f^; ^,, /i;...;^v, /v;...) = (o; tandis que

(i).z = (^1, e^j ..., <îv, ...; /i5 /„ ..., f*i ...)>

qui est évidemment difTérent de o).

Si l'on compare les définitions des opérations élémentaires sur les nombres cardinaux données au § 3 avec celles données ici pour les types, on reconnaît facilement que le nombre cardinal d'une somme de deux types est égal à la somme des nombres cardinaux des types isolés et que le nombre cardinal du produit de deux types est égal au produit des nombres cardinaux de ces types.

Toute équation entre les types résultant des deux opérations élémentaires reste donc vraie lorsque Ton y remplace chaque type par son nombre cardinal.

§ 9. — Le type yj de V ensemble R de tous les nombres ration^ nelSy plus grands que et plus petits que i, rangés pat* grandeur croissante.

Nous désignons par R, comme au § 7, l'ensemble de tous les nombres rationnels - (p et q étant premiers entre eux) qui

4ont>0et<i, rangés par ordre de grandeur croissante. Nous désignons par n) le type de R

Mais nous avons aussi rangé les éléments de cet ensemble dans un autre ordre; dans ce nouvel ensemble que nous appelions Ro> le rang était déterminé en première ligne par la grandeur de p + 9 et en deuxième ligne, c'est-à-dire pour les nombres rationnels pour lesquels jp + 9 a la même valeur,

par la grandeur de - lui-même. Alors R^se présente comme un

ensemble bien ordonné de type o.

(2) Re= (^i, r„ ..., Tv, ...) où fv •< fv + i

(3) Re= a>

R et R^ ont le même nombre cardinal puisqu'ils ne diffèrent que par Tordre des éléments, et comme évidemment R^ = k,, on a aussi

(4) 1 = ^5'= Ko.

Le type t] appartient donc à la classe de types \^^,

Nous remarquons en deuxième lieu que dans R il n'y a pas d'élément qui ait un rang inférieur à tous les autres ou supérieur h, tous les autres.

En troisième lieu, R a la propriété Centre deux de ses éléments il en existe toujours d'autres; nous exprimons cette propriété en disant que R est partout dense (ûberalldicht).

Nous voulons montrer maintenant que ces trois propriétés caractérisent le type nj de R, de sortf que l'on a le théorème suivant :

Si un ensemble simplement ordonné M vérifie les trois conditions :

2® M n'a aucun élément de rang inférieur ni supérieur à tous les autres;

~ 36 — S^'HL est partout dense; Le type de M est égal d iq.

Démonstration. — En vertu de la première condition, M peut être mis sous la forme d'un ensemble bien ordonné de type w; nous le désignons alors par M^ et nous posons

(5) Mo= (»W|,iw,, ..., Wv, ...) Nous avons à montrer maintenant que

C'est-à-dire qu'il nous faut prouver que l'on peut représenter M sur R, de façon que l'ordre de succession de deux éléments de M soit le même que celui des deux éléments correspondants de R.

A l'élément r^ de R on peut faire correspondre l'élément m^ de M.

r, a^ relativement à r^ une certaine position dans R; eu vertu de la condition (2) il y a une infinité d'éléments m^ de M qui ont avec m^ la même relation dans R que r, avec r^ dans R; nous choisissons parmi eux celui qui a dans M^ le plus petit indice^ soit m,,, et nous l'adjoignons à r,.

r, a dans R certaines relations de rang avec r^ et r,; en vertu des conditions (2) et (3) il y a une infinité d'éléments m^ de M qui ont les mêmes relations avec m^ et m, dans M que r, avec r^ et r, dans R; nous choisissons parmi eux celui qui a dans M« le plus petit indice m^, et nous l'adjoignons à r,.

Supposons que l'on continue ainsi l'adjonction ; les éléments

de R ont pour images des éléments déterminés

m^, w,,, m,„ ..., m,.^, de M qui ont entre eux le même ordre de succession dans M

que les éléments coprespondants dans R, et à l'élément n+j de R on fera correspondre l'élément m^ .^^ de M qui a le moindre indice dans M^ et qui a, avec

iWj, Wi,5 m,,, ..., m«^,

les mêmes relations de rang que n+j avec r^ r„ ..., r, dans R.

