer, et sur lesquels nous fonderons la théorie des nombres cardinaux actuellement infinis ou tratisfinis, fournissent aussi l'exposé lé plus naturel, le plus court et le plus rigoureux de la théorie des nombres finis.

A un objet isolé e^, considéré comme élément unique d*un ensemble E, = (e^), correspond comme nombre cardinal celui que nous nommons c un ]> et que nous écrivons 1 ; nous avons :

Si Ton ajoute maintenant à E« un autre objet e^^ Tensemble somme s'appelle Ep de sorte que

(2) E4=(Eo,^) = (^o>0-

Le nombre cardinal de E. s'appelle o: deux j» et s'écrit 2.

Par Tadjonction successive de nouveaux éléments, nous obtenons la série des ensembles

E|= (Ei,^i), E|= (E,, ^g), •..

qui nous fournissent la suite illimitée des autres nombres cardinaux appelés finis et que nous écrivons 3, 4, 5, .... L'emploi que nous faisons des mêmes nombres comme indices se justifie en ce sens qu'un nombre n'est ainsi employé qu'après avoir été défini comme nombre cardinal. Si y — 1 désigne le nombre précédant immédiatement le nombre y dans cette série^ nous avons

(8) E, = (Ev-i,fv) = (^, ^, ..., e.).

De la définijiion de la somme donnée au § 3, il résulte (6) iv = Êv-i + l

c^est-à^ire que tout nombre cardinal fini (sauf 1) est la somme de celui qui le précède immédiatement et de 1.

Dans le développement de nos idées, les trois théorèmes sui- Vants viennent maintenant au premier plan*

A. Les termes de la série illimitée des nombres cardiruiux finis 1, 2, 3, •.., v, ... sont tous différents entre etto (c'est* à-dire que la condition d'équivalence des ensembles correspondant$ domiée au § 1 n'est pas remplie).

B. Chacun dé ces nombres v est plus grandque totts ceuaô

qui le précèdent et plus petit que tous ceux qui le suivent

C. Il n^y a aucun nombre cardinal dont la valeur soit comprise entre deux nombres consécutifs v e< y + 1 (§ 2).

Nous basons la démonstration de ces théorèmes sur les deux suivants D et E que nous établirons d'abord.

D. Si Vensemble M est tel qu'il n'est équivalent à aucune de ses parties^ Vensemble (M, e) qui résulte de M par Vadjonction d^un nouvel élément e, a aussi la même propriété de n'être équivalent à aucune de ses parties.

Ë. Si N est un ensemble dont le nombre cardinal y est fini et Ni une partie de N, le nombre cardinal de N| est égal à Vun des nombres 1, 2, 3, ..., v — 1.

Démonstration de D. — Supposons donc que l'ensemble (M^ e) soit équivalent à une ^e ses parties que nous appelle* rons N^ nous distinguerons deux cas qui conduisent tous deux à une contradiction.

1° L'ensemble N contient l'élément ^; soit N = (M„ é) ; M, est alors une partie de M, car N est une partie de (M, é). Comme nous l'avons vu au § 1^ on peut modifier la loi d'association des deux ensembles équivalents (M^ e) et (M^, e) de façon que l'élément e de l'un corresponde à l'élément e de l'sutre^ et alors les éléments des ensembles M et M| .se correspondent un à un, ce qui est contraire à l'hypothèse que M n'est équivalent à aucune de ses parties.

2"" La partie N de (M, e) ne contient pas l'élément e et, par suite, est ou M ou une partie de M. La loi d'association de (M, e) et de N fait correspondre à l'élément e de (M, e) l'élément / de N. Soit N = (M^, f)\ les éléments des ensembles M et M| se correspondent d'une manière uniforme ; mais M| qui est une partie de N est aussi une partie de M. M serait donc aussi équi* valent à l'une de ses parties^ ce qui est contraire à l'hypothèse.

