QUE

torsion plus étendue que les groupes nilpotents : la catégorie des groupes sans torsion dont chaque sous-groupe à trois générateurs est nilpotent | cf. (4. 6)].

(4.12) Extension des résultats précédents aux N-groupes topologiques sans torsion. — Soit G un N-groupe sans torsion. Nous pouvons définir, comme précédemment, la suite rectifiante (H;) de G : c'est, parmi les suites centrales de G dont les quotients sont sans torsion, celle qui déeroîit le plus vite. Mais nous ne pouvons pas affirmer en général que la suite rectifiante soit séparante [cf. (3.11)]. Pour généraliser convenablement les résultats précédents, nous introduirons une catégorie de groupes topologiques, que nous appellerons N-groupes topologiques sans torsion. Par définition, un N-groupe topologique sans torsion, sera un groupe dont la topologie est définie en prenant comme système fondamental de voisinage de l’unité les sous-groupes d’une suite centrale séparante dont les quotients sont sans torsion. Tous les homomorphismes de groupes de cette catégorie seront supposés continus ; de même, une extension G’ d'un N-groupe topologique sans torsion G sera un groupe topologique contenant G comme sous-groupe topologique.

Définition (4.13). — Nous appellerons, suivant Malcev, R-groupe un N-groupe topologique sans torsion qui sera supposé, de plus, divisible et complet (par rapport à sa topologie).

Tuéorkme (4.14). — Soit G un N-groupe topologique sans torsion. Nous appellerons complétion de Malces de G une extension G qui devra étre un R-groupe et vérifier de plus la condition suivante : pour tout x€eG et tout voisinage M de l'unité dans G, il existe un entier n £ 0 tel que x"E GH (?*). La complétion de Malces d'un N-groupe topologique sans torsion existe, et est délernunée à un isomorphisme canonique près, conservant les éléments de G.

Démonstration. — Soit (H;) une suite centrale séparante dans G dont les quotients sont sans torsion et qui définit sa topologie. Construisons, conformément à (3.13) la (V,, Hj)-complétion de G, soit G, (H;). Alors, on démontre comme en (4.8) que G, muni de sa (H;)-topologie, est une complétion de Malcev de G. Soit G’ une autre complétion de Malcev de G, (K,) une suite centrale de G/ à quotients sans torsion et définissant sa topologie. Posons, pour tout #, K—GNK, : alors G'/K, s’identifie à une complétion de Malcev du groupe nilpotent sans torsion G/K;, et G’ est la limite projective de ses quotients G'/K;, puisqu'il est (K;)-complet. Or, (K;) et (H;) définissent la même topologie dans G; done, pour tout entier #, il existe un entier ; tel que H;CK;.

(25) Si l’on introduit une métrique convenable pour définir la topologie de G, cela revient à exiger que la distance de G à l’ensemble des puissances positives d’un élément quelconque de G soit nulle.

='QU rs

Alors l’homomorphisme naturel de G/H; sur G/K; se prolonge en un homomorphisme de la complétion de Malcev G/H; sur G'/K; (4.10). D'où, par composition, un homomorphisme 0; de G sur G//K;, tel que #;(H;)CK,. Les homomorphismes »; sont compatibles (c'est-à-dire forment un diagramme commutatif) avec les homomorphismes naturels des quotients G'/K; dont G' est la limite projective; par conséquent, peut être considéré comme le composé de l’homomorphisme naturel de G' sur G'/K; avec un homomorphisme + déterminé de G dans G', dont on vérifie immédiatement qu'il laisse invariant les éléments de G. Jusqu'à présent, nous avons seulement utilisé le fait que la (H;)-topologie de G est plus fine que sa (K;)-topologie. Nous pourrons construire de même l’homomorphisme Ÿ de G' dans G conservant les éléments de G, en utilisant le fait que la (K;)-topologie est plus fine que la (H;)-topologie. On démontre alors immédiatement, que © et L sont deux isomorphismes inverses l’un de l’autre, et que © est entierement déterminé par la condition de conserver les éléments

de G et d’être un homomorphisme (continu) de G dans G.

