A (^, II
Xi{u)=:
dxi
42® Une courbe (développable) est, par définition, le lieu des points a; (plans u) dont les coordonnées sont fonctions à^une variable s.
L'équation différentielle des courbes ^ sera
dxi ds
^XiCL{s)-\~^{s)ki{x)
Ki{x) — h.[xi^ —
dA.{Xy u) dui
Celle des dévcloppables v sera
On a supposé, d'ailleurs, la valeur absolue des coordonnées Xi ou Ui fixée par les procédés du i**. De plus «(5), P(*), y(*), S(*) sont des fonctions de 5, encore inconnues, tout comme les fonctions x^Çs) et Ui(s) qui définiront <x ou o
43° Simplifions d'abord l'équation différentielle X des X. Posons
Il viendra
Posons
Il viendra simplement
Ai(j)
Posons
Le système différentiel X s'écrira définitivement
Posons de même
avec
73 zz: Wq e-^Y(*J''*, tèt^ =: const. ,
et
dt=^ 0(5) <i5,
il viendra
COURBES ;X; ET DÉVELOPPABLES XD. Sg
Passons à rintégration des systèmes différentiels Y et V. Cette intégration assurera la connaissance des courbes x> et des développables t). Si Ton a, en effet, en vertu de ladite intégration,
X, s'obtiendra par les n équations
et XD s'obtiendra par les n équations
sans qu'on ait à se préoccuper des fonctions a, p, y, S, 6, tzj de la variable s.
44^ Voyons de quelle façon les relations (Y) se traduisent sur les X variables Zj de la matrice composante X-aire L, L = /E -h A, introduite au i4" (*)> savoir telle que
Il viendra
Posons alors, après départ de <?'', on aura simplement
Alors, par un calcul simple,
(^) Plus exactement, les^y désigneront celles des variables j^/ qui appartiennent à la matrice L.
6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
et
car
Ensuite, puisque (i4^) J:}= A [^y] = X.j^, yÇk - i --y),
Ci= ^ Crt^=^ polynôme arbitraire en ^, de degré X — i z=ir^{t),
On écrira, un peu autrement,
?(0= ^ <^r^> Cr=arbilr.
45® Pour obtenir la courbe ,x, il faut avoir égard à la condition
On choisira les coefficients e comme au 34**. Autrement dit, parmi les coefficients £y, relatifs à la matrice L, e, sera seul différent de zéro. Alors
I zz: oTo =:= \^ Ej -Sj ; et Ton écrira \ e|e''<p(^) =: *,
V s'é tendant aux diverses composantes.
Gela posé, la portion de la courbe eX, afférente à la composante L, s'obtiendra par les formules que voici :
iA.) zj—
COURBES ^ ET DÉVELOPPABLES t!). 6l
46° La développable xd s'obtiendra par un procédé analogue. Viendront les formules que voici (voir 3g^) :
^ne^'^in
OÙ
+ (0= 2 ^'•TT' ^r=arbitr.,
à condition que l'on ait
jlesy étant analogues aux £ du 45**!? 2 s'étendant aux diverses composantes.
47*^ Les courbes X (développables xd) ont, avec les points (plans) fondainentaux des relations étroites que nous allons étudier.
Reprenons les équations différentielles du 4^° '
ffft .
(U) ^ = f^i^{s)^^{s)Xt{u).
Supposons d'abord que le point x (plan u) n'est pas fondamental. Alors sont distincts les deux points x et A[it?], ce dernier ayant les A/(a;) pour coordonnées. De même sont distincts les deux plans Met A'[£^], ce dernier ayant les x,(w) pour coordonnées.
Les seconds membres des relations (X) ou (U) ne s'évanouissent pas simultanément.
Par conséquent :
L Par un point x de Vespace non fondamental passe une et une seule courbe .x.
IL A un plan u de Vespace non fondamental est tangente une et une seule déçeloppable t).
48° Lemme. — Siy sur une courbe X {développable V))j le point (plan) courant tend vers un point fondamental Ç (plan fondamental yj), la variable t des formules (^) ou (t)) des 45* et 46® ne peut rester finie.