De cette manière, nous avons adjoint à tous les éléments n de R des éléments déterminés nit^ de M, et ces éléments ont le même ordre de succession que les éléments correspondants dans R.

Mais il nous faut encore montrer que les éléments m^^ comprennent tous les éléments m^ ou, ce qui revient au même, que la série

n'est qu'une transposition de la série I, 2, 3, ..., V, ....

Nous démontrerons ceci en prouvant que si les éléments m,, m„ ..., m, sont obtenus par la correspondance, il en est de même de Vêlement suivant m,^^.

Prenons a assez grand pour que la suite

Wj, w,„fw<„ ... nu^ contienne les éléments

(qui, par hypothèse, sont contenus dans la suite infinie rWi, m,,, ..., m,^, ...). Il peut arriver que mv^-i se trouve parmi ces éléments nii, ..., mi^, et alors on a bien prouvé que m^^i est obtenu par la correspondance.

Mais si iWv+i n'est pas compris parmi les éléments

Wj, mt,i w«„ ...m^)^, m,^,i a alors avec ces éléments une relation de rang déter*

minée; il y a dans R une infinité d^éléments qui ont avec r^y r„ ..., r\ la même relation, soit n^.^ celui d'entre eux qui a dans R« le plus petit indice.

On voit facilement alors que m,^i a, par rapport aux éléments,

la même position dans M que r\+^ par rapport à

''lî ''fi ^iy •••» ''x + -i»

dans R. Comme nii, m., ..., m, ont déjà été obtenus par la représentation, mv^.iest l'élément de moindre indice dans M« qui a la même position par rapport à

D'après notre loi d'association on a donc

IW<X + a = *Wv + i .

Notre correspondance nous donne doQc bien l'élément m^^^ et nous voyons ici que l'élément qui lui est adjoint est n+^.

Ainsi, notre loi d'association nous permet de représenter l'ensemble M tout entier sur l'ensemble R entier; M et R sont donc des ensembles semblables. C. Q. F. D.

Du' théorème que nous venons de démontrer résultent par exemple les théorèmes suivants :

iQ est le type de l'ensemble de tous les nombres rationnels négatifs et positifs, y compris zéro, rangés par grandeur croissante.

iQ est le type de Vensemble des nombres rationnels plus grands que a et plus petits que b, rangés par grandeur croissante fa et b étant deux nombres réels quelconques a < b).

13 est le type de Vensemble de tous les nombres algébriques réels rangés par grandeur croissante.

71 est le type de Vensemble de tous les nombres algébriques rangés par grandeur croissante qui sont plus grands que a

^ 38 — et plus petits que &, où a et b sont deux nombres réels quelconques, a < 6.

Car tous ces ensembles ordonnés vérifient les trois condn tions exigées de M dans notre théorème. {Jouimal de Crelle, t. LXXVII, p. 258.)

Si nous considérons de plus les ensembles de types i; + i]i ^1» (* + flhy (i; + ^h, (i + i; + ^)^> on voit, d'après les définitions données au § 8, que ces trois conditions sont remplies pour chacun d'eux. Donc

YJYi = lQ

(1 + n)r, = ti

(t| + l)tl = Y)

(It)

(1 + K]+ l)t) = tl

L'emploi répété des formules (7) et (8) nous conduit, pour un nombre fini v, aux formules

(13) Ylv = Yl. '

Au contraire, on voit facilement que pour v > 1, les types i 4- t) , iQ + 1, V.1Q, 1 + 13 -h 1, sont différents entre eux et différents de n).

D'ailleurs on a :

Au contraire 13 + v + nj est différent de k) pour v > 1 . Enfin il est bon d'observer que

(«) ^ = tî.

§ 40. — Les séries ^fondamentales contenues dans les ensembles ordonnés transfinis.

