CHAPITRE I
I** Dans un espace tt à /i — i dimensions, on a défini la
position j i = I, 2,
d'un point x^ par n coordonnées homogènes ponctuelles Xi. La valeur absolue des Xi est définie par la relation
I rr: Xq "^zz ^ ^ CiXi^
où les ei sont des constantes numériques choisies arbitrairement une fois pour toutes, ^^ = o sera le plan de Vinfini,
d'un plan w, par n coordonnées homogènes planaires Ui. La valeur absolue des Ui est définie par la relation
où les gi sont des constantes numériques choisies arbitrairement une fois pour toutes, w^ == o sera le point de Vinfini.
On supposera, bien entendu, quelconque la position du plan ou du point de l'infini.
Il y aura, dans (K, qo"~"* points x^ ou plans u.
'n I'KF.mi^:rk PARxir. — chapitre i.
'/" l.'rUmeni (x^ a) est la figure consUtuée par un point
if>
if t'^\ %\\%' //; // passe par .z)..!! y aura évidemment, dans 1 < *Y»%vt* C "a"' * él<*ïnents.
}'' hoil une matrice w-aire
|{<'poH/;ri** noiJH aux explications, données dans les Prélifnitinin'n^ %\\v len matrices, les formes bilinéaires, les subsliluliou< liri/'airi*H, ou collinéations.
\t* nomuMM'ai vtnincju» linéaire % la figure lieu des élé— lo' uS% ^ / iU ) qui Hatinfont ^i la condition
^'^ttU'ui > et [>, deux constantes quelconques. Les deux nDfin^t'H A et > A ♦• [xK fourniront évidemment le même éOfffi* *e liuéaiie Jl.
Ou p/;UMa doue toujours admettre que l'équation caracté-
,V. A| |;.K i/li: -X\|-|(p-|jl)E--X\|
pz/i-///^' Hue nuiue uulle. Si la racine nulle n'est pas /z-uple, uu^' iHiU*' rariue pourra r»ncore être prise égale à l'unité. Il if*ittii p//u/ tout n'ia de choisir convenablement X et [jl.
4" ' 'hU'fii I' et (^ deux matrices /i-aires, de détermi- Uiitii 1 if, ( )^f/'t ouH, sur les ./; (*t les w, les collinéations P et Q
|>e fry<»tAme qui définit Ui connexe 51
K(./', //) A(.r, a) — - o devient
Comme la situation réunie doit être conservée, on doit
avoir
Q'PzziR
et, de là,
Le changement de coordonnées ^ exprimé par la collinéation P, se traduit donc, sur les équations du connexe, par ce fait que la matrice A est remplacée par la matrice semblable P-*AP.
On ne considérera pas comme distincts deux connexes qui ne diffèrent que par Torientation.
L'étude géométrique de J3l se ramène donc uniquement à celle de la structure de la matrice A ; on n'aura qu'à examiner quels sont les successifs du faisceau caractéristique
pE— A.
5** Soient un connexe 51 et A la matrice correspondante. Il sera, en vertu de ce qui précède, licite, sans changer la nature géométrique ou la conGguration de J3l, de remplacer A par une matrice quelconque A^, de même structure que A.
Je choisirai bien entendu A,, aussi simple que possible.
Soit le déterminant caractéristique de A
décomjiosé en ses successifs, les racines a, 6, c, ... étant distinctes ou non. D'après M. Frobenius (II, p. 21), nous prendrons pour A^ une matrice telle que
Ao(a7, u) =z a(j?iM,-f-. . .4- ^ol^^ol) + ^2«l-^- • • '-i-^aWa-i
4- 6(j:'a-»-iWa-Hi-l-. . .-h ^a+p"a+p) H- ^a-+-t"fln-i -H. • •
Ao a-t-elle la structure voulue? M. Frobenius n'en produit pas la démonstration. Comme la question a une importance capitale dans les présentes recherches, je vais développer cette démonstration avec quelque détail.
Ann. de Lyon. — XÏII. 3
tRHliRE PAItTIE. — aiAPITIlE I.
■ La matrice n-aire
lpr.-A| = (f«)",
lique (p —a)".
ins la matrice A :
ents situés sur la diagonale principale sont
nts «;,y+( sont égaux à TLinité ; i éléments sont nuls.
E — A) [x~\ = o se réduit aux « — i équa-
t [aE — A| a le rang « - i ; les premiers
-A I ne sont pas tous divisi!>les par p — a
émontré.