Démonstration de E. — Supposons le théorème vrai pdjf

un certain nombre y et démontrons-Ie pour le nombre suivant v + l.

Comme ensemble définissant le nombre cardinal v + 1, nous avons pris Ev = (e, ^i ... e^); si le théorème est exact poiir celui-ci, il résulte du § 4 qu'il est aussi vrai pour tout autre ensemble de même nombre cardinal. Soit E' une partie quelconque de E,; nous distinguerons les cas suivants :

4«> E' ne contient pas l'élément e, et est alors ou E, i ou une partie de Ev i ; il a donc pour nombre cardinal ou v ou un des nombres 1, 2, 3> ..., v — 1, puisque nous supposons notre théorème vrai pour l'ensemble E, i de pombre cardinal v.

2° E' se compose d'un seul élément e^, alors 17 = 1.

3^ E' se compose de e^ et d'un ensemble E', de sorte que E' = (E\e,). E' est une partie de Ev-i et a, par suite, pour nombre cardinal unjles nombres 1, 2, 3, ..., v — 1.

Mais on a E^ = Ë* + 1 et par suite E' a pour nombre cardinal un des nombres 2, 3, ..., y.

Démonstration de A. — Chacun des ensembles que nous avons désignés par Ev a la propriété de n'être équivalent à aucune de ses parties. Car s'il en est ainsi pour un certain nombre cardinal y, il résulte du théorème D que c'est aussi vrai poutle suivant y + 1.

Mais pour y = 1, on reconnaît immédiatement que l'ensem* ble E| =(0t,ei) n'est équivalent à aucune de ses parties, qui sont ici («p) et (ei).

Considérons maintenant deux nombres quelconques [ii et y de la série 1, 2, 3, ..., ^l étant placé avant y dans la série; Eji^i est une partie de Ev- 1, par suite E^^i et E^-i ne sont pas équivalents et les nombres cardinaux correspondants ne sont pas égaux.

Démonstration de ^. — Considérons encore les nombres ji. et y ; tt venant avant y dans la série des nombres cardinaux finis, je dis que a < y. En effet, si nous considérons les

deux ensembles M = Ejji i et N = Ev ^ i, ils remplissent les deux conditions données au § 2 pour M < N.

La première condition est remplie^ car d'après le théorème E, une partie de M = Ejji^i a l'un des nombres cardinaux 1, 2, 3, ..., a — 1 et, par suite, diaprés le théorème A, ne peut être équivalent à l'ensemble N = Ev-.i. La deuxième condition est remplie, car M est lui-même une partie de N.

Démonstration de C. — Soit a un nombre cardinal plus petit que v + 1. D'après la deuxième condition du § 3, il y a une partie de Ev qui a pour nombre cardinal a. D'après le théorème E, toute partie de E^ a pour nombre cardinal 1, 2, 3, ..., V.

Donc a est égal à l'un des membres 1, 2, 3, ..., y.

D'après le théorème B, aucun de ces nombres n'est plus grand que v.

Par suite, il n'y a aucun nombre cardinal qui soit plus petit que V + 1 et plus grand que v.

Le théorème suivant sera très important pour la suite.

F. Soit K un ensemble de nombres cardinaux finis et distincts, il y en a un parmi eux x^ qui est plus petit que tous les autres et est ainsi le plus petit de tous.

Démonstration, — Ou l'ensemble K contient le nombre! qui est alors le plus petit X| = 1 ; ou il ne le contient pas. Dans ce cas, soit J l'ensemble de tous les nombres cardinaux de notre série 1, 2, 3, ... qui sont plus petits que les nombres de K. Si un nombre v appartient à J, il en est de même de tous les nombres plus petits que v. Mais J doit contenir un élément vi tel que vi + 1 et par suite tous les nombres plus grands n'appartiennent pas à J, car autrement J comprendrait l'en* semble de tous les nombres finis, ce qui est impossiblo car les nombres appartenant à K ne sont pas contenus dans J. Mnsi J n'est pas autre chose que la suite (1, 2, 3, ... vi). Le nombre xi = vi + 1 est nécessairement un élément de K et il est plus petittiue tous les autres.