Considérons un ensemble transfini simplement ordonné quelconque M. Chaque partie de M est un ensemble ordonné. Il y

a certaines parties de M de type ca et *iù qui paraissent être particulièrement importantes pour Tétude du type M. Nous les nommons les séries fondamentales du premier ordre contenues dans M; les premières^ de type tù, seront dites séries ascendantes, les autres, de type *a), séries descendantes.

Comme nous nous bornerons à considérer des séries fondamentales du premier ordre (dans des recherches ultérieures nous emploierons aussi des séries d'ordre supérieur) y nous les nommerons simplement ici séries fondamentales.

Une série fondamentale ascendante est de la forme

(1) \a.\ oùûv-<av + i

et une série fondamentale descendante^ de la forme

(2) m où 6v >• 6v^,.

Dans toutes nos considérations, v (ainsi que x, \, fx) désignera un nombre cardinal fini quelconque ou aussi un type fini relatif à un nombre ordinal fini.

Nous disons que deux séries fondamentales ascendantes \a^\ et ^a[\ contenues dans M sont a: liées » (zusammengehù'rig) et nous écrivons :

(3) \a.\ Il \a\\

lorsqu'à chaque élément a^ on peut adjoindre Télément a> tel

que

tfv-^ a{

et qu'à chaque élément a[ on peut adjoindre a^ tel que

Deux séries fondamentales descendantes ^ et [bvj contenues dans M sont dites a: liées ]> et nous écrivons

(4) m II \b\\

lorsqu'à chaque élément {>, on peut adjoindre b'x tel que

et qu'à chaque élément h\ on peut adjoindre h^ tel que

Une série fondamentale ascendante ^a,\ et une série descendante |bv| sont dites a liées ^ et nous écrivons

lorsque : 1^ pour toutes les valeurs de y. et y on a :

flv ^ 6|A

2® il y a en M au plus un élément m, (c'est-à-dire qu'il y en a un ou pas du tout) tel que pour toutes les valeurs de y

Nous pouvons alors énoncer les théorèmes :

A. Deux séries fondamentales qui sont liées à une troisième sont aussi liées entre elles,

B. Deux séries de même nature, dont l'une est une partie de Vautre, sont toujours liées.

S'il existe dans M un élément m^ qui ait^ par rapport à la série fondamentale ascendante \a,\ une position telle que 1® Pour toute valeur de v

2® Pour tout élément m de M qui est -^ w?, il existe un certain nombre y, tel que

a^y m pour v ^ v^,

nous appellerons m, un élément limite de ^aj^ dans M, ou encore un élément principal de M.

De même nous dirons aussi que m^ est un élément principal de M ou un élément limite de [b,j dans M, si les conditions suivantes sont remplies :

1° Pour toute valeur de v

2° Pour tout élément m de M qui est >- m,, il existe un certain nombre Vo tel que

6v -< w pour V ^ Vo.

Une série fondamentale ne peut avoir plus d'un élément limite dans M; mais M a en général plusieurs éléments principaux.

On reconnaît facilement l'exactitude des propositions :

C. Si une série fondamentale a un élément limite dans M, toutes les séries fondamentales liées avec elle ont dans U le même élément limite.

D. Si deux séries fondamentales (de même nature ou de nature différente) ont le même élément limite, elles sont liées entre elles.

Si M et M' sont deux ensembles ordonnés semblables de sorte que (6) M = M'

et si Ton considère tme application quelconque des deux ensembles, on voit facilement que les théorèmes suivants sont exacts :

E. A toute série fondamentale de M correspond comme image une série fondamentale de même nature^ et réciproquement; à des séries fondamentales liées de M correspondent des séries fondamentales liées de M', et réciproquement.

F. Si une série fondamentale de M possède un élément limite dans M, la série fondamentale correspondante de W a un élément limite dans M' ; ces deuœ éléments limites sont images Vun de Vautre dans V application.

G. Les éléments principaux de M ont pour images les élé^ ments principaux de M' et réciproquement.

Un ensemble M dont tous les éléments sont des éléments principaux est dit un ensemble dense (insichdicht).

