SUR

LES INVARIANTS DIFFÉRENTIELS

Exposé du sujet.

Parmi les équations diflérentielles qui s'offrent dans les applications usuelles de l'Analyse à la Géométrie plane, il en est qui se reproduisent sans altération quand on effectue sur les variables une substitution homographique quelconque: telles sont les équations différentielles, en coordonnées rectilignes, des lignes droites» des coniques, etc.... Je nomme invariant différentiel le premier membre d'une telle équation.

Cest la Géométrie qui fournit ainsi les premiers exemples d'invariants différentiel ; c'est à l'Algèbre qu'il appartient d'en coordonner la théorie par la résolution de ce problème : Former, sans en omettre aucun, les invariants différentiels de chaque ordre. Résoudre cette question, tel est l'objet de cette thèse.

De même que dans la théorie des formes, on peut distinguer les invariants différentiels en invariants relatifs et absolus. Les premiers sont des fonctions qu'une substitution reproduit, multipliées par un facteur, les seconds sont des fonctions entièrement inaltérables. De même aussi que dans la théorie des formes, on obtient un invariant absolu

par ie quotient de deux iuvarianis relatifs. Ces définitions posées, voici les résultats que j'ai obtenus :

Au-dessous du septième ordre, il n* existe que deux invariants différentiels relatifs y et aucun invariant absolu.

Pour le septième ordre ^ il existe un invariant absolu. De même, pour chaque ordre au-dessus du septième, il existe un invariant absolu nom^eau.

Toute équation différentielle invariante, d^ ordre égal ou supérieur à sept, consiste en une relation entre ces invariants absolus.

Les deux invariants qui seuls existent au-dessous du septième ordre sont précisément ceux que je rappelais plus haut; égalés à zéro, ils fournissent, Tun l'équation différentielle des lignes droites, l'autre celle des coniques. Pour pouvoir s'élever a la théorie générale, il manquait uniquement un invariant nouveau, l'invariant fondamental du septième ordre. C'est ce dernier qui, joint aux précédents, fournit le véritable point de départ, d'où l'on s'achemine aisément à la connaissance de tous les autres; aussi en ai-je fait une étude toute spéciale , en le définissant de deux manières : par des considérations géométriques d'abord, puis algébriquement. Voici un exposé succinct des considérations géométriques.

Par huit points arbitrairement donnés dans un plan, passe un faisceau de courbes du troisième degré ou cubiques. Toutes ces courbes ont, comme on sait, un neuvième point commun. Si donc, en chaque point m d'une courbe plane (/tz), on imagine les cubiques ayant, en ce point, avec cette courbe, des contacts du septième ordre, toutes les cubiques relatives à un même point m ont un neuvième point commun n; de la sorte, à chaque point m de la courbe {m) correspond dans le plan un point n. Or il suffît que les éléments différentiels de la courbe en un point m satisfassent à une seule condition pour que le point correspondant n coïncide avec m. Disons qu'alors m est un point de coïncidence. Sur une courbe quelconque, il y a donc généralement des points de coïncidence. Ce sont ceux en chacun desquels une certaipe équation différentielle est satisfaite. Mais, si l'on intègre cette équation, on aura une courbe dont tous les points sont des points de coïncidence. L'équation dont il s'agit est évidemment du septième ordre ; elle exprime une propriété projective, dans la définition de laquelle

n'intervient aucune figure donnée. Son premier membre est donc un invariant différentiel. C'est l'invariant fondamental du septième ordre. La courbe dont tous les points sont des points de coïncidence fournit rintégrale de cet invariant.

C'est par cette conception géométrique que je définis d'abord le nouvel invariant. Dans un premier paragraphe, j'étudie quelques propriétés des points de coiDcidence» et j*en déduis l'expression analytique de cet invariant. Je me fonde, à cet effet, sur la représentation des cubiques par les fonctions elliptiques, et je rappelle tout d'abord les principes de ce mode de représentation.

Dans un deuxième paragraphe, je cherche l'intégrale de l'équation obtenue en égalant à zéro cet invariant. A cet effet, je substitue à l'équation un système d'équations du premier ordre, tiré de considérations géométriques. Je parviens ainsi au résultat suivant : Les courbes dont tous les points sont des points de coïncidence sont les transformées homographiques de la spirale logarithmique qui coupe ses rayons sous l'angle de 3o degrés.