De F on déduit:

G. Tout ensemble K = {x| de nombres cardinaux finis et différents peut s'écrire :

où

§ 6. — Le plus petit nombre cardinal transfini aleph-zéro.

Les ensembles dont le nombre cardinal est fini s'appellent ensembles finis; nous appellerons tous les autres des ensembles transfinis et les nombres cardinaux correspondants seront des nombres cardinaux transfinis.

L'ensemble de tous les nombres cardinaux finis v nous donne un exemple immédiat d'un ensemble transflni : nous nommons le nombre cardinal correspondant (§ 1) le nombre aleph-zéro et nous l'écrivons h^, de sorte que

Ce fait que Kq est un nombre transfini, c'est-à-dire n'est égal à aucun nombre fini (jl^ résulte de cette simple remarque que^ si l'on ajoute à l'ensemble [v} un nouvel élément e^, l'ensemble somme ([vj, e^) est équivalent à l'ensemble primitif. Car on établit entre les éléments des deux ensembles une correspondance biuniforme en faisant correspondre à l'élément e^ du premier l'élément 1 du second et à l'élément v du premier l'élément v + 1 du second. D'après le § 3 nous avons donc :

(2) K,+ l = Ko.

Mais nous avons montré au § 5 que fA + 1 est toujours diffé* rent de [i.; donc n^ n'est égal à aucun nombre fini. Le nombre n^ est plus grand que tout nombre fini [x

Cela résulte (§ 3) de ce que ja = (1, 2, 3, ...,îji) ajouté à ceci qu'aucune partie de Tensemble (1, 2, 3, ..., ja) n'est équivalente à l'ensemble |y{, tandis que {l, ^,3, ..., \l) est une partie de |y(.

D'ailleurs n^ est le plus petit nombre cardinal transfini. Si a est un nombre cardinal transiini quelconque différent de K^, on a toujours

Gela résulte des théorèmes suivants :

A. Tout ensemble transfini T a des parties dont le nombre cardinal est i^^.

Démonstration. — Si l'on sépare de l'ensemble T par un procédé quelconque un nombre fini d'éléments f„ f„ ... <v i, on peut toujours en retirer un de plus t^. L'ensemble \t^\ où v désigne un nombre cardinal fini arbitraire, est une partie de T dont le nombre cardinal est n^, car [t,\ ryj |v(. (§ 4.)

B. Si S est un ensemble tr ans fini de nombre cardinal n^, Sj une partie infinie de S, on a aussi 5^ == *<a.

Démonstration. — Nous supposerons que S oj [y| ; si nous désignons par s^ l'élément de S qui correspond à l'élément y de {yj en vertu d'une loi d'association arbitraire, nous avons

La partie S^ de S se compose de certains éléments s^ do S et la réunion de tous les nombres x forme une partie infinie K de l'ensemble {yj. Or, d'après le théorème G, § 5, l'ensemble K peut s'écrire

où

et par suite on a aussi

Si=K(.

Il en résulte que Si ^v S et que Si = «,*

En se reportant au §1, on voit que les théorèmes A et B démontrent la formule (4).

En ajoutant 1 aux deux membres de Tégalité (2), nous avons :

Ko -I- 2 = «0 + 1 = ><oi et en répétant cette opération :

(5) K,+ v=:Ho.

Mais nous avons aussi :

(«) Ko4-K.= K,.

Car d'apr ès l'égalité (1), § 3, *<, + ^^ est le nombre cardinal ^\o>\^ {6v|) parce que

Ko=|av{=î6vj.