Si / reste finie, on peut faire, sans restreindre la généralité, / = o. Alors il vient, pour le point $,
Zj — >
pour le plan yj,
^Xk^iP)
et les dénominateurs ne peuvent s'évanouir qu'avec tous les numérateurs, puisque $ ou y] ont des coordonnées finies. Gomme les £, et y^ sont des constantes numériques quelconques, il faudrait, dans cette éventualité, avoir, pour chaque matrice composante^
cp(o)r=^'(o)=r... = cp(X-.)(o)=o, .j;(0) = 4;'(o) =. . .= il^î^-») (O) =z O,
c'est-à-dire
cp(o = o, 4/(0 = 0,
ce qui est évidemment absurde.
Nommons donc $« et W^ les. constantes non nulles auxquelles se réduisent, pour / = o, les deux dénominateurs $ et W de Zj et kvj.
On devra avoir, eu égard aux théories du Chapitre II,
CD (o)
z^ =: '^ =z= Z 1=: paramètre fondamental,
pour ç <
^j= ' ^^ ■ ^O et <p(y-i)(o)zz:o;
n^z=i ■^^~- = W = paramètre fondamental, pour Tj
n'j^^^—^ =0 et 4.(W)(o)^o.
COURqES ^ ET DÉVELOPPABLES t). 63
Delà
<p(/) z=z 4>oZ = const., iKO = ^oW = consl.
Alors les formules (;x;) et (t)) deviennent
A»J — J %Vj
avec (i 4°) j(^(^)=: G ou I suivant que 5<^o ou s^o.
Soit (/) riiypersystème qui correspond à la racine / de l'équation caractéristique. Les paramètres fondamentaux, qui définissent le point fondamental $ ou le plan fondamental Y), sont nuls pour toutes les composantes qui n'appartiennent pointa (/), si Ton suppose (ce que nous ferons pour fixer les idées) que $ et y] sont fournis par la racine /.
Les sommes dénominateurs
ne comprennent plus que des composantes actives, Z ^ o ou W :^ o,quî appartiennent forcément à l'hypersystème (/) et l'exponentielle <?'' vient en facteur. Cette exponentielle disparaît haut et bas dans les fractions qui donnent zj et Wy.
Alors Zj et iVj sont des constantes. La courbe eX (développable t)) se réduit à un point (plan) fixe, qui est évidemment le point (plan) fondamental considéré.
C'est là un cas tout particulier que nous excluons et le lemme est démontré ( * ).
Il faut donc étudier ce qui se passe pour [/| = oo ou pour r* = o.
(*) Peut-être est-il à propos d'expliquer que, clans le présent Chapitre, e'^ n'est pas la quantité e', élevée à la puissance d'exposant /. Suivant l'usage, e" est l'exponentielle, fonction uniforme :
(ity
(J^ PREMIÈUE PARTIE. — CHAPITRE IIÏ.
/l9" Voici le problème qui va nous occuper maintenant.
I^ portion de la courbe «x., afférente à une composante L, d'ordre X, dépend des X paramètres arbitraires, qui sont les coefficients c^, c,, ..., cx«, du polynôme (f(t) (45**). Il y a, pour toutes les matrices composantes telles que L, de la matrice A, /i = VX pareils paramètres. La courbe ^x tout entière dépendra des n — i rapports de ces n paramètres.
D'autre part, a; passe, par hypothèse, par un certain fondamental $/ par exemple, fourni par la racine / de Téquation caractéristique.
Enfin, dans le plan de la variable complexe /, t devient infini (ou /""* tend vers zéro) suivant un certain itinéraire m. Comme le point /"* = oest, pour la fonction exponentielle e', un point singulier essentiel, le choix de m n'est pas indifférent.
Tout cela posé, le problème proposé consistera à établir la dépendance mutuelle qui lie ensemble :
Le fondamental H/;
L'itinéraire m;
luCS Ai — I paramètres, qui définissent la courbe e\;.
5o° Dans la matrice L, le depjré effectif du polynôme ç»(/) (/p"") ne dépasse pas Tordre X de L diminué d'une unité, mais peut être moindre, pour une certaine courbe^.. Ce degré se nommera catégorie de la matrice L, pour la courbe a; considérée.
