I. — Le tableau des fractions approchées

5. Soit Z(:^) une fonction développable dans le voisinage de la valeur zéro de la variable ;( en une série procédant suivant les puissances entières, positives et croissantes de cette variable et ne s'annulant pas pour ;(:^o:

Soit maintenant {p, </) un couple de nombres égaux ou inégaux, pris dans la suite 0, i, 2, 3, ... . Considérons l'ensemble des fractions rationnelles irréductibles dont le numérateur est au plus de degré p et le dénominateur au plus de degré q. Si l'on se propose de déterminer, parmi les fractions de cet ensemble, celles qui représentent le mieux la fonction Z(:^) dans le voisinage de la valeur zéro de ;^, c'est-à-dire celles qui, :^ étant infiniment petit, ditièrent de la fonction d'une quantité dont l'ordre infinitésimal soit supérieur ou au moins égal à celui que l'on obtient en employant une quelconque des autres fractions, on arrive à la proposition que voici, démontrée par M. Padé :

Parmi toutes les fractions rationnelles irréductibles dont les termes ont des degrés égaux au plus à p pour le numérateur, à q pour le dénominateur

(p 7^ (/) il en est une -jt- qui donne une approximation dont l'ordre est

supérieur à celui de l'approximation fournie par une quelconque des autres fractions.

Ainsi, à chaque couple {p, q) de nombres de la suite o, i, 2, 3, . . . correspond une fraction rationnelle approchée pour la fonction Z(:Q; ces fractions forment donc un ensemble complètement défini et se présentent comme les termes d'une suite à double entrée; pour cette raison, nous les écrirons, avec M. Padè, dans les cases d'un tableau rectangulaire, illimité à droite et en bas; les fractions d'une même file horizontale correspondront à une même valeur de q, celles d'une même file verticale à une même valeur de p. Dans la première file horizontale figurent ainsi les polynômes approchés successifs déduits de la série de puissances en-

tières qui représente Z (;;;):

Ul

comme on le voit, les indices supérieurs marquent les degrés en ^; dans

la fraction t?j-, U^ est de degré p et V\ est de degré q.

On peut déterminer comme il suit la fraction -~^ .

Si

on écrira

ou

et on identifiera les coefficients de

ce qui donnera un système à^ p -\- q équations linéaires déterminant les inconnues