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Pour montrer que toute sous-algèbre à trois générateurs Z:, 22, 3: est de classe 4,il suffit de montrerque tous les alternants delaforme fe; eus, se.) où les indices #, j, k, {, m prennent indépendamment les valeurs 1, 2, 3, sont nuls. Or, dans ce cas, le déterminant (5.3) est nul, puisque, si on le développe suivant les éléments de la première colonne, chaque mineur a au moins deux lignes égales. Par contre, il existe des sous-algèbres de L à quatre générateurs qui sont de classe 5 : ainsi

LA + Le, Lys La + Las Li, &] = —3X 5% 0.

Il est facile de calculer la dimension (sur Z;) de la sous-algébre engendrée par +, æ,, æ,, 3. Le module de ses éléments de degré 5 a (comme pour L) la dimension 1. Quant aux éléments de degré “4, ils constituent des modules dont les dimensions sont les mêmes que pour une algèbre de Lie libre à quatre générateurs, c’est-à-dire (pour les degrés 1, 2, 3, 4 respectivement) : 4, 0,20, Go:

Sinous définissons sur cette sous-algèbre de Lie une structure de groupe au moyen de la formule de Hausdorff, nous voyons que nous avons construit un groupe à quatre générateurs, d'ordre 5°, de classe 5, et tel que chacun de ses sous-groupes à trois générateurs soit de classe 4 au plus (l’ordre de chaque élément du groupe, sauf l'élément neutre, est 3). L'énoncé du théorème (4.6) se trouve ainsi légitimé.

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(Les utres d’articles en russe ont été traduits.)

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