Dans un troisième paragraphe, je montre que la connaissance de l'invariant fondamental du septième ordre, dont je viens de parler, et de son intégrale conduit a celle de tous les invariants jusqu'au huitième ordre exclusivement.

Le paragraphe suivant est consacré à une étude nouvelle et algébrique des mêmes fonctions.

Puis, dans le cinquième paragraphe, j'aborde la théorie des invariants d'ordre supérieur, au sujet desquels j'établis les résultats rappelés plus haut. J'obtiens, en outre, celte proposition : Vintégration dune équation différentielle iwariante d'ordre (8 -^ n) se ramène à l'intégration successive d'une équation d'ordre n et d'une équation invariante du huitième ordre.

Enfin , dans le sixième paragraphe , je fais une application de la théorie des invariants du huitième et du neuvième ordre, en formant V équation différentielle du huitième ordre des cubiques ayant un invariant absolu donné. Je termine en montrant que le principe de dualité s'applique à cette théorie avec une extrême simplicité, et je forme, en l'appliquant, l'équation différentielle du neuvième ordre des courbes de troisième classe et du sixième degré, l'équation du huitième ordre

de ces mêmes courbes dont riovariant absolu est donnét eofin celle des courbes de troisième classe et du quatrième degré.

I. — Propriétés des points de coïncidence. Leur équation différentielle.

1 . L'existence et les propriétés despoints de coïncidence, définies dans Texposé ci-dessus 9 apparaissent comme des conséquences immédiates de la représentation des courbes du troisième degré ou cubiques fSLV les fonctions doublement périodiques. Je vais rappeler tout d*abord ce mode de représentation, imaginé par M. Clebsch, ensuivant, à cet effet, une marche indiquée par M. Hermite (*), et dont voici le point de départ :

Si les coordonnées d'un point mobile sont des fonctions doublement périodiques d'un même argument, et que ces fonctions aient les mêmes périodes et les mêmes infinis, le lieu de ce point est une courbe algébrique dont le degré est égal au nombre des infinis de ces fonctions dans unpa^ rallélo gramme des périodes.

Cette proposition se démontre comme il suit. Soient 2K et 21K' les périodes. Posons, suivant Tusage,

Suivant la propriété fondamentale des fonctions doublement périodiques, et relative à leur décomposition en éléments simples, due à M. Hermite , les coordonnées du point mobile peuvent être mises sous les formes suivantes :

Les constantes a, |3, 7, ... sont les infinis des deux fonctions; les

(') Journal de Borchnrclt, t. 82. Ce mode de représentation a été récemment généralisé par M. Lindemann, ibid., t. 84.

( 7) constantes a, 6» c, . . . , a\ h\ c\ ...» qui sont leurs résidus» satisfont aux relations

Les valeurs de Targument t qui correspondent aux points d'intersection d'une droite avec la courbe, lieu du point mobile, sont les zéros d^une fonction doublement périodique (Aa7-h A'/-hB) dont les périodes et les inûnis sont les mêmes que pour x et pour y. Dans un parallélogramme des périodes , cette fonction a autant de zéros que d'infinis. D'ailleurs, deux valeurs de Targument qui ne difierent entre elles que par des multiples des périodes correspondent à un seul et même point; donc, sur une droite quelconque, le lieu possède un nombre de points égal k celui des infinis a, /3, y, . . .; ce qui démontre le théorème.

Voici maintenant une conséquence de cette analyse. Je fais une transformation houiographique, en prenant pour nouvelles coordonnées X, Y, savoir :

"~ A;r-f- A'^-f-B * ~ Aor-f-A'/H-B

Les quantités X, Y sont deux fonctions doublement périodiques de /, aux périodes 2K, :2iK', et dont les infinis, différents de a, jS, 7, .... sont en même nombre que ces derniers; donc X et Y peuvent se mettre sous la même forme que x et 7, sauf le changement des constantes u, a, . • ., a, ... en d'autres. La fonction Z n'a pas changé.

D'où cette conclusion : Le mode de représentation (i) est projectifet en outre la quantité q ou, ce qui res^ient au même, le rapport des périodes, est un invariant absolu.