5i° Reprenons les formules du 45° qui donnent la portion de la courbe «rv;, afférente à une matrice L. Ecrivons-les un peu autrement, savoir
Dans la somme O mettons en évidence :
1° Le coefficient t^ de la matrice L elle-même;
COURBES cX. ET DÉVELOPPABLES t). 65
1^ Les coefficients e" et les polynômes /(/), analogues à (p(/), des matrices autres que L, mais appartenant au même hypersystème (/) que L;
3** Les coefficients i\ et les polynômes F(/) qui appartiennent à des matrices U des hypersystèmes (/'), /' ^ L
On aura et
Il faut chercher la limite, pour / = oc, des expressions z~-^ . Les divers polynômes tels que 9, f^ F, 9^~*\ . . . peuvent, dans le calcul des limites, être supposés réduits à leur terme, d'exposant maximum, en t. Tout se ramène donc au calcul de
où p est entier réel, tandis que m est une constante complexe quelconque.
62^ Mettons en évidence les arguments et les modules, posons
t = Te'\ m = M «'>. mt = MTe'^^-V-,, Delà
argç^ =zi px -+- MT sîn(T — [x).
t dans son plan s'éloigne à l'infini suivant un itinéraire u>. La variable ç, dans son plan, décrit un itinéraire V. Considérons enfin la figure ci-après, où les flèches indiquent le sens positif des axes.
Oazn Tcos('ç — [jl), 0|3 = Tsin(T — jx),
Afin, de Lyon. — Xllf. j
GG
PRKMIEIIE PARTIK. — THAPITRE III.
On sait que, pour m et / réels, on a, quel que soit l'entier p fini,
U = oc pour ml = H-.oc, U = o pour mt-=. — oc.
Une discussion élémentaire conduit aux résultats suivants. Si 1D est tel que a s'éloigne à l'infini sur O M et dans le sens positif, I p I devient ao et û = oc.
Fig. I.
Si m est tel que a s'éloigne à l'infini dans le sens négatif, I V I tend vers zéro et û = o.
Supposons que, pour un certain m, a tende vers a^^, à distance finie. Alors Oa^= lim Tcos(t — [x)etcos(T — (x) tend vers zéro; sin(T — fx) tend vers zhi; Tsin(T — (x) devient infini. | û | = oc, pour /? > o ; | û | = o, pour p <^o. Pour j9 = o, ]p| tend vers une limite finie, mais argp est infini. L'itinéraire V de p admet un cercle asymptote ayant son centre à l'origine. H est indéterminée tout en restant finie.
l'^nfin il est complètement indéterminée, si, /s'éloignant à l'infini, les points a et ^ ne tendent vers aucune limite.
Notons que, dans la discussion précédente, où m^i^^ £2 est nulle, infinie, indéterminée, mais jamais finie.
Si l'on voulait avoir une Î2 finie et bien déterminée, différente de zéro, il faudrait faire
/?l zziO
el
Alors p = const.
COURBES ,rC. ET DÉVELOPPABLES t*). 67
53** Soient :
r,, P2? • • • des expressions, en nombre fini, du type r; g^j ^29 • • • des constantes numériques arbitraires; V l'expression
u la limite de ti pour t = co. Nous admettrons comme évident l'énoncé suivant :
Pour que ti soil infinie (ou indéterminée), il faut et il suffit qu\\ne au moins des p ait une limite infinie (ou indéterminée^ aucune des autres n'étant infinie).
Pour que ti soit zéro^ il faut et il suffit que chacune des p tende vers zéro.
54** Nommons x la position limite du point courant x sur une courbe ^., quand / devient infinie ou t~^ nulle.
Théorème. — x est toujours un fondamental, c'est-à-dire pour tout choix de l'itinéraire tp.
La proposition devient évidente moyennant rétablissement de deux lemmes.
Lemme premier. — Pour x et dans une matrice partielle quelconque L, la coordonnée zj, y > ï? ^^^ toujours zéro.
En effet, écrivons (oi^)
Si <p(/)^o, toutes les X variables Zj de L sont nulles tout le long de «x, et le lemme n'est pas infirmé.
Si <p(/) ^ o, le quotient <p : ç^" *^ a le degré de son numérateur supérieur à celui de son dénominateur. Ce quotient a pour limite qo et il en est de même pour ^j' (53**), puisque les £,, e'^, £, , . . . sont des constantes numériques arbitraires. Ainsi Zj tend vers zéro. c. q. f. d.
