POINTS ET FLANS FONDAMENTAUX, DISTINCTS OU CONFONDUS

l'j^ Soit un point x (plan u) de Tespacc (£. Les plans u (points x) qui avec ce point (ce plan) forment des éléments du connexe %, A (.r, a)r=o, sont fournis par deux équations

(2) oz=A(^;m)

et sont ainsi au nombre de oc""^.

Si les deux équations (i) et (2) ne sont pas distinctes, on aura, par^ définitioriy affaire à un point fondamental}, (^plan fondamental vj ).

Un point fondamental ^ sera défini, si Ton pose

par les conditions :

p$,=zA,(î), ou P[?/] = o,

oiiP = pE— Aetp désigne la valeur commune des rapports Pareillement un plan fondamental sera donné, pour

par prii= rX>i{ri), ou (pE — A')[y]/| = o, A'=: transposée deA(*).

i8** Les /^ équations P[^,] = o, ou symboliquement

doivent être compatibles; d'où

(I) oz=|P|.= |pE-A|.= A.

p est une racine de l'équation caractéristique (D de A.

Faisons, par exemple, p = a et voyons comment les conditions (i) se traduisent sur une matrice partielle quelconque L

?Al^ a^ |aE — L| = (a — /)^^o; les conditions

A[2] = (aE — L)[3] — o

donnent simplement ^y = o,y = i, 2, .. ., X.

Si / = a, les conditions A [-s] = o deviennent

o = 2jzir . . . = 5x; z, marbitr.

19" En résumé : pour avoir tous les fondamentaux Ç^ fournis par la racine a de V équation caractéristique^ il faut et il suffit :

I. Dans une matrice partielle n^ appartenant pas à Vhypersystcme (a), d'annuler toutes les variables;

II. Dans une matrice partielle appartenant à Vhypersystème («), d'annuler toutes les variables^ sauf la première;

{}) Postérieurement à la rédaction du présent Mémoire, j'ai reconnu (iQoS) que la définition du point fondamental { pouvait être formulée autrement, de façon à se prêter mieux à une généralisation intéressante. Les conditions pJ/= A|(^) expriment une dépendance linéaire entre le point \ et son point-image A[^] par la collinéation A. La généralisation consiste à introduire une dépendance linéaire entre les h points Ç, A[Ç], ..., A''— *[Ç]. Je compte publier prochainement les résultats obtenus dans cet ordre d'idées.

/|() PREMIÈBR PARTIR. — OIIAPITRF. II.

III. D'attribuer toutes les valeurs possibles ^ non simultanément nulles y aux premières variables des matinées partielles appartenant à (a).

Cette première variable de chaque matrice appartenant à (a) se nommera le paramètre fondamental afférent à la matrice considérée.

La racine a donne A* successifs, k matrices partielles pour (a) et k paramétres fondamentaux.

II y aura donc ac*~' points fondamentaux Ç^. Ces \a formeront une variété S^ à A* — i dimensions, variété fondamentale.

Particularisant tels ou tels panimétres fondamentaux, on définira, à volonté, dans S^, telles ou telles sous-variétés.

Par exemple, on pourra annuler tous les paramètres fondamentaux, qui figurent dans les matrices des échelons ( 1 5°) inférieurs à un échelon donné e. On aura, laissant arbitraires les paramètres fondamentaux restants, une sousvariété bien définie, afférente à l'échelon e.

20^ Les plans fondamentaux yj^, fournis par la racine a de (D, s'obtiennent exactement de la même façon, à une particularité près. Le rôle du paramètre fondamental est joué parles dernières variables des différentes matrices partielles appartenant à rhypersyslèmc (a).

Il y aura encore k paramètres fondamentaux et une variété fondamentale H^, à A — i dimensions. On aura encore des sous-variétés afférentes à un échelon donné, etc.

21^ Soit K = V A, V étendue à tous les successifs de la

matrice /i-airc A, le nombre total des successifs et aussi celui des paramètres fondamentaux.

Tous les points fondamentaux \ sont sur une même variété à K — I dinirnsion^.

Pour avoii* les points fondamentaux ?^, fournis par la

racine a, il faut et il suffit d^ annuler tous les paramètres

fondamentaux ne provenant point de V hypersystème (^a).

L'énoncé est le même pour les plans fondamentaux yj et yj^.

22° Quelle est la disposition mutuelle des i et des yj?