2. Occupons-nous tout spécialement du cas où les infinis or, jS, 7 sont au nombre de trois. La courbe (1) est une cubique. Les équations contiennent en apparence treize constantes; mais il est aisé de voir qu'en réalité elle en contient seulement neuf.

Une cubique est déterminée par neuf conditions. On est donc fondé à penser que les équations (i) peuvent représenter une cubique quel-

conque. Pour s'en convaincre, il suffit d'étudier quelques propriétés delà courbe (i).

3. D'après un théorème dû à M. Liouville, la somme des zéros que possède une fonction doublement périodique dans un parallélogramme des périodes est égale a la somme de ses infinis à l'intérieur du même contour. Ce théorème, appliqué k la fonction ( A^ -4- A'j-h- B), conduit k cette conséquence :

Les trois valeurs de V argument qui correspondent aux points d'intersection de la cubique ( i ) ai^ec une droite ont pour somme (a -f- /3 H- 7), à des multiples près des périodes, et réciproquement.

D'où ces deux corollaires :

Les neuf valeurs de l'argument contenues dans la formule, oùp etp' sont des entiers,

répondent à des points d'inflexion.

D^ un point quelconque de la courbe, on peut mener quatre droites qui lui soient tangentes en d'autres points. Si t est l'argument du premier point, les quatre points de contact ont pour arguments les quatre valeurs de

^ — ^ h/?K4-//iK'.

L'un ou l'autre de ces deux corollaires prouve que la cubique (1) est de sixième classe. Pour prouver la réciproque, je prends un cas particulier des équations (i), et j'écris

Je vais éliminer t entre ces deux équations. Suivant des notations très-connues, qu'il est inutile de rappeler, on a

(9) Portant ces expressions dans (3) et substituant ensuite des fonctions elliptiques» j'ai

d ,, ^ , dn/

X ~- — [ log sn / — log en / 1 ~ >

(tl ^ ^ & nul eut

d ,. , sn/dn/

r = r- log en / 1 ~ >

-^ dl^ ^ eut

d*où résulte

équation dans laquelle k désigne le module des fonctions elliptiques, savoir

Je rends maintenant Téquation de la courbe homogène, par Tinlro* duction d'une coordonnées. Elle devient

Il est visible que Téquation d'une cubique se réduit à pareille forme quand on prend un triangle de référence convenable, savoir le sommet x = o, y = o en un point d'inflexion, et les deux autres aux points de contact de deux des tangentes que l'on peut mener à la courbe par ce point d'inflexion. Un pareil triangle existe toujours si la courbe est de sixième classe, et dans ce cas seulement; donc toute cubique de sixième classe peut être représentée par les équations (3), où a?, j^ sont le rapport de deux trinômes du premier degré a un autre pareil trinôme, et enfin, suivant la remarque du n^ 1, toute cubique de sùrième classe peut être représentée par les équations ( i ) .

4. Au lieu déconsidérer, comme au n"* 1, une fonction linéaire de xeiy^ envisageons une fonction du troisième degré; c'est une fonction doublement périodique, dont les infinis a, |3, y sont triples. Le théorème de M. Liouville conduit alors à ces conséquences :

La somme des arguments qui répondent aux neuf points d'intersection de la cubique (i) açec une autre cubique ne diffère rfc 3 (a -f- ^ H- y ) que par des multiples des périodes.

Si^ en un point d^ argument ty on mène le faisceau des ^cubiques ayant

( ïo )

avec la courbe ( i ) , en ce point j des contacts du septième ordre, toutes ces cubiques passent aussi au point dont V argument est 3(a -I- |3 -I- 7) — 8/. En chojcun des points dont V argument est compris dans la formule

«-f-(3H-y ^ 2/?K-i-2p'iK'

il existe un faisceau de cubiques ayant avec la cubique (i) des contacts du huitième ordre en ce point. Chacun de ces points est un point de coïncidence.

Voici donc prouvée l'existence, sur les cubiques, des points de coincidence. Leur nombre est seulement 72; car les valeurs dep^p' multiples de 3, prises simultanément, conduiraient aux points d'inflexion. Dans un Mémoire antérieur, j'étais déjà parvenu à trouver par une voie très-différente ce même résultat (*).