Mais on a évidemment :

(|2v-l{.l2v|)<v(j«4,m) et par suite

L'équation (6) peut aussi s'écrire ;

Ko:2 = Ko,

et en ajoutant un certain nombre de fois k» aux deux membres de cette équation :

(7) K^.v = v.Ko= *^o-

Nous avons aussi :

(8) K,.N,= No-

Démonstration. — D'après la formule (6) du § 3, n^. k, est le nombre cardinal de l'ensemble |(|jl, v)|, où i* et v sont deux nombres cardinaux is quelconques, indépendants l'un de

Fautre. Si X représente aussi un nombre cardinal fini arbitraire (de sorte que |X|, \\k\ et {v| sont seulement des modes différents de représenter Tensemble de tous les nombres cardinaux finis), nous avons à montrer que

Posons tt + V = p ; p prendra les valeurs %S,A,.,. et il y a en tout p — 1 éléments [a, vj pour lesquels ;a + v =3 p, savoir :

Supposons que Ton écrive dans cet ordre d*abord l'élément (1, 1) pour lequel p = 2^ puis les deux éléments pour lesquels p = 3, puis les trois éléments pour lesquels p = 4, et ainsi de suite; on obtiendra tous les éléments (y,, v) écrits comme il suit:

et comme on le voit facilement, Télément (jx, y) occupe le rang

X prend successivement les valeurs 1, 3, 3, ... ; il existe ainsi en vertu de (9) une correspondance biuniforme entre les deux ensembles |X| et \i>., vj.

Si Ton multiplie par i<« les deux membres de Téquation (8), on obtient nJ = hJ = h,, et en répétant l'opération, on obtient réquation

valable pour un nombre cardinal fini quelconque y.

Les théorèmes E et A du § 5 nous coaduisent à cette proposition sur les ensembles finis.

C. Tout ensemble fini E est tel qu'il n'est équivalent d aucune de ses parties.

Nous mettrons en regard le théorème suivant relatif aux ensembles transfinis.

D. Tout ensemble transfini T est tel qu'il a des parties ^^ qui lui sont équivalentes.

Démonstration. — D'après le théorème A de ce paragraphe, il y a une partie S = \t,] de T dont le nombre cardinal est n^. Spit T = (S, U), de sorte que U est formé des éléments de T qui sont différents des éléments fv. Si nous posons S, = \t,^i] et T4 = (S„ U), T| est une partie de T que Ton obtient en séparant de T le seul élément t^. Comme S rv; S^ (théorème B de ce paragraphe) et U rvj U, on a aussi (§ 4) T rvj T,.

Les théorèmes G et D mettent en lumière la différence essentielle entre les ensembles finis et transfinis, indiquée déjà dès 1877 dans le Journal de Crelle, tome LXXXIV, page 242.

Maintenant que nous avons défini le plus petit nombre cardinal transfini «^ et obtenu ses propriétés les plus immédiates, la question se pose de rechercher les nombres cardinaux supérieurs et leur génération à partir da k,.

Nous montrerons que les nombres cardinaux transfinis se rangent par ordre de grandeur et forment ainsi rangés, comme les nombres cardinaux finis, quoique dans un sens plus étendu, un ensemble bien ordonné.

De K, résulte, d'après une loi déterminée, le nombre cardinal immédiatement supérieur n^ ; de celui-ci et d'après la même loi résulte le nombre suivant k,, et ainsi de suite.

Mais la suite illimitée des nombres cardinaux

•^O» ^i> *^ii •••> *^'*y •••

n'épuise pas la notion de nombre cardinal transfini. Nous démontrerons l'existence d'un nombre cardinal que nous désignerons par N„ et qui se présente comme le nombre immédiatement supérieur à tous les nombres n^; de ce nombre

résulte^ de la même manière que i^^ résulte de k«, un nombre immédiatement supérieur h^ + i, et ainsi de suite indéfiniment.

Ainsi on déduit^ par une loi simple^ d'un nombre cardinal infini quelconque a, un autre nombre immédiatement supérieur et, de plus, de cet ensemble ascendant illimité et bien ordonné [aj de nombres cardinaux a rësulte simplement un nombre immédiatement supérieur.