Les théorèmes (4.9) et (4.10) s'étendent sans difficulté à la catégorie des N-groupes topologiques sans torsion.

Remarquons que (4.14) nous permet de préciser la caractérisation (4.1) de l'algèbre de Lie libre complétée L(G) à partir du groupe libre G : L(G) est la complétion de Malcev de G topologisé par sa suite centrale descendante.

THéorëmE (4.19). — Tout R-groupe G est, canoniquement, porteur d’une structure d’algèbre de Lie sur le corps Q des nombres rationnels. La structure de groupe de G s'obtient à partir de sa structure d’algèbre de Lie par la formule de Hausdorff.

Démonstration. — Soit G un R-groupe, (H;) une suite centrale séparante dans G, dont les quotients sont sans torsion et qui définit sa topologie. Chaque sous-groupe H; est divisible (3.3c), et nous pouvons donc appliquer le théorème (4.3). Il nous reste donc seulement à démontrer que les opérations de l'algèbre de Lie sont indépendantes du choix de (H;). Soit donc (K;) une autre suite possédant les mèmes propriétés. Alors, la suite (H;NK;) définit encore la topologie de G; ses quotients sont sans torsion (si xEH;NK;, » <o, "EH, NK;4, on à ell;,, et xel;,,) et, par conséquent, divisibles. La remarque qui suit le corollaire (4.4) nous montre que les suites (H;) et(K;) définissent toutes deux la mème structure d’algèbre de Lie que la suite (HN K)).

Dans le cas des groupes nilpotents divisibles et sans torsion, on considère la topologie discrète, et l’on obtient canoniquement une structure d’algèbre de Lie nilpotente (et de même classe que le groupe).

Tout homomorphisme (continu) de R-groupes est en même temps un homomorphisme pour leurs structures d’algèbres de Lie (4.4). De même, la notion de sous-groupe (resp. sous-groupe invariant) fermé divisible et de sous-algèbre de Lie (resp idéal) fermée divisible coïncident [ef. (4.6)].

nr ve

Grâce à la complétion de Malcev, nous pouvons considérer tout N-groupe topologique sans torsion et en particulier, tout groupe nilpotent sans torsion, comme plongé canoniquement dans une algèbre de Lie sur le corps Q.

L'application du théorème (4.3) à des groupes nilpotents mixtes (c’està-dire possédant des éléments d'ordre fini et des éléments d'ordre infini), se heurte à une difficulté qui n'apparait pas dans le cas des groupes de torsion ou des groupes sans torsion : on aboutit à différentes structures d’anneaux de Lie, suivant la suite centrale considérée.

Nous pouvons toutefois caractériser les sous-groupes des groupes possédant une suite centrale qui vérifie les propriétés établies en (4.3). Bornons-nous aux groupes nilpotents.

Taéorème (4.16). — Pour qu'un groupe nilpotent G soit sous-groupe d’un groupe G' possédant une suite centrale finie (M,) telle que, pour tout i, HJH:.,

soit V;-divisible et sans N;-torsion, 1 faut et il suffit que, pour tout 1, le Ü°"° sousgroupe G; de la suite centrale descendante de G soit sans V;-torsion.

Démonstration. — Soit H;=HNG. Alors, H; est sans V;-torsion ainsi que G;CH;. Réciproquement, si G; est sans V;-torsion, le théorème (3.2) nous permet de construire canoniquement une suite centrale finie (H;) dans G, telle que H;yH;,, soit sans V;-torsion. Il nous suffit alors de former (3.6) une (V;, H;)-complétion de G pour nous placer dans les conditions de l'énoncé (4.3).

La difficulté indiquée provient de ce qu’il n’est pas possible de définir canoniquement une suite centrale finie (K;) dont les quotients sont non seulement sans V;-torsion, mais aussi V;-divisibles, même en postulant l’existence d’une telle suite.