Si, conformément au second corollaire du n^ 3, on calcule l'argument du point où la cubique (i) est rencontrée de nouveau par la tangente en un point de coïncidence, on vérifie sans peine que ce nouveau point est aussi un point de coïncidence, et l'on trouve cette nouvelle propriété :

Sur une cubique, les points de coïncidence forment, par groupes de trois, les sommets de triangles à la fois inscrits et circonscrits à la courbe ( ^ ) .

5. Voici maintenant une nouvelle propriété des points de coïncidence, qui, s'appliquant à une courbe quelconque, va permettre de former l'équation qui caractérise ces points.

Soient U, V les premiers membres des équations de deux cubiques ayant en m un contact du huitième ordre. Parmi les cubiques du fais-

(') Journal de Mai/tématiques, 3' série, t. U, p. 376.

(') M. Picquel a, de son côté, trouvé cette curieuse propriété, et Ta communiquée verbalement à la Société mathématique dans la séance du 9 janvier 1878. M. Mannheim a donné, au sujet des triangles inscrits et circonscrits à une cubique ou à une courbe de troisième classe, deux théorèmes remarquables. [Foir Pongelbt, Applications d^ Analyse et de Géométrie, t. II, p. i65 ; et Journal de Mathématiques ^ a* série, t. U, p. 198.) M. Clebsch les a considérés dans un cas particulier. ( P''oir Lindeuann, Forlesungen von Clebsch, p. 588 ) ; M. Âppell a, de son côté, étudié les polygones à la fois inscrits et circonscrits aux courbes du troisième degré, dans un Mémoire inédit, que M. Bouquet a bien voulu me communiquer.

ceau U H- XV, il en est une W douée d'un point double en m. L'une des branches de W a, en m, un contact du septième ordre avec chaqu^^ cubique du faisceau.

Réciproquement, soit W une cubique ayant un point double m, et soit aussi U une cubique quelconque ayant, en m, un contact du septième ordre avec une des branches de W. Les neuf points d'intersection de U et d'une cubique quelconque du faisceau U 4- X W sont confondus en m\ donc, sur U, m est un point de coïncidence; donc :

En un point de coïncidence m d'une courbe quelconque, il existe une cubique ayant m pour point double^ et dont une des branches a avec la courbe 9 en ce point , un contact du septième ordre. Et réciproquement.

6. Soient 07,^ les coordonnées d'un point m. Désignant par a une constante ne dépendant que du point m, et que je préciserai tout à l'heure, je représente les coordonnées d'un autre point quelconque m' par x-\-^eiy-hin-\- a§. Le premier membre de l'équation d'une cubique ayant m pour point double» et lieu du point m', est de la forme

( 4 ) w = A^^ -4- B5» -f- C$7î -f- D^'vî -h Eyj' -+- F^rj' 4- Gt,K

Soit maintenant une courbe (m), dont m soit un point de coïncidence, et soit W la cubique dont une des branches en ma, avec (m), un contact du septième ordre. Neuf intersections des deux courbes sont confondues en m. Si donc m', au lieu d'être sur W, est pris sur {m) à une distance infiniment petite du premier ordre de m, W doit se réduire au neuvième ordre. On exprimera donc que m est, sur (m), un point de coïncidence, en substituant dans W à l'ordonnée de m' son développement suivant les puissances ascendantes de Taccroissement de son abscisse, et en annulant tous les termes jusqu'au huitième ordre inclusivement. Le premier terme étant du deuxième ordre, on aura ainsi sept équations linéaires et homogènes entre les sept coeflicients de W. L'élimination de ces coefScients conduira à Téquation cherchée.

