SiÇ'<$%ona4($')<^;(r
3° Pour chaque valeur de Ç, on a 4($ + 1) = «L (H)y";
4° Si |$v| est une série fondamentale définissant Ç = lim. $„ |J^(Sv)l en est une aussi et
tKÇ)=lim(KÇv).
On a donc, d'après le théorème C, où l'on remplace 8 par 1 et Y par y* •
La comparaison de y^ et de $ nous donne le théorème suivant :
F. Si Y est > 1, on a, pour toutes les valeurs de $,
Démonstration. — Dans les cas $ = 0, Ç = 1, le théorème est évident. Nous allons montrer que s'il est vrai pour toutes les valeurs de Ç plus petites que a > 1, il est aussi vrai pour a.
Si a est de la première espèce, on a par hypothèse :
et par suite :
ou
ajY < Ï-Y = T*
Puisque «i et y — 1 sont au moins égaux à 1 et que ai + 1 = a, on a :
Si, au contraire, a est de la deuxième espèce, et si
a j= lim . a
«v est plus petit que a et Ton a, en vertu de Thypothèse faite,
av^Y«^
et par suite
lim.av^lim.Y*^,
c'est-à-dire :
S'il y avait des valeurs de Ç pour lesquelles Ç > y^ l'une d'elles devrait être la plus petite; désignons-la par a. Pour toutes les valeurs de $ < a, on aurait
et au contraire
ce qui est en contradiction avec ce qui vient d'être démontré. Nous avons ainsi pour toutes les valeurs de Ç
§ 19. — La forme normale des nombres de la deuxième
classe.
Soit a un nombre quelconque de la deuxième classe. L'exponentielle (ùl deviendra, pour une valeur suffisamment grande de $, plus grande que a. D'après le théorème F, § 18, cela sera toujours pour $ > a; mais, en général, cela arrivera aussi pour des valeurs plus petites.
Le théorème B, § 46, nous apprend que parmi toutes les valeurs de $ pour lesquelles
l'une est la plus petite, nous la nommons p et nous voyons facilement que ce n'est pas un nombre de la deuxième espèce. Car si
0= lim.Pv,
on aurait, puisque 0v < p,
a)Pv^ a
et par suite
limwP^ ^ a, ,
c'est-à-dire
wP ^ a,
ce qui est contraire à l'hypothèse.
Ainsi P est delà première espèce. Nous désignerons ^^ par.a^, de sorte que P = a,, + 1 ; nous pouvons ainsi affirmer quHl y a un nombre bien déterminé cn^ de la première ou de la deuxième classe de nombres qui vérifie les deux conditions
De la deuxième condition, nous concluons que la relation
n^est pas vérifiée pour toutes les valeurs finie% de v; car, sans cela, l'on aurait : lim. cù^'v = w*«<i> ^ a.
Nous désignons par x, + i le plus petit nombre fini v pour lequel
(4) montre que Xo est plus grand que 0.
Il y a donc aussi un nombre bien déterminé x, de la première classe des nombres, tel que
(2) w"'>to= «j <»>*'K + 1 > a.
Si nous posons a — (d*% = a', nous avons
(3) a = (o*«Xo + a' et
(4) 0<a'<(o«s 0<Xo<co.
Le nombre a ne peut être représenté que d'une seule façon sous la forme (3), si l'on suppose vérifier les conditions (4). Car de (3) et (4) résultent les relations (2) et enfin les relations (1).
Mais le seul nombre vérifiant les relations (4) est ao = p — 1, et le nombre x, est défini d'une façon unique par les relations (2). De (1) et (4) résultent encore, eu égard au théorème F, § 18,
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : A. Tout nombre a de la deuxième classe peut être mis d'une seule manière sous la forme
a= (i)*«Xo4- a' OÙ
^ a' < (!)«• < Xo < 0).
a est toujours plus petit que «, et «^ est inférieur ou égal à a.
Si QL est un nombre de la deuxième classe, on peut lui appliquer le théorème A, et nous avons
(8) a' = (â)*« Xj H- a',
^ a' < <d«», < X4 < 0), et Ton a
*i ^ *o> oc < a •
En poursuivant, nous obtenons une suite de relations
(6) a'rrrco^'x.-f-a'";
Mais cette suite ne peut être infinie et doit nécessairement s'arrêter.
Car les nombres a, a', /, ... vont en décroissant.
Si une telle série de nombres transfinis était illimitée, aucun terme ne serait le plus petit, ce qui est impossible (théorème B, § 46). Il existe donc un certain nombre fini x, tel que
Si nous réunissons les équations (3), (5), (6), (7), ..., nous obtenons :
B. Tout nombre a de la deuxième classe peut être mis d^une seule façon sous la forme
a = (i)*«)to + (o*»Xj H- a)*»)t, + ... -f- (i)*t y^
où a,, a^, ..., a^ sont des nomh'es de la première ou de la deuxième classe, qui vérifient les conditions
«0 > «4 > a, > ... > ax ^ 0,
tandis que x„ xi, ..., x^, sont des nombres différents de de la première classe, La forme donnée ici aux nombres de la deuxième classe est
dite leur fofme normale : «^ s'appelle le degré, «t Vewpùsant de a; pour x = 0, le degré et l'exposant sont égaux.