Si toute série fondamentale de M a en M un élément limite, nous disons que M est un ensemble enchaîné (abgeschlossene).

/jâ

Un ensemble qui est à la fois dense et enchaîné est dit un ensemble parfait (perfecte Menge).

Si un ensemble possède Tun quelconque de ces trois attributs, il en est de même de tout ensemble semblable; ce sont donc aussi des propriétés des types correspondants et il y a, par suite, des types denses, des types enchaînés, des types parfaits et aussi des types partout denses (§ 9).

Par exemple, i] est un type dense ; d'après le § 9, il est aussi partout dense, mais il n'est pas enchaîné.

iù et *iù n'ont aucun élément principal ; au contraire, (d + v et^ + *iù ont chacun un élément principal et sont des types enchaînés.

Le type (d. 3 a deux éléments principaux, mais n'est pas enchaîné; le type cd.S + v a trois éléments principaux et est enchaîné.

§11. — Le type 9 du continu linéaire X.

Nous arrivons maintenant à Tétude du type de l'ensemble X = [r»! de tous les nombres réels x qui sont > et < 1, rangés dans leur ordre naturel, de sorte que pour deux éléments arbitraires *x et x' on ait :

(1) X -^ a?' dans le cas oix x <ûp\

Soit ce type.

La théorie élémentaire des nombres rationnels et irrationnels montre que chaque série fondamentale ^xJ de X a un élément limite v^ dans X, et que, réciproquement, tout élément x de X est un élément limite de séries fondamentales liées de X. Donc X est un ensemble parfait, 6 est un type parfait.

Mais cela ne caractérise pas encore suffisamment 0, nous avons à considérer bien plus encore la propriété suivante de X :

X contient l'ensemble R de 73 étudié au § 9, et même de telle

façon que, entre deux éléments arbitraires x^ et x^ de X, il y ait toujours des éléments de R.

Nous voulons montrer maintenant que Tensemble de ces propriétés caractérise complètement le type du contenu linéaire, de sorte que Ton a le théorème :

a: Si un ensemble ordonné M présente les caractères suivants: i"* il est par fait y 2^ il contient un ensemble S de nombre cardinal S = k„ tel qu^entre deux éléments arbitraires m, et m^ de M, il existe toujours [des éléments de S, on a M = 6. >

Démonstration. — Si S a un élément de rang inférieur à tous les autres ou un élément de rang supérieur à tous les autres, ceux-ci, considérés comme éléments de M, conservent en vertu de 2^ le même caractère ; nous pouvons donc les séparer de S sans que cet ensemble perde, relativement à M, la propriété exprimée en 2^.

Nous supposons donc dorénavant que S n'ait pas d'élément de rang inférieur ou supérieur à tous les autres ; d'après le § 9, S a alors le type ^.

Car, comme S est une partie de M, la 2* condition exprime qu'entre deux éléments s^ et^Si de S, il existe d'autres éléments de S. D'ailleurs nous avons S == >^o«

Les deux ensembles S et R sont par suite semblables.

Prenons pour base une représentation quelconque de R sur S. Nous allons montrer qu'il en résulte une représentation déterminée de X sur M, et cela de la manière suivante :

À tous les éléments de X qui appartiennent à l'ensemble R, nous ferons correspondre les éléments de M qui appartiennent aussi à S et précisément ceux qui leur correspondaient dans la représentation de R sur S.

Mais si x^ est un élément de X n'appartenant pas à R, on peut le considérer comme l'élément limite d'une série fondamentale ^x,] contenue dans X et qui peut être remplacée par

une série fondamentale \r^^ qui lui est liée et qui est contenue dans R. A cette dernière série correspond une série fondamentale |8>J de S et de M qui, en vertu de 1^ est limitée par un élément m, de M qui n'appartient pas à S (F, § 10). Cet élément rWo de M (qui reste le même lorsqu'on remplace les séries fondamentales |a?v| et |rxj par une autre quelconque de limite x^ [E, C, D, § 10]) sera l'image de a?,. Inversement, on fait correspondre à tout élément mo de M qui n'appartient pas à S, un élément bien déterminé x^ de X qui n'appartient pas à R et dont m^ est l'image.