Pour démontrer rigoureusement ces résultats trouvés en Tannée 1882 et déjà publiés dans mon ouvrage : Grundlagen einer allgemeinen Mannigfàltigkeilslehre (Leipzig, 1883), ainsi qu'au tome XXI des Mathematische Annalen^ nous emploierons la notion de type, dont nous allons d'abord développer la théorie dans les paragraphes suivants.

§ 7. — Les types ordinaux (Ordnungstypen) des ensembles simplement ordonnés.

Nous dirons qu'un ensemble M est simplement ordonné lorsqu'on a rangé ses éléments dans un ordre de succession jouissant des deux propriétés suivantes : 1° de deux éléments quelconques m^ et m„ l'un rwi a le rang le plus bas, l'autre le rang le plus élevé; 2** si de trois éléments m,, m„ m„ mi a un rang plus bas que celui de m„ et m, un rang plus bas que celui de m,, le rang de m^ est aussi plus bas que celui de m,.

La relation de deux éléments m^ et m, qui fait que m^ a un rang plus bas que celui de m, dans l'ordre de succession adopté sera exprimé par les formules

Ainsi tout ensemble ponctuel défini, porté par une droite illimitée, est un ensemble simplement ordonné, lorsque pour deux points quelconques p^ et p,, appartenant à cet ensemble on attribue le rang inférieur à celui dont l'abscisse est la plus

petite (après fixation d'une origine et d'une direction positive). Il est clair que le même ensemble peut être simplement ordonné de différentes façons. Considérons par exemple l'ensemble R de tous les nombres rationnels positifs - (où p et g

sont premiers entre eux), qui sont plus petits que 1 ; on peut les ordonner en les rangeant par grandeur croissante. Mais ils peuvent aussi être ordonnés de la façon suivante (et nous appellerons R, l'ensemble ainsi ordonné): des deux nombres — et — pour lesquels les sommes p^ + g^ et p, + g, sont

différentes, celui-là aura le rang inférieur qui correspond à la somme la plus petite; si ces deux sommes sont égales, on attribuera le rang inférieur au plus petit des deux nombres. Comme à une seule et même valeur de p + g ne correspondent toujours qu'un nombre fini de nombres rationnels différents, notre ensemble ainsi ordonné aura la forme

«•- t^l. ^> • -^^V. ...) — ^g, g, ^, g, g, g, jj, ^,...j

OÙ

Lorsque nous parlerons d'un ensemble M simplement ordonné, nous nous représenterons toujours ses éléments placés dans un ordre de succession déterminé au sens qui vient d'être précisé.

Il y a des ensembles ordonnés d'ordre deux, d'ordre trois, d'ordre v, d'ordre a, mais nous ne nous en occuperons pas provisoirement. Par suite il nous sera permis d'employer dans la suite l'expression plus courte <r ensemble ordonné i>, alors que nous aurons en vue un a: ensemble simplement ordonné }).

À tout ensemble ordonné M correspond un type ordinal (Ordnungstypus) déterminé que nous désignerons par

Nous entendrons par là la notion générale qui résulte de M

lorsque nous faisons abstraction de la nature des éléments m, mais non de leur ordre de succession.

D'après cela, le type ordinal M est lui-même un ensemble ordonné^ dont les éléments sont des unités perceptibles, qui ont entre elles le même ordre de succession que les éléments correspondants de M^ dont elles résultent par abstraction.

Deux ensembles ordonnés M et N, sont dits semblables quand on peut établir entre leurs éléments une correspondance réciproque à sens unique (correspondance biuniforme) telle que m^ et m, étant deux éléments quelconques de M, n^ et n, les éléments correspondants de N> la relation de m^ à m, dans Tordre de succession de M soit toujours la même que la relation de ni à w, dans Tordre de succession de N. Une telle correspondance de deux ensembles semblables sera appelée une cr application :ù (Abbildung) de Tun sur Tautre. A chaque partie M^ de M (qui apparaît évidemment comme un ensemble ordonné) correspond une partie semblable N^ de N.