Pour abréger l'écriture, je pose

1 , 2 . 3 . . . /r dx*

Je fais, en outre, âr = a,. Do la sorte, suivant la série deTaylor, on a

Je substitue cette expression de v] dans celle de W, en ordonnant suivant les puissances croissantes de ^, et j'égale à zéro successivement chaque coefficient. Le terme Â^^ étant seul du deuxième ordre, A est nul. Secondement, le coefficient B ne figure que dans le terme du troisième ordre. Laissant de côté ce terme, j'élimine ainsi B. L*équation de condition a donc pour premier membre le déterminant des coefficients des termes depuis le quatrième ordre jusqu'au huitième. J'ai successivement

In

a\'c,*+ laiftil^-^ 2a, «4

l'-h la^a^ I $'-f-2rt,(7«

al

Yi' rrz

-\-al

da\a,

Le déterminant est formé par les coefficients de ces équations. On remarquera que, dans la dernière ligne, ^a se trouve en facteur et doit être supprimé. Cette circonstance est d'accord avec ce fait, déjà remarqué d'ailleurs (n° 4), que les points d'inflexion se présentent, comme solution étrangère, dans la recherche des points de coïncidence. En second lieu, on simplifie un peu le déterminant en remplaçant la ligne correspondant à ri^ par celle qui correspondrait à la combinaison {ïi^ — 202!^ tq). On peut donc écrire comme il suit le déterminant cherché :

Al

Oa

ai ai

o al

^a^at al

2a,ûrk-i-aî

^a^ai-i-al 2^,^»+ 20^0^

Sa, as

Zal H- 3ata4

7. Il y a lieu de faire une observation au sujet de Téquatioa A == o. En chaque point d'une courbe il existe une cubique ayant, en ce point, avec la courbe un contact du huitième ordre» disons une cubique qsculatrice. Que devient cette cubique en un point pour lequel l'équation A = o est satisfaite? Soit U le premier membre de Téquation de cette cubique. Avec les notations précédentes» on peut Técrire

et W| désigne une expression de la même forme que W, mais k coefficients encore inconnus. Ces coefficients» ainsi que H et J, se déterminent par la condition qu'après la même substitution que ci-dessus tous les termes disparaissent jusqu'au huitième ordre» comme précé* demment. On voit d'abord que H est nul; secondement» J et les coefficients de W| sont proportionnels aux déterminants formés avec le même tableau que ci-dessus, complété .par une ligne» le développement de «;. Pour obtenir!» c'est cette ligne qu'il faut supprimer; donc» si A est nul» J l'est aussi; donc U coïncide avec W, Ainsi :

En un point de coïncidence d'une courbe^ la cubique osculatrice de cette courbe y possède un point double.

Circonstance curieuse : il n'y a plus en un pareil point de branche de cubique se confondant avec la courbe jusqu'au huitième ordre inclusivement» comme cela arrive en tout autre point. Cette circonstance se présentera pour chaque point des courbes intégrales de l'équation A = o.

En utilisant un résultat acquis dans un Mémoire déjà cité ( ')» on dé* duit de la composition de A» et sans aucun calcul» cette conséquence : Les points de coïncidence d'une courbe de degré m sont les intersections de cette courbe et d'une autre dont le degré est ( 3ai?i -- 72 ) .

II. — Intégration de l'équation différentielle des points de coïncidence.

8. L'équation A = o est du septième ordre. Elle ne contient ni a?» ni y, ni y. Elle pourrait donc être abaissée au quatrième ordre. L'inté-

( ' ) Journal de Mathématiques^ 3* série, t. U.

gration directe en parail cependant trop malaisée pour être entreprise; aussi vais-je y substituer un système d'équations du premier ordre déduit des considérations précédentes.

Soit (m) la courbe dont l'intégrale de A = o fournit l'équation. D'nprës le u^ 6, en chaque point m de {m) il existe une cubique W dont m est point double, et dont une branche a, en m, un contact du septième ordre avec (m). Les coefficients de l'équalion de W varient avec m; je les supposerai des fonctions d'un mèmeparamètre, et je chercherai k déterminer ces fonctions de telle sorte que l'enveloppe de W ait constamment avec une des branches de l'enveloppée, en son point double, un contact du septième ordre. Cela fait, la courbe {m) sera cette enveloppe.

Désignons par W la dérivée du premier membre de l'équation de W, prise par rapport au paramètre; je dis que les conditions du problème s'expriment ainsi : Les deux cubiques W et W (c'est-a-dire celles dont Téquation est W = o) ont leurs neuf points d^ intersection confondus en m.

Soit, en effet, W| la cubique répondant à m^ , infiniment voisin de m. Une branche de W en m, une branche de W, en m< ont, avec (m), des contacts du septième ordre. Ces deux branches ont donc entre elles sept intersections infiniment voisines de m. En outre, la seconde branche de W et la première de W| ont entre elles une intersection infiniment voisine de m, et de même la seconde branche de W< et la première de W; donc les neuf points d'intersection de W et de W| sont infiniment voisins de m\ donc les neuf points communs à W eià W'sont en m.

