IJ

ne contient pas tous les nombres e, comme il résulte du théorème suivant : *

E. Si e, e', e', ... est une série infime de nombres e tels que

le nombre lim. e^'^ est un nombre t et c'est précisément le nombre immédiatement supérieur à tous les e^'\ Démonstration. — Elle résulte de la formule

et de ce fait que le nombre lim. e^'^ est le nombre de la deuxième classe immédiatement supérieur à tous les e^'^

F. La réunion de tous les nombres t de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur croissante, forme un ensemble bien ordonné, qui a le type ù de la deuxième classe numérique, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante; cet ensemble a donc la puissance alef-un.

Démonstration. — La réunion de tous les nombres e de la deuxième classe^ rangés par ordre de grandeur^ forme un ensemble bien ordonné (th. C, § 16):

dont la loi de formation est exprimée par les théorèmes D et E.

Si rindice a' ne parcourait pas tous les nombres de la deuxième classe, il y aurait un nombre a qui serait le plus petit de tous les nombres qu'il n'attend pas. Mais ceci contredit le théorème D, si a est de la première espèce et le théorème E, si a est de la deuxième espèce ; a' prend donc toutes les valeurs du nombre de la deuxième classe.

Si nous désignons par û le type de la deuxième classe, le type de (4) est

(I) -h û = Cl) + (0* + (Q — Cl)*);

puis comme w + w* = w*

L'on en déduit

(I) + û = û = Kj

G. Si z est un nombre t quelconque y et a un nombre arbùtraire de la première ou de la deuxième classe, qui est plus

petit que e

e vérifie les trois équations

a + s = e, as = e, a* = e.

Démonstration. — Si a^ est le degré de a, on a a, ^ a < e. Mais le degré de e = cù* est e ; le degré de a est donc plus petit que le degré de e. Il en résulte donc, d'après le théorème D, § 19,

et par suite aussi

Nous avons d'ailleurs, d'après la formule (13), § 49,

et par suite aussi Enfin nous avons> d'après la formule (16), § 19, .

a« === a*»* = o)*'**' = (!>«•« = co« = €•

n. Si a est un nombre quelconque de la deuxième classe, Véquation

n'a pas d'autres racines que les nombres e plus grands que CL, Démonstration. — Soit p une racine de l'équation

on a

et il en résulte immédiatement

D'ailleurs doit être de deuxième espèce, sinon

Nous avons donc, d'après le théorème F, § 19» et par suite , ^ . , . .

D'après le théorème F, § 19,

donc

et ecmiae p ae peut être plus grand que a, ^, on a

Donc et^ e&t un nombre e, qui est plus grand que (x, HaUe, mars 1897.