Nous exprimerons la similitude de deux ensembles ordonnés M et N par la formule

(3) MfVJN.

Tout ensemble ordonné est semblable à lui-même.

Si deux ensembles ordonnés sont semblables à un troi' sième, ils sont aussi semblables entre eux.

Une simple réflexion montre que deux ensembles ordonnés ont alors, et seulement alors, le même type ordinal, lorsqu'ils sont semblables; de sorte que Vune quelconque des deux formules

(4) M = N MîV^N

est toujours une conséquence de Vautre.

Si dans un type ordinal M, on fait encore abstraction de Tordre de^uccession des éléments^ on obtient (§ 1) le nombre cardinal M de Tensemble ordonné M^ qui est également le nombre cardinal du type M.

De M = N résulte toujours H = K, c'est-à-dire que deux ensembles ordonnés de même type ont toujours la même puissance ou le même nombre cardinal. La similitude des ensembles ordonnés entraîne toujours leur équivalence; au contraire, deux ensembles ordonnés peuvent être équivalents sans être semblables.

Nous emploierons pour désigner les types ordinaux les petites lettres de l'alphabet grec.

Si a est un type ordinal, nous désignerons par

le nombre cardinal correspondant.

Les types des ensembles simplement ordonnés finis n'offrent aucun intérêt particulier. Car on voit facilement que tous les ensembles simplement ordonnés qui correspondent à un nombrç cardinal fini v, sont semblables, et ainsi ont un seul et même type. Ces types sont donc soumis aux mêmes lois que les nombres cardinaux finis et il sera permis d'employer pour eux les mêmes signes 1, 2, 3, ..., v, ..., bien qu'ils soient une notion différente de celle des nombres cardinaux.

Il en est tout autrement des types des ensembles infinis^ car à un nombre cardinal unique correspondent une infinité de types différents d'ensembles simplement ordonnés dont l'ensemble constitue une «classe de types 3> (Typenclasse).

Chacune de ces classes de types est ainsi déterminée par un nombre cardinal infini a qui est commun à tous les types isolés appartenant à la classe; ce sera la classe de types [a].

Celle de ces classes qui se présente tout d'abord naturellement et dont l'étude complète doit être le but immédiat de la théorie des ensembles transfinis est la classe de types [«o]> q^î comprend tous les types qui ont le plus petit nombre cardinal infini n^.

Il importe de distinguer du nombre cardinal a, qui détermine la classe des types [a], le nombre cardinal a' qui, de son côté, est déterminé par la classe des types [a]\ ce dernier est

le nombre cardinal qui correspond (§1) à la classe de types [a] lorsque celle-ci est considérée comme un ensemble bien défiyii dont les éléments sont les divers types a] dont le nombre cardinal est a. Nous verrons que a' est différent de a^^et même qu'il est toujours plus grand.

Si Ton inverse l'ordre de succession de tous les éléments d'un ensemble ordonné de sorte que, de deux éléments, celui qui avait le rang le plus bas acquiert le plus élevé et réciproquement, on obtient de nouveau un ensemble ordonné que nous désignons par

et que nous appellerons Vinverse de M.

Si a = M, nous désignerons le type de *M par

Il peut arriver que*a = a;il en est ainsi, par exemple, pour les types finis et pour le type de l'ensemble R de tous les nombres rationnels qui sont plus grands que et plus petits que 4, lorsqu'on les ordonne par grandeur croissante ; nous appellerons ce type nj.

Remarquons encore que deux ensembles ordonnés semblables peuvent être représentés l'un sur l'autre d'une |ou de plusieurs manières; dans le premier cas, le type considéré est semblable à lui-même d'une seule manière, et dans le deuxième, de plusieurs manières.