On peut encore raisonner ainsi : la quantité W, sous la forme (4) et développée suivant les puissances de ^, commence, comme on l'a vu, par un terme du neuvième ordre. A la place de Ç mettons (a?, — x) pour introduire l'abscisse x^ du point m|. On a donc

donc la cubique dont l'équation est-^ = o, x^ et/< étant les coor-

données courantes, à huit interseclionsavec (m), réunies en m. D*ailleurs on verra dans un instant qu'elle ne peut avoir m pour point double : donc elle a un contact du septième ordre avec (m), et, par suite aussi, avec une des branches de W; par suite, ses neuf intersections avec W sont réunies en m.

9. En désignant par Â, Ai , A2 les premiers membres des équations de trois droites, on peut réduire, comme on sait, l'équation d'une cubique ayant les droites A et A« pour tangentes au point double à la forme

(5) o=rW±=4A»-4-5A;~ loAA.A,,

dans laquelle les coefficients numériques, qui sont à volonté, ont été choisis de manière à simplifier le résultat définitif. Je poserai

A = /la: 4- by -h c, A, = axX -f- bxy -f- c*,, A: = CjX -f b^y -f- c^.

Les inconnues seront les neuf quantités a, 6, . . ., c^^ ou plutôt leurs rapports. Je dénoterai par des accents leurs dérivées par rapport au paramètre, que je laisse, pour le moment, indéterminé, et de même par A', A'j , A'a les quantités {a'x -f- by 4- c'), . • • . De (5) je déduis

(6) W = A'(i2A'- ioA.A,)-4-A',(i5A; - loAA,)- loA'^AA,.

L'une des droites A ou A, doit être tangente à l'enveloppe de W au point double. Je supposerai que ce soit A. La droite A' = o doit alors passer par ce point, intersection de A|, A. Il en résulte que la cubique W = o ne peut avoir ce point pour point double, ainsi que je l'ai dit tout à l'heure. Pour qu'il en fût ainsi, il faudrait, en effet, que la droite A'^ = o passât aussi en ce point, ce qui ne peut avoir lieu constamment, les droites A et Ai ayant nécessairement des enveloppes distinctes.

10. La courbe (5) étant unicursale, j'exprime les coordonnées d'un quelconque de ses points en fonction rationnelle d'un paramètre^ savoir

lo/^ ^ 10/ "~4^'-*-5'

Les valeurs o et <x de ce paramètre / correspondent aux branches du point double, la première h la branche qui touche A. Je formerai Téquation en / qui donne les points communs à W et W. Comme W passe en m, cette équation a déjà une racine nulle et une racine infinie» et se réduit au septième degré. On devra annuler les sept racines qui subsistent, et, à cet effet, égaler à zéro successivement les coefficients des divers termes, sauf le terme du septième degré.

Pour former l'équation en t, il faut exprimer A', A'^, A^ en fonction de A, Ai, Aa sous forme homogène, et substituer ensuite à ces dernières quantités les valeurs proportionnelles ci-dessus. Or on a

(tx

rî,

fr,

Substituant cette expression des A', je mets W, sauf un facteur, sous la forme d'un déterminant dont j'écris seulement les deux premières colonnes, les deux dernières se déduisant de la deuxième par le chan-

gement des a successivement en 6 et c :

o a'fiîA'— loAiA,) -+-a, (i5A; A a

Al Qx

loAjA) — lOfl', AA| ...

Substituant aux A les valeurs proportionnelles, et supprimant à la première ligne un factetir commun loo/, j'obtiens finalement

lOt

a!(St^ — 5) -4- 2rf./(5 - a/») — loa', P,

a (il

4 /• 4- 5 Ûa

11. Tel est le premier membre de l'équation en /. Je forme d'abord les coefficients des termes de degrés o, 6, 3. J'emploie la notation abrégée

(afbc,)=z

a' b' c' abc

Les termes susdils, égalés à zéro, donnent successivement les trois équations

Ces équations expriment une propriété du déplacement du triangle AA« A2 : chaque sommet du triangle a pour lieu l'enveloppe d'un des côtés qui y aboutissent.

