INVARIANTS ET RESIDUELLE D UNE FORME MIXTE. IO

OÙ la matrice N-aire

S = [sjj>]

a son déterminant

Sl = i.

Comme la situation réunie du point x et du plan u est un invariant, la coUinéation S se traduit sur les u par la coUinéation

inverse de la transposée de S.

Il vient alors (32**)

f('» '»' )=F(S[/];S'-«M; «)-#('" '"' ,)• On a évidemment (notations du 33°)

ou symboliquement

P étant la matrice [ç(m) (p(m')]-aire

où les p^^' sont des fonctions connues des coefficients Sjj' de S. On peut exprimer (35**) tous les a^ à l'aide des a^^

I [X=:l, 2, ..., cp(/W — l)^(/n'— l)j,

et des DlL(m, m') invariants Aa(a), où

a = I, 2, . . ., on (m, m').

Eu égard aux égalités (o) ci-dessus, on pourra écrire

a' lix

a' HZ 1,2, ..., on (m, m')

Io8 DFXXIÊMK PARTIE. — CHAPITRE II!.

Or F et ^sont simultanément divisibles par (o. Donc, si tous les Aa(a) sont nuls, tous les Aa(a') sont nuls aussi, et cela quels que soient les «j^, notamment quand tous les a^j^sont nuls, sauf un. Ainsi

D'autre part, les Aa(a') ne peuvent être tous nuls que si tous les Aa(ût) le sont; donc, eu égard aux relations (i) et g(i\t,=^ o, on constate ceci : la matrice [ait (m, m')]-aire

a son déterminant

et il vient symboliquement

En résumé, tout changement de coordonnées se traduit sur les invariants j ou sur les résiduelles élémentaires^ par une certaine collinéation [oii(m, m')J-a/r^, ce qui (Sg®) peut être considéré comme indifférent.

Ainsi la résidualité est une propriété projectile, et il en est de même pour les formations (linéaires, homogènes, à coefficients numériques) des coefficients de la forme mixte F, formations que Ton a nommées ini>ariants Aa(a). C'est la justification du nom d'invariants.

/|i® Gomme application, construisons les résiduelles élémentaires dans quelques cas simples.

Prenons d'abord une forme mixte F linéo-linéaire

Alors

^{m) = cp(,) =: cp(//l') = ^^;^-^, z=: N,

cp(/?i)çp(m') = N2

(ainsi qu'on l'a vu au 3o*^);

'f ( m — - 1 ) =:i cp ( /n' — I ) HZ cp (o ) = I