Soient a et 6 deux racines distinctes de cD. On s'assure aisément que : tout plan fondamental yj^ passe par tout point fondamental E^.

La relation mutuelle des Ç^ et des y]^ est un peu plus compliquée.

Si l'hypersystème (a) ne contient pas de successifs simples, alors, dans chaque matrice partielle, la première et la dernière variables sont différentes. Alors, comme on le voit de suite : tout plan yj^ passe par tout point ^^.

S'il existe dans (a) un ou plusieurs successifs simples, alors dans les matrices partielles correspondantes il n'y a qu'une seule variable. Cette dernière est paramètre fondamental aussi bien pour les y]^ que pour les ^^. Le résultat précédent ne subsiste plus. Pour un ^^ donné il n'y a plus que certains y]^ qui passent par ce point. Il faut annuler encore les paramètres fondamentaux qui proviennent des successifs simples.

2*^** Reprenons (i8°) la relation symbolique

qui définit les ^^. Introduisons les n quantités

ou, symboliquement, P[.r]. Pour p — « et x = ^^, les B^ ont un zéro commun.

24^ Égalons Xi et p à des fonctions holomorphcs d'une variable /, en posant

( p r= rt 4- /p' 4-... '

de façon que, pour / = o,

Quand / varie, à partir de | / 1 = o, dans les limites de converpfence des séries, le point x décrit un itinéraire W, passant par le fondamental \.

Je supposerai que le point $ est un point simple de KB. Autrement dit, la tangente en ^ à tO sera unique et bien déterminée; un au moins des \\ ne sera pas nul. Soit, par exemple, ^)^ o. Alors on aura

En vertu de théories bien connues (Weierstrass, etc.), réqualion(r) en / n'aura, pour \yj\ et |/| assez petits, qu^une seule racine. Cette racine s'évanouit avec xj — ^j.

Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant : A une lyaleur du paramètre t correspond^ sur tW, un seul point jc. Réciproquement y pour un point Xy pris sur IP assez près de 5, on 11! obtient qu'une seule valeur de /, à module assez petit.

Supposons, en particulier, p'^c^- Alors, pour / = o,

p — a, Xi= ^/; enfin -~ = -7* Une au moins dû ces der- •

nières n quantités est :^ o. Il est licite, sans rien changer aux résultats ci-dessus, de supposer que la variable t est précisément p — a. Cela revient à faire, dans (o), p' = i, p^''^ = o pour r> I .

25° Soit Q(a?,, ..., x,^; p) un polynôme en Xi et p qui devient une fonction tn(t) sous le bénéfice des formules (o) du 2^j*^. Supposons que gt possède en / = o un zéro K-uple, c'est-à-dire que le développement de trr(/) débute par t^. Eu égard aux explications du 24^, il est licite de dire que la fonction Q possède, au point fondamental ^ et sur l'itinéraire "Hm, K zéros confondus.

Prenons pour Q une quelconque des fonctions

du 23**, qui deviennent gi{t).

Si tous les Çi ont un zéro K-uple en ^ = o, on peut dire que le connexe 3i possède^ sur l'itinéraire lU, K points fondamentaux infiniment voisins du point Ç ou que Ç est un point fondamental K-uple du connexe ou qu'en $, K. points consécutifs de Vfi sont fondamentaux, etc.

26** Je vais chercher à construire W, dans les conditions du 24*^ (^ point simple sur 1P), de façon à obtenir pour le fondamental Ç un degré de multiplicité K, aussi élexé que possible.

Il faut évidemment et il suffit que, pour / = o,

-^ = 0, r — Oy I, ..., K — I,

avec un, au moins, des -j^ ^ o.

27° Par simple différentiation on a

HF ~^l~dFj ~^2Lsl{r-s)l ~dF ~dî^'

r=:Oy I, . . ., K — I.

Faisons / == o, il viendra p=z a^ x = ^a^^ (26°).

Les équations Q considérées comme fournissant les inconnues p', p", .,., p^^\ ..., p^'^^ sont compatibles par hypothèse. p^'*^ a pour coefficients les E/, avec ^^l^ «• On peut donc exprimer p^'^^ à l'aide de p^'~'\ . . ., p", p', c'est-à-dire finalement à l'aide de p' seulement.

Ann. de Lyon. — XIII. ,|

5o PnEMlf:RR PARTIE. — CHAPITRE II.

p' luMnêmc ost donne p<ir

p' ne peut être zéro, dès qu'une des quantités Pfl[E/) est ^ o, ou, symboliquement, !*«[$'] ^o.