Les termes de degré i et 4 conduisent à

(B) [a'bc,) = [clM) = [dtb.c,]\

et ceux de degré 2 et 5 aux équations

(9) (a' ft, Cn] = [d, 6ac) = [d^ 6c, ).

Les équations (7), (8), (9) constituent le système à intégrer. On y remarquera qu'il n'est pas altéré par une permutation circulaire des indices; donc : chaque sommet du triangle décrit en même temps une courbe intégrale de V équation A = o.

12. Les équations (7) peuvent être remplacées par les suivantes, oii fjLi, ..., Va sont de nouvelles inconnues :

a = V ai -h [i dj y b =v b^-h [Ji b\y c =v d-h [J. c\t a, rr: v,a -4- fjiia'. A, = Vi 6 -+- fx, 6' , Ci = v,c -f- /!x,c',

«I ~ Vjû, H- fXaa',2, b2= V,6, -î- /XjA',> C,= V,C, -h [XiC\.

En vertu de ces nouvelles expressions» les équations (8) et (9) se transforment ainsi :

— (û, 6ca)= — (a,fr,c) = -{abtCt),

— (abiCt) = -^iaibtc) = -(aj6c, ).

L'bypothëse (a^fCs) = o doit être écartée, car elle exprime que les droites AyAnAs concourent en un même point, auquel cas la cubique W n'existe plus. Il reste donc

( i8 ) On a donc le système

et deux autres systèmes de tout point semblables pour les b et les c. Sans restreindre la généralité, on peut prendre v à volonté; car, si Ton remplace a.a^^a^ par va,vaf,va2» le dernier système devient

«a-i-fJta,,

et Ton peut y choisir v de manière k donner au coefficient de «a une valeur arbitraire. On a ainsi multiplié les a et de même les b et les c par une même quantité v, ce qui n'altère pas le résultat. En conséquence^ je fais V = o. J*ai ainsi le système simple :

La variable indépendante a été laissée arbitraire. Je la fixe maintenant, en prenant |x pour cette variable. L'intégrale du système est alors évidente. Si d et df sont les racines cubiques imaginaires de Tunité, et K,K',K" des constantes arbitraires, ce sera

a,= K|UL-4-ôKy -4-0,K'>«s

Les b et les c auront des expressions toutes pareilles, qui ne différeront que par les constantes arbitraires; d'où résulte que :

La courbe intégrale de V équation A = o e^/ Vemeloppe de la droite mobile :

K, L, ...f M" sont des constantes arbitraires, 6, Ô^ tes racines cubiques imaginaires de l'unité, et fx le paramétre variable.

13. Soient a, j3, 7 les trois trinômes qui figurent dans A. On a, pour l'équation de chacune des trois droites A» A4, A^,

o = A, = /xa -h fA*(3 -4- 0ift*»y, = Aj=/x«-l- 0,a*(3-hÔ/x*ty.

( 19) Le point où A touche son enveloppe est donné par

^ ' (9.-e)fx-'~(i-e,jf*''~(9-i)p'

et il en résulte Téquation de la courbe intégrale

«•-• j3«+»y-(».+o = const.

En remplaçant par — X, cette équation se transforme aisément en la suivante :

a{3-*y^~* = const.

Telle est y en désignant par a, |3, y trois trinômes arbitraires du premier degré et par X une racine de X* — X H- i = o, l'intégrale générale de A = o.

Cette courbe est une de celles que Von rencontre dans l'intégration d'une équation du premier ordre, connue sous le nom d'équation de Jacobi. MM. Klein et Lie et M. Fouret ont eu l'occasion de montrer que ces courbes sont des transformées homographiques de spirales logarithmiques {*). Cette transformation s'opère aisément aiusi. Posons

Les équations (ii) deviennent alors

X=:e-/»cos&), Y = 6-v^sinw, X» -+- Y» = e^ /"^

Si X, Y sont des coordonnées rectangles, ces dernières équations sont celles d'une spirale logarithmique ayant pour paramètre \^; d'où cette conclusion finale :

Les courbes intégrales de l'équation A = o sont des transformées homographiques quelconques de la spirale logarithmique qui coupe ses rayons sur l'angle de 3o degrés.