Nous verrons que non seulement les types finis, mais aussi les types des ensembles transfinis m bien ordonnés ]>, dont nous nous occuperons plus tard et que nous nommerons nombres ordinaux transfinis, n'admettent qu'une seule représentation sur eux-mêmes. Au contraire, le type 13 est semblable à luimême d'une infinité de manières.

Deux exemples simples nous permettront d'éclaircir cette différence.

Désignons par o le type de Tensemble bien ordonné

où

et OÙ V représente un nombre cardinal fini quelconque. Un autre ensemble bien ordonné de même type

avec

ne peut évidemment être représenté sur le premier qu'en faisant correspondre /^ avec e,. Car Télément e^ du premier qui a le moindre rang doit correspondre à l'élément qui a le moindre rang dans le second ; Télément e^ de rang immédiatement supérieur à celui de Ci doit correspondre à l'élément f^ dont le rang est immédiatement supérieur à celui de fi, et ainsi de suite.

Toute autre correspondance à sens unique des éléments des deux ensembles ^ej^ et \f\ n'est pas une « application }» au sens que nous avons fixé plus haut dans la théorie des types.

Considérons au contraire un ensemble ordonné de la forme

où y' prend toutes les valeurs positives et négatives entières y compris la valeur et où

Cet ensemble n'a aucun élément de rang inférieur à tous les autres et aucun élément de rang supérieur à tous les autres. D'après la définition de la somme qui sera donnée au § 8^ le type de cet ensemble est

Il est semblable à lui-même d'une infinité de manières.

Car si nous considérons un ensemble du même type

avec

et si vé désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif, les deux ensembles sont appliqués Tun sur Tautre lorsque à l'élément e^' du premier on fait correspondre l'élément /v^^-v», du second ; vj^ étant arbitraire, on a ainsi une infinité d'applications.

Lorsque la notion de e:type :» que nous venons de développer est étendue à des « ensembles ordonnés d'ordre multiple », elle comprend, outre la notion introduite au § 1 de « nombre cardinal » ou de a: puissance }>, c tout ce qu'on peut imaginer susceptible de mesure numérique y> et elle n'admet dans ce sens aucune généralisation ultérieure. Elle ne contient rien d'arbitraire et n'est que l'extension naturelle de la notion de nombre. Il faut particulièrement insister sur ce fait que la condition d'égalité (i) résulte avec une nécessité absolue de la notion de type et n'admet aucune modification. C'est dans la méconnaissance de ce principe qu'il faut rechercher la cause principale de la grave erreur qui se trouve dans l'ouvrage de M. G. Veronèse : Grundzilge der Géométrie (traduction allemande de A. Schepp, Leipzig, 1894).

Là, à la page 30, m le nombre d'un groupe ordonné » est défini tout à fait de la même façon que notre « type d'un ensemble simplement ordonné 2>. (Zur Lehre von TransfU niten, Halle, 1890. Extrait de Zeitschrift fur Philos, und philos. Kritik, année 1887.)

Mais M. Yéronèse croit devoir compléter la définition de l'égalité. Il dit, page 31 : ^ Deux nombres dont les unités se correspondent uniformément et dans le même ordre et tels que Vun n^est pas une partie de Vautre et n^esl pas égal à une partie de Vautre^ sont égaux. j>

Cette définition de Tégalité contient un cercle et devient un non-sens.

Que signifie : n'est pas égal à une partie de Vautre?

Pour répondre à cette question, on doit d*abord savoir quand deux nombres sont égaux ou non. Ainsi cette définition de Végalité (abstraction faite de son arbitraire) suppose une définition de Végalité, qui de nouveau suppose une définition de Véga^ lité, pour laquelle nous devons encore savoir ce qui est égal et ce qui ne Vest pas, et ainsi de suite indéfiniment.