28" L'équation symbolique exprime que les r points

sont situés sur la variété fondamentale B^ ('9^)9 aflerente à la racine a de l'équation caractéristique (D. L'itinéraire TU possède r points consécutifs sur S^.

On peut évidemment rendre K (26^) aussi élevé qu'on voudra et même infini, en maintenant assez longtemps sur S^ l'itinéraire W.

J'écarterai cette solution banale du problème posé au 26** et je supposerai que tu n'a en \ qu'ww ^^ttZpoint surH«. Alors (27®) il sera licite de faire

P^[5']^o et p'p^o.

Par suite (24**, in fine) j on peut poser simplement

et faire p''^ = o, pour ^ > i , p' = i .

C'est ce qu'on admettra dorénavant.

icf Alors, le système Q du 27.^ devient

On en déduit, p<ir un calcul facile,

POINTS ET PLANS FONDAMENTAUX. 5l

La formule (0) résout le problème du 26°. Voyons comment elle se traduit sur les X variables Zj^ \ o <Cy = À }, d'une composante X-airc L (i4*')'

Définition. — L sera inactive ou active pouf^ un fondamental ^, suwant que le paramètre fondamental Z seray pour ^ et pour L, nul ou différent de zéro.

So** Soient ^y les valeurs des Zj pour le fondamental ^«. On aura évidemment (14** et 19**)

c, = zx(i-y).

Posons

5y= Çy + /?;-+-.. .4- —C/^ + . . ..

On a (i4°) L = /E -h A. Sur les Zj^ la substitution

PaZ=aE — A

se traduit par la substitution

Les formules (0) deviennent

(o)' i>iïr]-=(-o'-/-îZx(î-y).

Si L appartient à l'hypersystème (a), D = — A. Eu égard à l'expression de A'* donnée au 1 4** et après départ de (— i)'', il vient alors

(o) îr.Vz(^-y-r) = /-!Zx(i-y), /•<K.

3i° Supposons d'abord la matrice L étrangère à Thypersystème (a) qui fournit le fondamental^. L est forcément inactive, Z =: o. Alors |D| = (a — h^^o et (o)' fournit immédiatement X,^p = o pour r< K et J^y^ = arbitraire pour r ^ K. La portion de l'itinéraire 1U, afférente à la matrice F^, résultera donc des formules

(o) Zjr=z i^^j(t)^ ' ^y= développement arbitraire.

On profitera de ce que les ^j(t) sont arbitraires pour les bifler tous. Les Zj seront nuls sur toute la portion considérée de ritinéraire VÙ.

La matrice L, étrangère à Thypersystème (a), ne nous renseignera pas sur la valeur de K.

32** Prenons maintenant, dans Thypersystème (a), une composante L active Z^^o. Si, dans les formules (o) du (3o®), on faity = i , il vient

Comme Z :^ o,

•/(X — I— r)^o et

Mais (27®) r = o, I, 2, .. ., K — i; donc K^X.

L'entier K ne peut dépasser l'ordre X d'une composante active et K est l'ordre minimum des composantes actives.

Le fondamental \ étant connu, K s^en déduit sans ambiguïté et est désormais considéré comme connu.

33® Après avoir calculé K, nous construirons les séries du 3o°,

A cet effet, exprimons que le développement en t de l'expression (23®)

débute par un terme en /*. I

Pour les variables Zj de la composante X-aire

L = aE-hA (140),

de riiypersystème (a) considéré, les expressions B^ sont, puisque Çi — a = t^

yS\y{z)—tZj'-Zj^^lO^—i'-j), jy — 1,2, ...,Xj.

On a donc à construire les Zj(t) de façon à avoir

(o) ift,,-(^)=z-^Vy(0;

d'où, par un calcul facile, on lire

Si K < X, on pourra faire y > K. Alors, pour un pareil j et dans la formule (i), le terme ZttJ'^* se fond dans le terme t^Fj. On écrira donc

Mais, Z étant le paramètre fondamental,

par suite

(2) zj=ZtJ--^x(^-j)-^tJ^xi^-^j)-^t^^j.

Sous le bénéfice des conditions (2), l'expression iiby du SS"" devient

Les conditions (o), savoir ill,y(/) = /''(.. .), n'assujettissent à aucune relation les séries entières $y, 6, qui restent arbitraires.