Lemme second. — Soient L et L' deux composantes quelconques, où, pour ï, les deux premières variables z^ et z\ ne sont pas nulles. L et L' appartiennent au même hypersystème (/) et ont même catégorie (5o°).
Prenons, en effet, les équations de la courbe .x (45*')
Le quotient
OÙ q et q' sont les catégories (So**), doit, pour / = oc, tendre vers une limite bien déterminée, ni nulle ni infinie. Cela exige (Si** in fine) /' — / = çr' — gr = o. Alors /' = /, les deux matrices appartiennent au même hypersystème ; les deux catégories sont égales.
En résumé, pour le point 5, dans tous les hypersystèmes, sauf un, (/) par exemple, toutes les coordonnées sont nulles;
Pour(/) lui-même, ne sont différentes de zéro que tout ou partie des premières coordonnées de chaque matrice.
On reconnaît ainsi que le point x est fondamental.
55** 5 coïncide avec tel ou tel fondamental suivant le choix de l'itinéraire tu.
Supposons que x coïncide avec le fondamental ^/, fourni par la racine / de l'équation caractéristique. Attribuons à E/, dans la matrice L de (/), le paramètre fondamental Z:^ o. Gomme les coordonnées de E/ sont connues, par hypothèse, on connaîtra ( 5 4*^) quelles sont celles des matrices de (/)qui ont même catégorie que L. Cela fera annuler déjà un certain nombre des paramètres c^ (44*^) qui figurent dans ces matrices-là.
Soit maintenant dans l'hypersystème (/'), V^l^ la matrice L', dont la première variable z^ s'exprime, sur ,x, par
COURBES ^ ET DÉVELOPPABLES O. 6[)
réquation tandis que
pour la matrice L elle-même. Comme, pour / = qo, z^ tend vers Z(j le quotient z\:z^ doit tendre vers zéro, puisque z\ doit s'évanouir à la limite. Donc
Si F(t) = Cfi-h...j (p(/) = c^H-..., Q et 5^ étant les catégories, il faut avoir
puisque c^ o par hypothèse.
Prenons un certain itinéraire tp. Les procédés du :)2'' donnent toujours la limite de
Si cette limite n'est pas nulle, mais infinie ou indéterminée, il suffira de faire C — o. Cela revient à abaisser convenablement les catégories des composantes L', c'est-à-dire à annuler un certain nombre des paramètres arbitraires dont dépend «x; .
56** En résumé, une discussion plus ou moins laborieuse, mais dépourvue de toute difficulté théorique, nous mettra toujours à même, grâce aux procédés du 52**, de considérer comme résolu le problème du 49^-
Les formules du 45** représentent V intégrale générale du système des équations différentielles (X) (42**). Existe-t-il des courbes ^X, issues d'un point fondamental, et solutions singulières du système (X)? Cette supposition n'est pas absurde.
Je n'ai pas cherché à élucider la question. Cela m'aurait
entraîné trop en dehors du cadre principal des présentes recherches sur les formes mixtes. Mais le problème est intéressant. Il devra être traité par les méthodes de M. Painlevé {Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles. Paris, Hermann, 1897).
57^ On traitera par une discussion tout à fait analogue à la précédente (48° à 55*^) le problème relatif aux rapports mutuels entre les plans fondamentaux et les développables t).
On remarquera que les courbes -X, d'une part, les développables X) d'autre part, sont la généralisation de ce que Glebsch a nommé, dans le plan, courbes de coïncidence principale T, pour le connexe linéaire JJL.
En effet, dans le domaine ternaire /i = 3, la courbe T a, par définition, pour tangente, la droite u qui, avec le pointer, donne l'élément du connexe. Le point dont les coordonnées sont A/(a?) est sur la droite u et il vient l'équation (X) du 42^
dxi
ds
z= Xi'x{s) H- P(.ç) A/(j7).
Ailleurs (VIII) j'ai étudié les relations, dans le domaine quaternaire /^ ^ 4j d^s courbes «x avec \' équation de Jacobi dans Vespace. Il ne serait pas difficile de généraliser ces théories pour n quelconque. Je le ferai peut-être dans un travail ultérieur, plus spécialement consacré au Calcul intégral (équations aux dérivées partielles du premier ordre).