Après que M. Yéronèse a, de cette manière, sacrifié volontairement le fondement indispensable de Tégalité des nombres, on ne doit pas être surpris de l'irrégularité avec laquelle il opère dans la suite sur ses nombres pseudo-transfinis et leur attribue des propriétés quMls ne peuvent posséder, car dans la forme imaginée par lui, ils n'ont aucune existence sauf sur le papier. Ainsi devient claire la similitude frappante que ses formations numériques ont avec les plus absurdes a: nombres infinis » de Fontenelle (Géométrie de Vinfini, Paris, 1727).

M. W. Killing a aussi exprimé^ dans les Index lectionum de TAcadémie de Munster^ ses scrupules contre les principes du livre de Veronèse.

§ 8. — Addition et multiplication des types.

L'ensemble- somme (M,N) de deux ensembles M et N peut aussi, lorsque ces derniers sont ordonnés^ être considéré luimême comme un ensemble ordonné, dans lequel les éléments de M ainsi que les éléments de N conservent entre eux Tordre de succession qu'ils ont respectivement dans M ou N, tandis que tous les éléments de M ont un rang plus bas que ceux de N.

Si M' et N' sont deux autres ensembles ordonnés, M d^ M', Nî^£N', on aura aussi (M,N)^ (M',N'); le type de (M,N) ne dépend donc que des types M = à, N = ^ ; nous définissons

ainsi

(1) «.*-^ = (lMr).

Dans la sommé a + p, a s'appelle Vaugendus, ^ Vaddendus.

Pour trois types quelconques, on démontre facilement que la loi associative est vraie :

Au contraire, la loi commutative n'est pas exacte en général pour l'addition des types. Nous le verrons déjà par l'exemple suivant :

Soit G) le type, déjà mentionné au § 7, de l'ensemble bien ordonné :

*!' ^— V.^11 ^J5 •••5 ^^5 ••Os ^v •^ ^v -f. 1

4 + a) n'est pas égal à w + 4 .

Car si f est un nouvel élément, on a d'après (1 )

Mais l'ensemble

est semblable à l'ensemble E, par suite :

Au contraire, les ensembles E et (E,f) ne sont pas semblables, car le premier n'a aucun terme de rang supérieur à tous les autres, tandis que le dernier en a un f. w + 1 est donc différent de 0) =5= 1 + (0.

De deux ensembles ordonnés M et N de types a et p on peut déduire un ensemble ordonné S en remplaçant dans N chaque élément n par un ensemble ordonné M» qui ait le même type que M.

De plus. Tordre de succession des éléments de

(*) S = lM»|

se déterminera comme il suit :

\^ Deux éléments de S qui appartiennent à un même ensemble M« gardent dans S le même ordre de succession que dans Bf..

2<^ Deux éléments de S qui appartiennent à deux ensembles différents Bf,^ et M«, prennent dans S le même ordre de succession que les éléments n^ et n, dans N.

Il est facile de voir que le type de S ne dépend que des types oe et p; nous définissons donc

Dans ce produit a s*appelie le multiplicande, ^ le multi" plicateur.

Appelons m» Télément de Mn qui, par une application quelconque, correspond à l'élément m de M.

Nous pouvons alors écrire

(6) s = Kj.

Si nous introduisons maintenant un troisième ensemble ordonné P = {p|, de type P = y, on a, d'après (5),

«t»& = jwnl P-ï = \n,\ (a. W.Y = j(iwO,| a.(p.Y) = jm(^)|.

Mais les deux ensembles ordonnés {(tn»)| et \m(n^)\ sont semblables et sont appliqués Tun sur l'autre lorsque l'on fait correspondre leurs éléments (m»)p et m(n^).

Par suite, pour trois types a, ^ et y, la loi associative est vraie.

Enfîn de (1) et (5) résulte aussi facilement la loi distri" butive

mais seulement dans le cas où c'est le multiplicateur qui est une somme.

Au contraire, la loi commutalive n'est pas plus vraie pour la multiplication que pour l'addition.

Par exemple, 2.(ù et (0.2 sont des types différents; car, d'après (5)