SUR LES

Introduction.

I. Le mode de représentation des fonctions qui se présente le premier à l'esprit est le dé%-eloppement en séries de puissances. Vient ensuite la représentation par séries de polynômes, séries trigonométriques et, en général, par séries de fonctions quelconques.

La représentation par séries de polynômes est un cas particulier de la représentation par fractions continues ou par fractions ralionndhs déterminées.

EuLER *) a le premier développé une fonction en fraction continue. Lagr.wge **) puis les mathématiciens du XIX° siècle ont ensuite fait quelques pas dans cette voie difficile.

Une des tentatives les plus intéressantes a été celle de L.\guerre ***), qui s'est efforcé de développer en àactions continues les fonctions Z(j^ vérifiant l'équation différentielle:

où P, (2, n sont des polynômes quelconques en t;^.

Laguerre n'a donné que des indications générales sur la manière de traiter le problème; il n'a étudié complètement que certains cas très particuliers. Cependant sa méthode donne effectivement, comme je le

*) EuLER, Introductio in analysin infinitorum, t. I, pp. 368-573. **) Lagrange, Sur l'usage des fractions continues dans le calcul intégral (^Œuvres complètes, t. IV, pp. 301-332).

*•*) Laguerre, Œuvres, passim.

montrerai, le développement en fractions continues des fonctions ZÇ^) vérifiant l'équation :

où a, b, c, d, p, q sont des constantes quelconques et FI (;j) un polynôme quelconque en ;^.

Tous les développements donnés par Laguerre sont des cas particuliers de celui-ci.

2. Les fractions continues algébriques sont de formes très diverses et M. Padé *) s'est proposé d'en faire la classification. Il a publié à ce sujet un mémoire remarquable.

3. Développer une fûiiction en Jraciion continue, classer les fractions continues sont deux problèmes importants, mais qui n'épuisent pas le sujet. Non jnoins importante est la question de convergence et Halphen **), Stieltjes ***) ont montré quels beaux résultats cette étude pouvait donner.

4. Le principal objet de ce Mémoire est l'étude de la convergence. Suivant la classification de M. Padé, que je rappellerai brièvement,

je partage les fractions continues, qu'il appelle simples, en trois classes.

Je fixe complètement les conditions de convergence des fractions continues de la première classe. Ces conditions dépendent de la nature de la fonction développée en fractions continues. Les développements de celte classe convergent dans des cercles pouvant comprendre à leur intérieur les pôles de la fonction, mais limités aux points singuliers essentiels de la fonction.

Je détermine ensuite les conditions de convergence d'une classe très étendue de fractions continues de Li seconde classe. Les termes de trois réduites consécutives

•) Padé, Thèse.

**) Halphen, Traité des fonctions eliptiques, tome II, p. 575. **') Stieltjes, Recherches sur les fractions continues [Annales de la Faculté des Scieuces de Toulouse, tome VIII (1894), J: 1-122J.

d'une fraction continue quelconque de cette classe — et en général de toute fraction continue algébrique — satisfont en effet à une même loi de récurrence :

où j4, B, C sont des polynômes en ;;; fonctions du rang n des réduites.

Dans Je cas très étendu où A, B, C, sont des polynômes en ^^ et n [cas qui comprend les développements de la fonction Z(j^ vérifiant l'équation (i) et beaucoup d'autres infiniment plus généraux] je montre que la fraction continue représente — sauf cas particuliers — la jonction dans tout le plan de la variable x^, à l'exception des points situés sur des coupures qui s'introduisent d'elles-mêmes dans les calculs.

J'étends même les caractères de convergence des fractions continues de cette nature à des fractions continues qui ne rentrent pas dans la classification de M. Padé, mais qui ont été rencontrées cependant par divers mathématiciens, Laguerre par exemple.

Je montre enfin que les développements de cette dernière classe se rapportant à certaines fonctions possédant deux points singuliers qui peuvent être des points critiques algébriques ou logarithmiques convergent dans tout le plan de la variable, sauf sur la coupure rectiligne joignant ces deux points.

Dans une troisième partie, j'étudie les fractions continues dues à Gauss et à Lagrange et je montre qu'ordinairement elles représentent les fonctions dans tout le plan, sauf sur les coupures nécessaires à rendre ces fonctions uniformes.

Quelques-uns des résultats énoncés dans ce Mémoire ont été publiés déjà dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris *) et dans le Bulletin de la Société Mathématique de France **).

•) Tomes: CXXXIV (i" sem. 1902), pp. 1489-1491 ; CXXXVIII (i" sera. 1904), pp. 471-474; CXXXIX (2'' sem. 1904), pp. 846-848. **) Tome XXX (1902), pp. 28-56.