;st ce que M. Frobenius (II, p. i()) appelle
•réductihlp,
- Dans la matrice ii-aire
Jl
{il —m)'''"" et wi-airc, c'csl-à-dirr à i
éléments, mSn^ est donné, pouivii que P„, ^ o, par la formule
ou :
A^ est un (^OL — ry^^^e j^iif^yiip^ /'-aire de A ; B, est un(J^ — ^yème jYiineur, 5-aire de B.
Supposons que, pour former P^^, on ait emprunté :
à A, /• lignes et r' colonnes ;
à B, m — r lignes et m — r' colonnes.
Je dis que r' = /•. Si r ^ r, on peut admettre /•' << r, sinon il suffirait de transposer les matrices.
Si /•' << r, la matrice m-aire ^^t telle que P,„ = | $,^ j, s'écrit
civ>
ni,
où X est un tableau c'i /• lignes et /•' colonnes, — On a
P,,^^±Zô,
où % est un déterminant r'-aire provenant du tableau cl>, tandis que j3 est le déterminant (m — -r')-aire, mineur complémentaire dans P„t du mineur J3l. Q contiendrait m — r lignes fournies par le tableau B et, par suite.
lignes formées de zéros. On aurait P»,^^ o, ce qui est absurde. Donc /•' = r.
[E PAHTIE. i:l!APlTRE r.
eviont une matrice r-airc ; le tableau * n — r)-aire. Il vient simplement
P™ = ±IA||UÎ,|.
cur Af de A; [i&| est un mineur B,
lé montré,
'on a la matrice naire
„, u4 que
iule
sS?; tir^ ...) aire de la matrice
G réduit à l'application réitérée du
FORMES TYPIQUES. dy
OLi étant Tordre de a/. De plus, chacune des a^ aura la nature indiquée pour la matrice A au iemme I (6^), avec le même coefficient a pour toutes les a^. Posons
A/=zpE— a,, introduisons la matrice n-aire Q et posons
Al
avec
Nommons :
Q;y, un w/^"'^ mineur de | Q |, déterminant (n — myaire^ X^^^^ un y/^"'^ m^ineur de \ A/|, déterminant (a^— qi)-aire,
Tout Q;„, qui n'est pas^o, s'obtiendra, eu égard au corollaire du Iemme II, par la formule
c'est-à-dire
/?i n: N ///, 0^m5/l, 0'iqi'l<'JLi,
38 PREMIÈRE PARTIE. — <:IIAPITRE I.
l^osons / = p — a; on verra iniméditilcmcnt que :
II. Parmi les d.J' \ où y/> o, un au moins n'est pas divisible par /.
Tout cela résulte immédiatement du lemmc I.
9" Faisons d'abord m^k. Alors il faudra, dans la formule (2) ci-dessus, choisir A' entiers, positifs ou nuls, Ç/ dont la somme soit m. Pour avoir, après s'être donné /w, tous les Q„,j il faudra faire ce choix des Çi de toutes les façons possibles. En particulier, puisque m^k, on pourra choisir tous les g^ positifs.
Ayant égardàce qui a été dit au 8^, in JinCy nous pouvons remarquer que, pour ces V^ là, à çr^ tous positifs, chacun des facteurs d, peut être choisi tel qu'il n'est pas divisible par /. Le P„, considéré peut être choisi ainsi de manière à n'être pas divisible par t.
Ainsi :
.lenies
Dans le déterminant Q^ = | Q |, le p. g. c. d. des m^^' mineurs V^^ polynômes en p, ne contient paSy pourm^k, le facteur t = p — a.
10° Examinons maintenant les mineurs P,„ où m<^k. Rangeons les a/ en une suite non croissante
et désignons par e„, la somme des k — m derniers a
^m ^^^ Ot,„ -h a,,j,j -f- . . . -Ir ^k—\ .
Pour former la somme [formule (2), 8*^] on devra prendre au plus m entiers q^ positifs et au moins
FORMES TYPIQUES. 3g
k — m entiers qi égaux à zéro. Or (formule I du 8**), pour qiz=z o, le facteur x se réduit à t^i.
La somme de /r — m exposants a^ quelconques est égale ou supérieure à la somme e„^ des m — k derniers oli.
Il en résulte que le V^ considéré est divisible par
au moins.
