CHAPITRE VI
ELEMENTS FONDAMENTAUX
63** Nommons fondamental pour la crémonienne s tout élément dont l'image par s n'est plus unique. Il faudra évidemment avoir
Faisons usage des coordonnées non homogènes (lo*') [Xp et Xa(a, p = I, 2, ..., 2N — 3). La crémonienne s est donnée par les relations
où les L et les M sont des polynômes.
Les éléments fondamentaux de s sont donnés par les 2 N — 2 équations L^t = <^) '^' = ^j ' 5 • • • ? 2 N — 3 ; les 2 N — 2 équations M;t=o donneront les éléments fondamentaux de s~~\
04^ Une attention spéciale est méritée par les éléments fondamentaux (X, u) ou {x^ U), où le plan w, ou le point x, est quelconque donné.
TiiKORÈME. — // ne peut exister sur le plan u (passer par le point x) plus de qc^~* points X (^ plans U).
Faisons le raisonnement sur les plans U.
ÉLÉMENTS FONDAMENTAUX. 187
Donnons-nous x en fixant, arbitrairement d'ailleurs, les
N — I paramètres X,, . . ., Xj^-,. Les N — 2 paramètres Xj,, . . .,
^jx-3? qui définissent U, sont donnés (63**) par les 2N — 2
équations
Ljt=o, A:=z:o^ I, ..., 2N — 3.
Sans changer la crémonienne^s, il est licite de débarrasser les polynômes Ljt de leur p. g. c. d. Je supposerai dorénavant les polynômes L^t? ^lùx 2N — 3 indéterminées X», premiers entre eux. Il est licite aussi, dans la présente discussion, d'effectuer sur les L^ une collinéation (2N — 2)-aire quelconque, à coefficients constants. Je supposerai, par suite, que la fraction rationnelle Lp : Lo, aux 2N — 3 indéterminées X, est irréductible.
S'il existe oo^"* plans U, on peut choisir arbitrairement les N — 3 paramètres X^j, X^^.i, .. ., X,x 4. Donc les 2N — - 2 équations
OÙ il n'y a qu'une ^eule inconnue A et 2N — f\ indéterminées, ont au moins une racine commune. Le résultant
Hés^ ( ^' * I (uolalion de Kônig),
obtenu eu éliuiina^nt l'inconnue A entre les deux équations Lp= o el Lo= o, est zéro. On peut aussi effectuer sur les X une collinéa^Uou préalable (2N, — 3,)-Airc quelconque, ce qui permeitrc^ d^écrirç
H— ^^''-^ ^^^"* GrA.{X„ . . . , Xjx 0 + . . . .
Alors, ou vertu de ce que le ré§iiiltant s'évanouit, on a l'identité
(o) ApL3z=BpLo,
où Ap et Bp sont des polynômes en X^, contenant A au degré GJ — I au plus (Konig, p. 101). Comme L^, est premier avec Lp, ridcnlilé (o) exige que Lp, qui est en A du degré tar,.
l88 TIIOISIKME PARTIE. — CHAPITRE VI.
divise Ap, qui est en A du degré cet— i au plus. Cela est absurde et le théorème est démontré.
Ainsi, parmi les qc^~* points situés sur un plan quelconque u (les o6^~' plans passant par un point quelconque x)^ les points X (plans U), qui forment des éléments fondamentaux (X, w) [éléments fondamentaux (X, «)], constituent une variété à N — 4 dimensions au plus.
G5** A la démonstration précédente il suffit de changer quelques mots à peine pour établir qu'iV n'existe pas plus de Qc*'^~* éléments fondamentaux.
En effet, s'il en existait qo*^~*, on pourrait se donner à volonté X,, ..., Xjy^. Les 2N — 2 équations L;t=o, où les X,, ..., X,j^^ sont des indéterminées, avec Tunique inconnue X,^.^3, auraient une racine, au moins, commune. Gela est absurde, comme on l'a vu (64^)*
60** A chaque élément fondamental # = (a;, u) correspond une variété fondamentale 'Ç. Nous nommerons ainsi la figure constituée par les différents éléments-images, par la crémonienne 5, de l'élément ^.
Pour construire \?, reprenons les équations û du 8^. La solulion propre (y, p), pour l'élément (a?, u) quelconque, se présente comme la solution commune d'un système C d'équations (obtenues en opérant sur û d'une façon convenable).
Quand (.r, u) devient le fondamental ^, le système C ne contient plus assez d'équations distinctes pour définir (y, p). (jKî <^) est alors indétex^miné sur une certaine variété algébrique, laquelle sera, par définition, la variété fondamentale t?.
67^ On voit que la présente théorie des fondamentaux § et des fondamentales \'> est la généralisation immédiate des propriétés bien connues que possèdent les points fondamentaux, dans les substitutions Cremona (birationnelles, planes ou dans l'espace).
Rappelons brièvement ces propriétés.
ÉLÉMESTS FO>'r
Prenons, par exemple, le rési de degré M
Deux courbes du réseau
pour un choix quelconque des pi ra mètres
se coupent en M' — i points fix système Q,,
et en un seul point x,
solulion propre de il. Alors la s
Mais, si x est un point fondan
et
ont une branche commune, laqu taie afTérente à ^.
68" Rappelons aussi commen forme les figures du plan.
Nommonsy = (s^x^ le point- /,■ pour coordonnées.
Soil C) /.(^) = ^1 Uï^c courbe que parcourt x. Je nommerai C' = a[C], ou courbe-image de G par a, le lieu du point y, quand x voyage sur C.