On est finalement conduit à la formule

où les <fj(t) sont des séries entières en /, arbitraires, tandis que

xy=y + (K-y)x(y~K).

34** Tenons maintenant compte de la relation

qui donne les valeurs absolues des coordonnées ponctuelles homogènes. Se reportant au 24** [formule (o)], on devra avoir

Nommons ey,y = i, 2, . . ., X, les coefficients e relatifs aux variables Zj de la matrice partielle X-aire L. On aura

où 1q premier V s'étend aux diverses matrices partielles,

telles que L.

Il est licite de choisir les Ci de façon que, dans chaque matrice telle que L, le premier coefficient e, soit seul différent de zéro. A la vérité, on relègue ainsi dans le plan de l'infini tous les points a;, pour lesquels chaque première variable Zy d'une matrice composante est zéro. Mais cela est sans inconvénient pour Tétude des points fondamentaux. Pour un pareil point (19^), les diverses premières variables sont les valeurs des paramètres fondamentaux el ne s'évanouissent pas simultanément.

II viendra

pour le point fondamental considéré Ç^ lui-même.

35*^ Satisfaisons maintenant à la condition Xq=zi pour un point de l'itinéraire 111. On devra avoir, par la formule (3) du 3:i^

Or déjà I = V £,Z. Il suffira de faire ç, = o. Les autres développements ç ne sont assujettis, par le fait de a;o= i, à

aucune condition et restent arbitraires. On en profitera pour les biffer tous.

Les formules (3) deviennent alors

(5) ^y=r^y-iZx(K-y) jyzzz,,2, ...,x.j

et donnent, sous forme définitive, la portion de l'itinéraire IW afTérente à la matrice composante L.

La formule (5) du 35** s'applique de même, avec Z = o, à une composante inactive de l'hypersystème (a) et aussi (31**) à une composante L, non comprise dans l'hypersystème a.

Cette formule (5) est absolument générale.

36® La formule(5), appliquée aux diverses composantes L, définit une courbe unicursale de degré K — i .

37® Toute la théorie précédente des fondamentaux confondus ou infiniment voisins se résume en une proposition unique.

Théorème. — Soit $^ un point fondamental fourni par la racine a de V équation caractéristique O). ^ ^^ correspondent sans ambiguïté un entier K (^choisi dans la suite des exposants successif s a^, ..., a^.^) et une courbe unicursale Ck-i, <^^ degré K — i^ passant par ^a- If^y <^y ^^^ ^^ courbe y K points fondamentaux confondus en Ç^.

38® Les plans fondamentaux confondus s'étudient par des procédés analogues. On a une proposition parallèle.

Théorème. — A chaque plan fondamental y]^ correspondent sans ambiguïté un entier K' et une dé^eloppable de clause K' — i tangente à y]^. La développable est tangente à YJ plans fondamentaux^ confondus en y]^.

39® Soient wp'y } y = i , 2, . . ., X j les X variables planaires afférentes à une matrice partielle X-aire L. Le paramètre fondamental W est la valeur de la dernière variable w>\ (20®)-

K' s^obtient en considérant les matrices L où, pour rj^, Wi^éo.

La portion de la développable, qui correspond à la matriceL, s'obtient par des formules analogues aux formules(5) du 35®. Les X — K' premiers ip sont nuls, comme étaient nuls, au 35®, les X — K derniers z.

4o® Il n'est pas inutile de vérifier a posteriori tous les résultats précédents et de montrer que les développements en r (25®)

débutent par un terme en t^.

En ce qui concerne la composante X-aire L, l'expression, à considérer au lieu de qi^t)^ est (33®)

iR,y (0 — ^-y — -y-Hj X(^ — ' —y )• Tenons compte de la formule (5) du 35®; il vient

Si z = o, ifly = o. Si la composante est active, Z :^ o, l'entier K ne peut dépasser (82®) Tordre X de L.

Faisons i^y = K — i. Les trois entiers X— i— y, K — i— y et K —y ne sont pas négatifs et ont leurs y^ égaux à l'unité.

tZJy =: o, llî>j = o.

Faisonsy = K. Alors K —y est nul, K.—j— 1 est négatif.

Faisons enfin K -f- 1 <y ^ X. Les entiers K — y et K —j — i sont négatifs, leurs y^ sont nuls, trr, = o et iPoy = o.

Un liiij nul peut être considéré comme divisible par t^. Donc, dans toutes les hypothèses,

Z = const. ^ o.

»ee»<