Un nombre (X est de la première ou de la deuxième espèce suivant que V exposant a^ est égal ou supérieur àO.
Considérons un autre nombre ^ écrit sous la forme normale
Pour comparer a et g, et calculer leur somme et leur différence, nous emploierons les formules . /
(9) W«'x' + W«'X = 0)*' (x' + x) (iO) a)«'x' + w^'x' =1 w-'x' ' a' < a*
OÙ X, x', x' sont des nombres finis.
Ce sont des généralisations des formules (2) et (3), § 17. Pour le calcul du produit a^ interviennent les formules
(il) aX = (i)*»XoX -*- à)*«X4 + .,. + <i)«txt < X < (o;
(12) aa) = w««-*-^
(13) aà)P* = w«*-^P', p'>0. ' ^ ' ' ■
L'exponentiation est facile à effectuer grâce à là formule suivante :
Les termes venant à la droite ont un degré moindre que celui du premier. Il en résulta que les séries fondamentales ja^j et j(â)*«^j sont équivalentes, de sorte que
(15) a"=a)««", ao>0, , et par suite, en vertu du théQrème E, § 18,
A l'aide dé ces formules, on démontre facilement les théorèmes suivants :
C. Si les premiers termes tù'^% et (ù?% des formes normales de deux nombres a et g^ ne sont pas égaux, a est plus petit ou plus grand que p, suivant que w'^Xp est plus petit ou plus grand que coP^X^.
. Si on a
a est plus petit ou plus grand que p, suivant que <û*p+* x^+^ est plus petit ou plus grand que wPp+i Xp^.i.
D. Si le degré ao de a est plus petit que le degré 3^ de p, on a
Si a, == po, on a Mats si
ao> ai>..., > ap^p^ «p + i < P^,
a + P = (i)*«/o > ... + w*? y'p+ wP'Xo-*- (oP*X4 + ... wPffW.
E. iSi 3 est de îa deuxième espèce (^^ > 0), on a
ap=:(0««-^P«Xo+ (i)^« + P«X» + ...-h ^'•+P<rX(r = (i)««P;
mais si p est de la première espèce (^^ = 0), on a
aP = (!)«• + ?• Xo+ (D*»+P*X4 4-...+ (0*'-^P<x-iX(r-i H- (»)**y.oXff 4- <*)*«X4 + ... 4- (0*^X7.
F. Si p esf dô Za deuxième espèce (p,, > 0), on a
mais si ^ est de Za pr entière espèce (p^ = 0), ef de la forme P = p' + Xa oti P' est de la deuxième espèce', on a
aP — G)*»P'a^<r.
G. Tout nombre a de la deuxième classe peut être mis d'une seule manière, sou^ la forme du produit.
a = (i)7«y.-:(ti)7» 4- 1)xt-i(cd7» 4- 1)Xt-j... (wVt + l))t^
e< Von a
tandis gue Xo, Xj, ..., x^ ont la même signification que dans la forme normale. Les facteurs wV + 1 sont tous indécomposables.
II. Tout nombre a de la deuxième classe et de deuxième espèce, peut être mis, d'une seule manière, sous la forme
où Yo est > et a est un nombre de première espèce, appartenant à la première ou à la deuxième classe.
I. Pour que deux nombres a et ^ de la deuxième classe vérifient la relation
il est nécessaire et suffisant quHls aient la forme
a = Yl*» P = Yv,
OÙ (X et V sont deux nombres de la première classe,
K. Pour que deux nombres a et ^ de la deuxième classe vérifient la relation
il est nécessaire et suffisant qu'ils aient la forme
où [X et V sont deux nombres de la première classe.
Pour montrer la portée de la forme noi*male des nombres de la dernière classe, et du développement en produit qui lui est intimement lié, nous donnerons ici les démonstrations des théorèmes I et K qui s'en déduisent.
De rhypothèse
nous concluons tout d'abord que les degrés a» et ^^ de 2 et § sont égaux. Car, si par exemple 2« était < ^,, on aurait, d'après le théorème D,
donc aussi
ce qui est impossible, puisque [(2), § 14]
Nous pouvons donc poser
OÙ les membres à et ^' sont de degré plus petit que a., et ;x et V des nombres finis différents de 0.
D'après le théorème D, on a
a + P = (i)«*([JL -4- v) 4- p', p + a = (i)««([x -4- v) -4- a';
donc
(iD*»(lJi. + v) 4- g' = (i)*«(jjL + v) -4- a'
et par suite (théorème D, § 14)
Nous avons ainsi et si Ton pose
on a, d'après (11),
Supposons maintenant que les nombres a et p de la deuxième classe et de première espèce vérifient la relation
aP = pa
et supposons que
Mettons les nombres a et p sous forme de produit (théorème G) et soit
OÙ les premiers facteurs de gauche de a^ et g' (sauf 1) sont différents. On a alors
et
Tous les nombres intervenant ici et dans la suite sont de première espèce, d'après la supposition faite sur a et p.