De cette manière, on établit entre X et M une correspondance biuniforme dont il faut montrer qu'elle est une application des deux ensembles.

Cela est immédiat pour les éléments de X et de M qui appartiennent respectivement aux ensembles R et S.

Comparons maintenant un élément r de R à un élément x^ de X qui n'appartient pas à R ; soient $ et m, les éléments correspondants de M.

Si r < Xf^y il y a une série fondamentale ascendante |i\j qui est limitée par x^ et il existe un certain nombre Vo tel que r < fx, pour V ^ Vo.

L'image de jrxj dans M est une série fondamentale ascendante |s>J qui est limitée dans M par w, et l'on a (§ 10): l^s)^ -^ m, pour toute valeur de v; 2° s -^ s>^ pour v ^ v^; donc (§ 7) s -^ m^.

Si r > x^y on trouve de même s'h 'ïïIq'

Si nous considérons enfin deux éléments x^ et x'^ de X qui n'appartiennent pas à R, et les deux éléments correspondants de M, m, et m^, on montre par des considérations analogues que lorsque x^ < x^^, on a aussi m^ -^ m[.

La démonstration de la similitude de X et de M est donc faite et l'on a :

Halle, mars 18d5.

2me ARTICLE<'>

Parmi les ensembles simplement ordonnés^ il convient de donner une place toute particulière aux ensembles bien ordonnés (wohlgeordnete Menge); leurs types ordinaux, que nous nommerons nombres ordinaux fOrdnungszahlJ, donnent rélément naturel d'une définition précise des puissances ou nombres cardinaux transfinis supérieurs. Cette définition est tout à fait conforme à celle que le système de tous les nombres entiers v nous donna pour le plus petit nombre cardinal transfini alef-zéro.

Nous disons qu'un ensemble simplement ordonné F (§ 7) est bien ordonné lorsque ses éléments f s'échelonnent à partir d'un élément f», dans une succession déterminée, de telle sorte que les deux conditions suivantes soient remplies :

l. Il y adansYun élément initialouderangleplusbaSyf^.

il. Si F' est une partie de F, et si F possède un ou plusieurs éléments de rang plus élevé que tous les éléments de F', il existe un élément f deF qui suit immédiatement ' Vensemble F\ de sorte qu'il n'y ait dans F aucun élément que son rang place entre F' et f (*).

En particulier, tout élément f de F qui n'est pas l'élément d'ordre le plus élevé, est suivi d'un autre élément déterminé f de rang immédiatement supérieur; ceci résulte de la condi-

(*) Publié dans les Matheniatische Anndlen. Bd. 49, p. 207-246.

(-) Sauf les termes employés, cette définition coïncide tout à fait avec celle qui fut donnée dans le volume XXI des Math. Anralen, p. 548 (Grundlagén e> allgem, MannigfalligkeUsleSre, p. 4).

tion II lorsqu'on choisit pour F' l'élément unique f. De plus^ s'il existe dans F une suite infinie d'éléments échelonnés

telle qu'il y ait dans F des éléments de rang supérieure celui de tous les é'*^ et si l'on prend pour F' l'ensemble [e^^% la condition II affirme l'existence d'un élément f possédant les deux propriétés suivantes : 1^ /' >- e^'^ pour toutes les valeurs de v ; S"^ il n'y a dans F aucun élément g tel que l'on ait à la fois

pour toutes les valeurs de v.

Par exemple^ les trois ensembles

\^13 ^î> •••>^v> •••> 0|> Vj, •••jOpi, •..) (^4> ^t> •••> ^*3 •••> ^1> ^f> •'•» ^l*> •••» ^1? ^85 ^»)>

où

«v -^ av + 1 -^ ftft •< frjt+i -^ Cj -< c, -^ c,

sont bien ordonnés. Les deux premiers n'ont pas d'élément supérieur, le troisième a l'élément supérieur c^; dans le deuxième et le troisième, l'élément b^ vient immédiatement après tous les a^; dans le troisième, l'élément Ci vient immédiatement après tous les a^ et b^.