D'autre part, il existe des l\ où il vient effectivement
un au moins de ces P;,^ là, convenablement choisi, est divisible par
et non par
Nous avons ainsi le résultat suivant :
Dans le déterminant | Q |, le p. g. c. d. des m}^"'-^^ mineurs Q,„, pour m <^ A" , est divisible exactement par f«^\
D'ailleurs
1 1** Ainsi le déterminant | Q | (8^) est la puissance /'* de /, où
Al = eo = «0 "^ °^i "+" • • • "1" ^k-i-
Le p. g. c. d. des premiers mineurs est divisible exactement par t^^j
le p. g. c. d. des m}^^^^ mineurs est divisible exactement par r»» avec
Enfin le p. g. c. d. des /f'^"^®» mineurs ne s'évanouit plus pour
PREMIÈRK PARTIR. — CHAPITRK I.
Reprenons les matrices a/ du 8"^ et introduisons la niairice /i-aire P :
ao
ai
OnaQ = pE-P.
Toute la discussion précédente se résume dans une proposition unique :
Théorème. — P possède tes k successifs
Les fondements de la présente démonstration (à partir du 6^) sont dus à Weierstrass (1).
12® Construisons, par le procédé qui vient d'être expliqué pour P :
Une matrice m-aire A telle que le déterminant | pE — A |, décomposé en ses facteurs successifs, soit
|pE — A|=:(p — a)«o(p — a)«, . .. (p — a)«*-i;
une matrice m^-aire B telle que, de même,
I pE - B I == (p - 6)?o (p - 6)P. . . . (p — 6)P*.-.,
/i = /Tij -f- mj -h . . . ,
où a, bj c, ... sont des nombres inégaux quelconques, tandis
que les a, p, y, ... sont des entiers positifs arbitraires avec
Po= ?! = •••>
To=Ti = ' • • • >
La matrice û, n aire,
aura le type \ouIu, indiqué par M. Frobenius (5^) et possédera la structure voulue, car
|pE— 0| = (p — a)«o ... (p — a)**-, (p — 6)Po ...,
puisque
|pE — 0|i=z|pE-A||pE — B| IpE — C| ....
i3" Considérons le connexe J3l, ayant pour équatioti A(a;, u) = o. En vertu des explications précédentes, il sera licite, sans restreindre la généralité, d'attribuer à la matrice n-aire A l'expression simplifiée de M. Frobenius.
Prenons le déterminant A = |pE — A| décomposé en ses successifs
A = (p — a)«o... (p — a)a,.(p__^)Po. (p__^)pt', (p__c)Yo ...,
-+-...-+- a^.-i -+- Po -^- • • • H- P^'-i -l- ïo H- . • • >
m=:ao-f-...4-aA.i, ni' = i^^Q-h . . .-h h'-i-»
On considérera toujours pour A Tcxpression
«0 «1 «A-l Po
tXfQ
ev)|
Xx i
où les matrices e.l>o, cl,,, ..., «.1.^-0 '^\>oy ••• respectivement a^,-aire, a, -aire, ..., a;t|-aire, P(,-aire, ... sont les matrices partielles ou composantes de la matrice A.
Les matrices Xo, X,, . . correspondent respectivement aux
successifs (p — a)"», (p -^a)*i, Les k matrices X,,, ...,
X)t-i constituent IViy^er^^^^/ème (a) afférent à la racine a de Téquation caractéristique (D
A ru I p E — A I — o.
14° Soit une matrice partielle quelconque L, X-aire, correspondant au successif (p — /)^. La matrice appartiendra à riiypersystcme afférent à la racine /de (D.
En vertu de ce qui précède, on aura
pE-L| = (p-/)>
FORMES TYPIQUES. l\i
et
Les 2 X variables 5,, ..., r^, ..., Z), (v,, ..., Wy, ...,iVx sont rangées dans un ordre bien défini.
On pourra sans ambiguïté parler de la première^ ou de la dernière j des variables z ou iv.
Introduisons le symbole x(*) ^^ ^^
il pour 5^o o pour 5 <[ o
Posons L = /E -h A. On aura, pour la substitution A,
et enfin pour r^X.
t5° Soient (p — a)°'«', ..., (p — a)*A-t les /r successifs fournis par la racine a de cD. Les a sont rangés en ordre non croissant
ao>a,>.. Z^k-v
Je rangerai dans un même échelon les successifs et les matrices partielles de Thypersystème (a) de a, qui ont même valeur pour l'exposant successif a. L'échelon sera la valeur commune de ces exposants. La suite des échelons ne peut évidemment être que décroissante.
16'' Les notations du \[\^ sont fidèlement maintenues dans la suite et onr ne les rappellera plus.