Exemple. — Prenons le groupe G défini sur le produit cartésien Z<XZXQ,XT,

par la multiplication

(p;°9,r,s)(p, g,r,s)= (pp, gEg,rn+r=plq;s#4s!);

Z désigne comme précédemment l’anneau des entiers rationnels, Q, Panneau : m È Se des nombres rationnels de la forme Sa (M, nez), et enfin, T, le groupe additif

quotient Q,/Z. Nous désignons par r l’image de ré Q, par l’homomorphisme canonique de Q, sur T..

G est un groupe nilpotent de classe 2. Posons H,— G, et prenons pour H, l’ensemble des éléments de la forme (0,0,r,0). Alors, toutes les conditions du théorème (4.3) sont remplies pour la suite (H;). La structure d’algèbre de Lie ainsi définie est la suivante :

si æ—(p,q,r,s), æ=(pgsrss),

alors RAP AE ne AOC, V1) et

era Cr JOLI (pq i D En ‘).

Or, nous définissons un automorphisme ® de G& en posant

g(æ)=(p; gr; Ss+Tr).

Si nous posons done K, = G, K;,— o(H,), la suite (K;) vérifie tout comme (CH) les propriétés de (4.3). Mais cela nous conduit à une nouvelle addition sur G :

aa=e(g(e)+g (a)

2q + gp [pq + qP'\ = (> -p,qg+g,;r+r (ER), Ne LEE k æ) ):

Onabienx@Px'£<x+ax si pq + qp' est un entier impair.

Dans le cas général, j'ignore si deux structures d’anneaux de Lie définies sur un groupe nilpotent G par le procédé du théorème (4.3) sont toujours transformées l'une en l’autre par un automorphisme de G (comme dans l'exemple précédent).

(4.19) Complétion de Malces des groupes sans P-torsion. — La théorie de la complétion de Malcev que nous avons exposée dans le cas le plus important, celui des groupes sans torsion, peut s’étendre à des catégories plus vastes de groupes nilpotents ou de N-groupes topologiques. Nos démonstrations reposent en effet, sur les résultats du paragraphe 3, et particulièrement sur le lemme (3.34). Nous pouvons donc considérer la catégorie des groupes nilpotents sans P-torsion, P désignant un ensemble quelconque de nombres premiers. Nous définirons la suite P-rectifiante d'un groupe nilpotent sans . P-torsion comme la suite centrale décroissant le plus vite parmi celles dont les quotients successifs sont sans P-torsion. Une P-complétion de Malces d’un groupe nilpotent sans P-torsion G, sera une extension G de G possédant les propriétés suivantes : G est un groupe nilpotent sans P-torsion et P-divisible et, pour tout xe G, ilexiste un entier n|P tel que "€ G. On définira de même la P-complétion de Malcev d’un N-groupe topologique complet dont la topologie est définie par une suite centrale séparante dont les quotients successifs sont sans P-torsion. Les théorèmes (4.8) à (4.14) s'étendent alors sans modification notable des démonstrations. Les résultats nouveaux ainsi démontrés ne semblent pas présenter pour l'instant beaucoup d'intérêt, mais ils montrent tout au moins l'avantage que présente l'exposé de la complétion de Malcev sans faire appel à la théorie des groupes de Lie.