Dans la suite, nous étendrons à des groupes d'éléments la signification des signes -< et >-, introduits au § 7 pour marquer la position relative de deux éléments ; ainsi les formules

exprimeront respectivement que, dans un ordre de succession donné, tous les éléments de l'ensemble M ont des rangs inférieurs ou supérieurs à ceux des éléments de l'ensemble N.

A. Toute partie l\ d'un ensemble bien ordonné F a un élément initial.

Démonstration. — Si l'élément initial A de F appartient àF,, il en est en même temps rélément initial. S'il n'en est pas ainsi^ soit F' l'ensemble de tous les éléments de F qui ont un rang inférieur à celui de tous les éléments de F| ; il n'y a aucun élément de F entre F' et F^.

L'élément f qui, d'après II, suit immédiatement F', appartient donc nécessairement à F| et en est l'élément initial.

B. Si un ensemble simplement ordonné F est tel que F et toutes ses parties ont un élément initial, F est un ensemble bien ordonné.

Démonstration. — La condition I est remplie puisque F a un élément initial.

Soit F' une partie de F telle qu'il y ait dans F un ou plusieurs éléments >• F'; l'ensemble F^ de tous ces éléments a un élément initial f qui suit immédiatement l'ensemble F'. La condition II est donc remplie et par suite F est un ensemble bien ordonné.

C. Toute partie F' d'un ensemble bien ordonné est aussi un ensemble bien ordonné.

Démonstration. — D'après le théorème A, F' et toute partie F" de F' (qui est également partie de F) a un élément initial ; F' est donc, d'après le théorème B, un ensemble bien ordonné.

D. Tout ensemble G semblable àun ensemble bien ordoymé F est aussi un ensemble bien ordonné.

Démonstration. — Il résulte immédiatement de la définition de la similitude (§ 7) que tout ensemble N, semblable à un ensemble M ayant un élément initial, possède aussi un élément initial.

Puisque G est semblable à F et que F, comme ensemble bien ordonné, a un élément initial, il en est de même de G»

De même, chaque partie G ' de G a un élément initial ; car une application de G sur F fait correspondre à l'ensemble G' une partie F' de F.

Mais F' a^ d'après le théorème A, un élément initial; il en est de même pour G'. Ainsi G et toutes ses parties G' ont un élément initial ; d'après le théorème B, c'est donc un ensemble bien ordonné.

E. Si dans un ememble bien ordonné G on substitue, à la place de tous ses éléments g, des ensembles bien ordonnés ¥g de sorte que si g -< g'y on ait aussi F^ -< F,,., l'ensemble H obtenu de cette manière par la réunion de tous les ensembles Yg est un ensemble bien ordonné.

Démonstration, — H, ainsi que toute partie H^ de H, a un élément initial, ce qui, d'après le théorème B, caractérise H comme ensemble bien ordonné. En effet, si g^ est l'élément initial de G, l'élément initial de F^,, sera aussi l'élément initial de H.

De plus, les éléments d'une partie H^ de H appartiennent à des ensembles ¥„ déterminés qui, pris ensemble, forment une partie de l'ensemble bien ordonné jF^^j, composé de tous les éléments F^, et semblable à l'ensemble G; si F^, est l'élément initial de cette partie, l'élément initial de la partie Hi contenue dans F,, est aussi élément initial de H^.

§ 13. — Les segments des ensembles bien ordonnés.

Soit f un élément différent de l'élément initial /i de l'ensemble bien ordonné F ; l'ensemble A de tous les éléments de F qui sont -< f sera nommé un segment de F (Abschnitt von F) et, d'une façon plus précise, le segment de F déterminé par l'élément f. Au contraire, l'ensemble R de tous les autres éléments de F, y compris f, sera appelé le reste de F, ou mieux le reste de F déterminé par l'élément f. Le théorème C, § 12, prouve que les ensembles A et R s6nt bien ordonnés, et nous pouvons écrire, en vertu des § 8 et 12,