Comme x = F(y)j l'équation de G' sera
Mais, si la courbe C passe par divers fondamentaux é''*\ ^^^\ ..., alors il se sépare^ de la forme ternaire ts (y), des facteurs
*^ii *-^f^ •••>
U, = o, Uji^ô, ... étant les courbes fondamentales afférentes à ^^'^5 ^^^\ .... La courbe-image sera ce qui reste de la courbe ts(y) ±= o quand on a supprimé ces branches^ courbes fondamentales.
Tout cela est bien connu ^ mais va être généralisé eti ma* ticre de crémonienne.
On peut résumer la théorie précédente en disant ceci : la courbe-image de ta courbe C est le lieu du point- image y de Xj lorsque x parcourt C, tout en restant à diHatice fi^ie des fondamentaux situés sur C.
Revenons maintenant aux crémonicnnes générales^
69^ Nommons Z la figure constituée par des éléments (x, «), en nombre fini ou infini. Je nommerai Z'=5[Z] la figure, lieu des éléments (y, p) = 5 [(.r, m)], images, par la crémonienne *, des éléments (x, m).
Désignons par
Hf un élément fondamental pour 5,
'<? une variété fondomentatc pour .ç, '<?' » » » .r"*.
Je vais supposer que Z est une variété algébrique» Quelle estZ'==-5[:r]?
Par analogie avec les substitutions ponctuelles planes (G8"), ne pourront faire partie Aq Z' les variétés tp ou portions de 'Ç.
ÉLÉMENTS FONDAMENTAUX. I9I
70^ D'après cela, si Z est constituée exclusivement par des cléments #, l'image de Z n'existera pas^ comme étant formée exclusivement de variétés 'Q,
Si Z, ou une portion de Z, est une variété t?', l'image correspondante se réduit au fondamental i\ correspondant dans 5~' à la variété %?'.
Examinons enfin ce qui se passe quand Z est une variété ordinaire^ donnée par des équations
où les F sont des formes mixtes.
En vertu des relations
les formes mixtes annulées
(2) G,(y;r) = Fi(0;r,) = 6, G,(j.; r) = F,(6; ^) ==0, ...
donneront une variété, laquelle sera Z', après suppression des variétés X?, s'il y avait lieu. Cette suppression serait nécessaire, si Z contenait des éléments fondamentaux i.
71^ Supposons en particulier que Z soit la variété formée par les qo^~' éléments (x-, u\ où le plan «est fixe, mais quelconque. Il y aura éventuellement sur Z des éléments fondamentaux ^, s'il existe des points X, tels qu'ils ont été étudiés plus haut (64**). La variété Z', telle qu'elle vient d'être définie, c'est-à-dire après suppression éventuelle des variétés t?, se nommera la variété primordiale ^i\.
Cette définition est bien d'accord avec celle des Chapitres précédents.
C'est ce qu'il est facile de voir.
72" Par exemple, pour construire la variété ponctuelle Y„, qui entre dans la constitution de a\, on a supposé x indéterminé ou quelconque sur le plan ;/ [c'est-à-dire que x n'est
2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ïl.
i un point X (64°)1 et l'on a établi (33") les relations
I **(?!, ?i, .. M ni ?*. u) = o,
\ R^*-ç — i; rç£î£N.
De même, pour la variété planaire V„ viendraient les reions
Mais, si X, au lieu d'être quelconque, vient en un point X,
irs :
Ou bien 9, = o, et les relations (o) deviennent illusoires;
Ou bien '^,-= o, et les relations (i) deviennent illusoires;
Ou bien y, = ^1^, = o, et (o) et (i) sont tous les deux illu-
res.
73" Par conséquent, soit dans les conventions du présent lapitre, soit dans les conventions des Chapitres précédents : primordiale $„ est la figure parcourue par l'élément
and le point x parcourt le plan u, mais sans venir en point X. Autrement dit : l'élément (x, u) ne vient pas un élément fondamental §.
74° Nous sommes maintenant à même de démontrer une portante proposition (Belge, 35°).
TiiiioRÈsiE. — Soit une variété intégrale (10°, des Géné- ;s) donnée ^. S'il existe une crémonienne s admettant «> ur primordiale, la crémonienne s sera unique.
Soient s et s' admettant la même primordiale S'^., pour x elconque. Je dis que s' n'est pas distincte de s. La démonstration, pour N quelconque, a la même marche c pour N = 4 (Belge, 35").
ÉLÉMEMS FONl
Lehmf: I. — Toute créinonier (ou un plan) quelconque, se unité.
La démonstration a été donii'
Lemhë ]1. — Si l'on trans/or monienne t, la crétnonienne s
En effet, on a
Transformons par t, il viendi
Lehhe ni. — Si la crémoniei conque, la primordiale donner
Transformons tout l'espace p
éléments de $„ deviennent les o t laissant ^H^^ fixe, s{s~*, en vertu eux les éléments adhérents à (lemmel)
StS''=^ I,
Passons maintenant à la dém' Si s' et * ont la même primo élément (y, v) quelconque.
L'élément s'~' [(y, v)\ adhère La crémonienne «'~'*ne fait q ments de <e, et laisse *. fixe. Ait
75" On peut, grâce au théorl
Ann. de Lyon. — XIII.
construction, pour les crénioniennes, les variétés primordiales. On se trouve en présence du problème que voici :
Etant donnée une variété intégrale tU, lieu d'un élément {y^ r), variété dépendant du point x, trouver les conditions S nécessaires et suffisantes pour que UU soit la primordiale ^mj. d'une crémonienne s.
Les conditions J étant supposées satisfaites, construire s^ qu'on sait être unique (74°).
Ce problème fera Tobjet d'un travail ultérieur, généralisation des Chapitres VII à XI de mon Mémoire pour N = 4 (Belge, Troisième Partie).
TABLE DES MATIÈRI
Introduction
PnÉLiiiiNAinBa
GÉNBBAUTÉS