Remarque (4.18). — Il est possible d'exposer plus simplement que nous ne

AS Le

l'avons fait la théorie de l’inversion de la formule de Hausdorff pour des catégories de groupes plus restreintes : les groupes nilpotents de classe <n, sans V,-torsion et V,-divisibles. La variante (1. 7b) du lemme (1.6) correspond à ce cas. La simplification annoncée provient de ce qu’on peut alors éviter l'usage du théorème (3.6). Considérons, en effet, un groupe libre G, de générateurs indépendants (æ,)e, et sa complétion de Malcev L(G) lorsqu'on considère G comme un N-groupe sans torsion topologisé par sa suite centrale descendante (4.1). Considérons les sous-groupes l; de L(G) engendrés par les éléments &/°7 ; alors, tous les l';; sont des groupes libres engendrés par les générateurs indépendants x”, et leur réunion Fest une V,-complétion de Malcev de G, considéré comme N-groupe sans V,-torsion topologisé par sa suite centrale descendante (4.17). On voit ainsi comment tout homomorphisme f de G dans un groupe nilpotent H, V,-divisible et sans V,-torsion peut se prolonger en un homomorphisme unique g de F dans H : il suffira de prolonger successivement / aux groupes l;. Si l’on suppose de plus que Hest de classe » au plus, un homomorphisme g de F sur H permet d'établir la structure de Q,-algèbre de Lie de H[cf.(4.5)].

D. CONSTRUCTION D'UN GROUPE PARTICULIER. — Nous voulons construire une algèbre de Lie sur le corps Z,; des entiers mod5, qui soit de classe 5 et dont toutes les sous-algèbres à trois générateurs soient de classe 2 4.

Considérons d’abord l’algèbre de Lie libre L, engendrée sur le corps Z; par les cinq générateurs indépendants +,, æ,, æ,, æ,, æ,. Nous noterons généralement [y4, Y2, ..., y,] l’alternant par rapport à y, ..., y,€L, défini par la relation de récurrence :

Las eee Jon Ps] = TT +2 Job Ps.

Nous savons que L, est une algèbre de Lie graduée, et même multigraduée, si l’on considère les degrés par rapport à chacun des générateurs.

Les éléments multilinéaires de degré total 5 (c’est-à-dire homogènes de degré 1 par rapport à chacun des générateurs) constituent, d’après les formules de Witt [33], un Z;-module de dimension 24. Or, chacun d’eux est égal à une combinaison linéaire des éléments [æ,, &;, æ;, æ,, æ,], où (4, j, k, D) désigne l’une des 24 permutations des indices (2, 3, 4, 5). Ces éléments sont donc linéairement indépendants sur Z;.

Nous allons maintenant prendre Le quotient L de L, par l’idéal engendré par :

1° tous les éléments de degré total = 6;

2° tous les éléments de degré total 5 qui sont de degré au moins égal à 2 par rapport à l’un des générateurs x;;

3° tous les éléments multilinéaires de degré total 5 qui sont de la forme

[æs, Lo, Lys Li æs | su Ec| 1» LG) Lo(3)) Lou) Lots) |:

où co désigne une permutation des indices 2, 3, 4, 5, ete, sa signature.

RER Te

Pour ne pas alourdir les notations, nous désignerons désormais par x; l’image canonique dans L du générateur précédemment noté x: de [, (qui n'interviendra plus).

On voit facilement que L est encore une algèbre multigraduée par rapport aux générateurs æ;. C’est une algèbre de classe 5, puisque

PRES a ere eos

de plus, tout alternant de degré 5 est un multiple de X. Pour calculer [as Vos Vas Vas V3 |, où y: € L, nous pouvons remplacer chaque y; par sa composante homogène de degré total 1. Posons donc

M2 rot; (TES a Er); le calcul de [y4, Yo, Ya, Vas 3] se ramëne alors au calcul des alternants

La, &, œ œn mnt, où (6,7, kdl, m) représente une ‘permutation des indices (1, 2, 3, 4, 5). D’après la construction de L, nous avons :

(5.1) PRE RE Sd

où € désigne la signature de la permutation (5, j, k, l) des indices (2, 3, 4, 5). Nous obtenons ensuite :

(S Li, Lj, Tr, a] = — er Li, Lj, Ex, 72] Ur EX, (5.2) RAR RD C7 er 00 PE) V2 ne Haas al = fers a, late

et de même :

rss re ee} 0:

Les formules (5.1)et(5.2)nous permettent de calculer[ y:,y:,33,7:,3]—AX, le coefficient À€Z, étant égal au déterminant :

in io else oi so ss or GC»;

(5.3) D CC 0 DCR