Q = AAD
et il vient la formule
( 5 ) (^/j I) = m 'fidj -+- m Ofc |x, tij ,
après départ du facteur AA, qui divise évidemment M. Introduisons les N — I variables Z/^, } A* = i, 2, . . ., N — i j, et les polynômes F(z) des 28** et 29^.
SUBSTITUTIONS CtlKMÏ^MOrE^v
Formons
dzk «>o
I ^ ÔXj
w ©0 dj -\- m 0\L pio Wy
dz,
sous lé bénéfice de la formule (5).
dry (?
0Zk
OZk ©0
Ç/tÇo ne dépend plus des z^ c'est-à-dire (28°) des x^^ et ne peut plus dépendre que des ûi.
On égalera donc la fraction irréductible ?/'.?o à la fraction irréductible Pi(u) :j9/„(w). De là
pi divise
9/^ ?/ —Pi fi y ?o — >/o/-
Les facteurs premiers de
changent tous avec le choix des Constantes numériques arbitraires Ci. Donc fi ne peut diviîser ^^ qu'en devenant uilc constante.
Les Xi ne figurent pas dans les ç^ et m = Oy ce qu'oïl d exclu (53**).
Bref, on ne peut faire r — r^ = 2i Rflisonnons de même
l8o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
sur les sept autres tableaux tels que j ç { ; il viendra renoncé suivant :
Aucun des huit tableaux |çj, ..., \r\\ n^a son rang égal à 2.
55** Nommons crémonique toute crémonienne où l'un au moins des huit entiers r^, . . ., r,,- est égal à i.
On n'a pas de piano le droit d'écrire, entre les huit entiers caractéristiques z'^, . . ., />,, d'une canonique, les quatre relations (44"? in fine)
Cela tient à ce que Ton a, dans la théorie du Chapitre IV et des précédents, admis (24") que tout tableau caractéristique a un rang au moins égal à 3. Chaque entier caractéristique d'une crémonique est à calculer, par suite, directement.
Sans restreindre la généralité (9°), il est licite de faire /y == I et (52**) m'= o. Les u ne figurent plus dans les ç^. Le point j' ne dépend que du point x.
Théorème. — On a r^ = N.
Il suffit de montrer que le déterminant N-aire | O/y |, formé parles N premières lignes du tableau jç{, est ^o. Reprenons le tableau (23**) correct
à 2N colonnes et N -f- 1 lignes. Formons un déterminant (2N)-aire ï en ajoutant, à (^, N — i lignes formées par des constantes arbitraires. Comme le rang de G est N-l- i, on a T :y<^ o. Or T contient | (f,j | en facteur, et | ©,-, | :^ o.
56** Le point x ne dépend que du point y.
lîrenons j- fixe et dyi= o et voyons quel degré d'indéter-
SUBSTITUTIONS CRÉMONIQUES» l8l
minatlon subsiste pour les déplacements infinitésimaux dx. On a
Or
ou
^ij\^o et Z = -^
O = dXQ =: — ^— >
mcpo
c'est-à-dire, toujours puisque | ç,y | :5e: o,
Poury donné, x est aussi donné. c. q. f. d.
Il résulte de là que les p ne figurent pas dans les rapports Xi = 0, : 0^5 ni, comme les 0/ sont des formes mixtes sans diviseur commun, dans les 0^; p' = o, /v = 1 .
Donc l'inverse d^une crénioniquc est aussi une crénionique.
D'ailleurs /«o = N (55°), car 1 0,, | ^ o.
07° On a ainsi
Il existe entre a; et^ une correspondance birationnelle. Autrement dit, y = ^[^^L ^ étant la substitution ponctuelle Gremona
(j z= I 5 cp(5)| avec (J-* z= I 5 ô(a)|.
Des théories bien connues apprennent que les systèmes (/(•,, l- = const. arbitr.)
^k,Oi{a:)—o et 2/,0,(j)=:o
sont homaloides. Voici ce que l'an entend par là : le^
l82 TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE V.
