INVARIANTS ET RESIDUELLE D UNE FORME MIXTE. IO

Alors (34«)

ÙÏL{m, m') = «p(m)<p(/n') — «p(m — i)^(/n'— i)=;N*— I.

Il y a N^ — ï invariants et autant de résiduelles élémentaires.

Soit

F = ^CijUiû^j] 1 1, y := 1 , 2, . . . , N |, u On doit avoir

ce qui introduit

les N(N — i) invariants c/y, i^j\ les N — I invariants c,i — c//,.« p^i,

c'est-à-dire bien N^ — i invariants.

Les résiduelles élémentaires sont

les N(N — i) expressions W/^y, î^j\

et

les N — I expressions Xi 1/1 — ^1 W/.

42^ Prenons le cas

N = 2, m jzz 2, /w'=:i; tp(m) = m -h I ;

<p(m — l) cp(/n' — l) !=:: 9(1) cp(o) =1 2;

On peut écrire 11 faut avoir

G =:F — iu{^/, J^i 4- diXi)

Les quatre résiduelles élémentaires sont

W|tZ*j, £/jtZ*j, ''2*^1) '^l'^l'^j?

I lO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

c'est-à-dire (en vertu de la relation

ce sont

<»•• <*•• T** t* If. T**

43** On a vu que Ton peut écrire (36®)

\x\ u ) \x\ U ) \ X\ Il )

où Fo est la résiduelle F de F. On peut appeler résiduelle d'ordre m et de classe m' toute expression

combinaison linéaircj homogène, à coefficients constants K^, des résiduelles élémentaires O. En effet, Xi„un est la résiduelle de la forme mixte, où les Ka sont les invariants.

11 est évident que toute résiduelle divisible par co est identiquement nulle.

Ainsi on écrira

Mais, de même,

et ainsi de suite. Bref, il viendra la formule très importante pour la suite

5 = o, I, . . . , iW,

où SA est le plus petit des deux nombres m et m\

Ecrire F sous cette forme, ce sera ordonnerY par rapport aux puissances de oi.