CHAPITRE IV

58** Je me propose d'appliquer les méthodes générales qui ont été exposées dans les trois Chapitres précédents, à l'étude de quelques cas simples, où /i = 3, 4 ou 5.

Le cas n = '5 est celui, bien connu, du connexe linéolinéaire plan de Clebsch. Le cas /i — 4 a été traité par moi dans le Mémoire de Bruxelles (•), mais par des procédés relativement élémentaires et assez laborieux. Les procédés généraux actuels permettront d'abréger et d'alléger la discussion.

59** Prenons le déterminant caractéristique

A(r)=:|rE— A|

décomposé en ses facteurs successifs. On peut toujours (3^) admettre qu'une racine est zéro et qu'une autre racine esti. Alors on écrira

Lemme. — Une racine de V équation caractéristique ne peut fournir plus de n — 1 successifs.

Supposons, en effet, dans la formule (o) ci-dessus

(*) VIII de rinde\ Bibliographique.

/•*>n — 2. Pour r = o, la matrice rE — A a ses premiers, seconds, ..., (/f — I )•*»•• mineurs tous nuls. La matrice A a le rang n — A', c'est-à-dire i ou o. Pour le rang zéro, A disparaît. Pour le rang i, aij = piqj*^ alors

IjC connexe est décomposable. C'est un cas particulier, sans intérêt et que l'on exclura.

Dans ce qui suit, k = n — 2, désignera le nombre maximum de successifs que peut fournir une racine de l'équation caractéristique.

Go*^ Je désignerai par

?S'^ ou ï)/)

les coordonnées du point fondamental ^/ ou du plan fondamental y]/, fourni par la racine /.

Gi° Je nommerai X/ et U/ les points et plans tels que

Xi^o ou w/3?z£o,

les autres coordonnées étant nulles. La condition (i^) a?^, = i

ou «0=1 donne

Xi:=: — > lli ==: — •

X/Ct U/ sont le sommet et la face opposés du n-èdre de référence {n = 3, triangle de référence; n = [\^ tétraèdre de référence; .. .).

6i° bis Pour /i = 3 ou Z^, je considérerai successivement :

L'énumération des types;

Les points fondamentaux;

Les courbes C (Chapitre II) de degré K — i ;

Les courbes cXr (Chapitre III).

Le lecteur verra facilement, par dualité, ce qu'il en est des

plans fondamentaux, des développables t) (Chapitre III), des

développables analogues aux courbes C

Enfin k = n — 2 aura la signification indiquée au Sg**,

in fine.

G2** Il y a trois racines dont chacune ne fournit qu'un seul successif.

Ënumération des types.

On voit qu'il y a seulement trois types :