N — I équations
^^'pj?ji^)= o (p= I, 2, .,., N — l),
où les kpj sont des constantes arbitraires, jointes à la N-ième équation or^ = i, ont une seule solution x : i^ variable avec les /fpy; 2** telle que, pour un choix, approprié des /fpy, le point X vienne occuper une position quelconque dans l'espace. Les autres solutions soni fixes, ou s^ssujetèîes à rester sur certaines figures de l'espace.
Autrement dit (8**), il y a une seule solution p/'opre x.
Bailleurs, la soJution nxobile x dépend rationnellemei^è desN déterminants. (j\ — i)-aires, y fouri^is pa.r Iç tableau [/fpy] à N colonnes et N — ^i lignes.
Tout cela est bicA connu.
58** Une fois qu'on a choisi la substituûoin ponctuelle
voici conuAcnt s'acUéyeçg, la CQnsJtï:uction â^ la ^rémor nique s.
Reprenons les conditions de contact (26^)
A Uj — 2^/f /y, :^ (V == ^r^i^ij.
Comme on pourra prendre pour ^/ et y]/ les expressions
débarrassées, bien entendu, s'il y avait lieu, de leur p. g. c. d. ^,- a pour classe 1 et pour ordre (m — i)(i\ — 1). yj^ a
SUBSTITCTIONS
pour classe i et pour ordre {p p. g. c. d. abaisse éventuel
En elîet, si la classe s'abaiss plusj]ue les u^. Le tableau (i;
-V f (à^Nco
ne serait pas correct ( 20" ).
Pour le voir, remarquons q dans ^i et '.|/,- l'élément (y, v) 1 ranièlres X, (10" et 20"), mais d'entre eux, qui définissent le
59" Il viendra ainsi la foru nique s
V('«-')(N-0 On a vu, de plus, que
l n^ /■,. = /fl ,
Le tableau ] '.J'' \ contient le cl
Donc ;y = N et, de même, 7■^■ Restent encore indéterminéi
60°. La crémoniquc s qui vi autre chose que la substitution [ toulc ciénioiiique s'obtient e
d'cc/iangc ((i") avec une poiu
l8/i TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
La crémonique la plus simple est celle construite au 6**.
!/«> izz
Puis vient la substitution d'échange (0^),
z sv
Théorème. — Toute crémonienne qui laisse fixe tout point X de V espace est la crémonienne unité.
En effet, si ji = .x,, on est ramené au cas du 67°, sauf que la ponctuelle a se réduit à l'unité. ç,= a;,-, ^/= W/, ....
fil® Reprenons la crémonique s construite au 58® et cherchons-en les variétés primordiales.
^x Gsl évidemment constituée par les qo^~' éléments adhérents au point y, y étant l'image de x par la ponctuelle a. Y^ se réduit au point y. V^ est formée par les ao^~' plans v qui passent pary.
On voit qu'une crémonique est une crémonienne où une variété primordiale se réduit à un point (ou à un plan).
Quelle est i\?
Je remarque d'abord que /'^ > i, c'est-à-dire '/'^ = 3 (54^). En effet, si r^ = i , on a /^ =3 o, les x manquent dans les ^ et l'on a, en vertu des formules du 69®, ^pK*^) ^^ classe i. La crémonique est alors la coUinéation <.i,(6o°).
Puisque rç^3, la théorie des Chapitres précédents est applicable pour la construction de $„.
Y„ est déterminé par des équations primordiales au
nombre de
N4-1 — /-ç^N-hi — N = i.
L'équ\ition de Y„ est évidemment
SrBSTlTUTIOSS CRI
conséquence de
Par chaque point de Y„ passe (/ De ces plans tangents il y aura
r^ dépend de la nature des 0,-, r Par exemple pour N = 4, Y„ générale du réseau homaloïde
Si Y„ n'est pas développable^ il r^ = 4- Si Y„ est développablc, U gents, r^^ 3.
Maintenant existe-t-il, dans Vt homaloïde dont la surface générait sais rien et le problème parait très
62" Je n'insisterai plus sur les désormais se confond avec celle d^ biratîonnelles.