La dernière équation fait immédiatement reconnaître (eu
égard au théorème G) que les nombres a' et p' ne peuvent,
tous les deux, être transflnis, car, dans ce cas, leurs premiers
facteurs communs de gauche seraient, égaux. Ils ne peuvent
non plus être finis tous deux; car 8 serait alors transfini et,
en désignant par k son premier facteur fini de gauche, on
aurait
et par suite On a donc nécessairement
a'>(D, P' < CD.
Mais le nombre fini P' doit être égal à l,
car autrement ce serait un diviseur du facteur de gauche de a '. Nous arrivons à ce résultat que p = 8, et par suite
où a' est un nombre de première espèce appartenant à la deuxième classe et qui doit être plus petit que a.
Entre a' et p existe la relation
Si a' est aussi plus grand que p, on démontre de la même manière l'existence d'un nombre transfmi de première espèce a' < a', tel que
Dans le cas où a' est encore plus grand que p, il existe un nombre a" < a', tel que
et ainsi de suite.
La série des nombres décroissants a', a', /', ..., doit être finie (th. B, § 16).
Donc, pour un indice fini déterminé p„ on a
Si
il vient
le théorème K est démontré, et l'on a
Mais si
nous posons
et nous obtenons
Par conséquent, il y a aussi un nombre fini p„ tel que
On a d'une Taçon analogue
et ainsi de suite
La série des nombres décroissants ^p ^^y ^,y ... doit être limitée d'après le théorème B, § 16.
Il existe donc un nombre fini x, tel que
Si noua posons maintenant nous aurons
où {A et V sont le numérateur et le dénominateur de la fraction continue
px
§ 20. — Les nombres t de la deuxième classe numérique, ' La forme normale du nombre (x,
nous montre immédiatement, eu égard au théorème F, § 18, que le degré «<, de a n'est jamais supérieur à a. On peut se demander s'il n*y a pas des nombres a, pour lesquels a, = a. Dans ce cas, la forme normale devrait évidemment se réduire au premier terme et même à (o* ; a devrait donc être racine de l'équation (2) (o^ = s.
D'ailleurs toute racine de cette équation aurait la forme normale co'* et par suite serait égale à son degré. Les nombres de la deuxième classe^ qui sont égaux à leur
degré, coïncident donc avec les racines de Téquation (2).Nous nous proposons de déterminer Tensembie de ces racines; pour les séparer de tous les autres nombres, nous les nommerons les 7iombres e de la deuxième classe.
L'existence de tels nombres e résulte du théorème suivant :
A. Sf Y ^5< un nombre quelconque de la première ou de la deuxième classe, ne vérifiant pas Véquation (2), les équations
v^= 0)7, Yj= ^^** •••> ïv = «o7'-f^ ...
déterminent une série fondamentale jy^f. La limite E (y) de cette série fondamentale est toujours un nombfe e.
Démonstration, — Puisque y i^'^st pas un nombre £, on a (1)7 > Y, c'est-à-dire Yi > Y- D'après le théorème B, § 18, on a aussi (d7« > {i>7, c'est-àrdire Yi > Yi^ ^^ ^^ ^^ même manière Y» > Y» ®' ^^^^^ ^^ suite. La suite Jyv| est donc une série fondamentale. Désignons par E (y) sa limite, on a
w*7^= lira. a)7v z= lim. yv + 1 = E(y).
E(y) est donc un nombre s. —
B. Le nombre e, = E (1) = lim. <û„ où
est le plus petit de tous les nombres t.
Soit e' un nombre a tel que
Comme e' est plus grand que <û, <û*' est plus grand que w", c'est-à-dire e' > o^. Il en résulte de même w*' > (•>**• ou e' > 0),, et ainsi de suite.
D'une façon générale on a
e' >- w et il en résulte
e'^lim. (I).,
c'dst-à-dire
£, = E (1) est donc le plus petit de tous les nombres e.
C. Si z est un nombre t quelconque, e' le nombre c immédiatement supérieur et y un nombre quelconque intermédiaire,
E (y) est égal àt".
Démonstration. — De
e' < Y "< ^' il résulte
c'est-à-dire
Nous en déduisons par la même procédé . e'<Yf<s%
et ainsi de suite. Nous avons en général
e'<Yv<e'»
d'où il résulte
Mais E (y) est un nombre e (th. A) et ne p^ut être inférieur au nombre e' qui est le nombre e venant immédiatement après s'. Donc
e' + 1 n'est pas un nombre e, car il résulte de l'équation de définition e = <ù^, que tous les nombres £ sont de deuxième espèce; donc e' + i est sûrement plus petit que e' et par suite :
D. Si e' est un nombre e quelconque, E (e' + 1) est le nombre e immédiatement supérieur.
Après le nombre e initial e^,, vient le nombre e immédiatement supérieur que nous nommerons e^
puis le nombre e immédiatement supérieur e,
et ainsi de suite
En général, le (v + I)*"' nombre e est donné par la formule de récurrence
(3) êv = E(6v-l+l).
Mais la série infinie