Si Ton prend pour intégrale cette spirale elle-même, on peut préciser les propriétés du déplacement du triangle ÂAf A2. Ce triangle est

(') Mathematische Annalen^ t. IV, p. 5o; Comptes rendus^ t. LXXVffl, p. 1837.

équilatéral et a pour centre le pôle de la spirale. Chaque sommet a

pour lieu une spirale égale à celle que décrit Tun d'eux. Les trois

spirales, dont chacune se déduit de la précédente en la faisant tourner

de I20 degrés autour du pôle, sont en même temps les enveloppes des

côtés du triangle. Enfin la cubique W reste constamment semblable a

elle-même.

En vertu des relations analogues à (lo), l'équation de la cubique W

se réduit à

o = W = 9. A'A. -h 5A; A, -'lo Aï A.

Sous cette forme, il est manifeste que cette cubique est inscrite et circonscrite au triangle AAïAa, ce qui fournit une vérification (n** 4). Enfin il est aisé de voir que W est une cubique équianharmonique. On peut donc résumer les propriétés géométriques de la figure dans cet énoncé :

Étant donnée une spirale logarithmique de 3o degrés, si Von construit le triangle équilatéral qui a pour centre le pôle de cette spirale et pour sommet un point quelconque de cette courbe, ce triangle est inscrit et circonscrit à une cubique équianharmonique, qui a un contact du septième ordre avec la spirale au point considéré.

III. — Théorie des invariants différentiels jusqu'au huitième ordre

exclusivement.

14. La forme de l'intégrale qui vient d'être trouvée pour l'équation A = o pouvait être prévue comme conséquence des propriétés générales des invariants difi'ér^ntiels. C'est ce dont on se convaincra dans un instant, quand j'aurai rappelé ces propriétés, que j'ai déjà eu l'occasian de mettre en évidence dans un Mémoire cité ci-dessus, et que je vais démontrer ici d'une manière très-simple.

Soient X et Y une variable indépendante et une fonction de cette variable; et o?,^ une nouvelle variable et une nouvelle fonction, liées aux précédentes par les relations

ç == a-F H- 6/ -f- c, yj =r fl'a: H- b^y -*- c', Ç = a''x 4- b**y -i- c*.

Soit $ une fonction entiëre par rapporta tous ses arguments,

Si, en vertu du changement de variables indiqué, Téqualion <P = o

a pour transformée

^/ dr d"r\

la fonction $ sera dite un invariant différentiel.

Dénotons par des accents les dérivées prises par rapport à x^ et par D le déterminant des coefficients de §, -ti^ Ç. On a, pour le changement de variables, les formules

dY Kn'—fiK' rf'Y Dg»r^ rf*Y nr*-'.r<*> g*-^^A

^ Mx^çf-çç'' rfx»'^(ç?'-$ç')*' 5xï"~(çg'-5i;')*+'"*"(ç|'->|Ç')''-»'

dans la dernière desquelles, où k est au moins égal a 2, A désigne une fonction entière de a?, y et des dérivées de y jusqu'à Tordre (* — i) au plus.

De ces formules, je vais déduire les propriétés générales les plus simples des invariants différentiels, et, à cet effet, j'envisage tout d'abord et successivement trois cas particuliers de la substitution (12), savoir :

2" X = ar, Y=r-l-c-';

Les deux premières mettent en évidence que, si 9 est un invariant, la fonction/ne contient ni X, ni Y; car chacune de ces substitutions altère une seule de ces deux lettres sans altérer aucune des autres. Ce

résultat acquis, on voit que la troisième substitution n'altère que ^ 9

puisque Y ne figure pas dans/; donc, de même, cette dérivée ne peut figurer dans/. Ainsi :

Théorème I. — Un invariant différentiel ne contient ni la variable indépendante, ni la fonction, ni sa dérivée première.

Dans * ordonnons les termes eu égard à leur degré par rapport à la lettre Y, abstraction faite des indices de dérivation. Marquons ce degré par un indice» et soit ainsi

Envisageons maintenant la substitution X = a?, Y = h'y. La fonction $ se change en

où chaque expression 95 ne diffère de la correspondante <^3 que par le changement des lettres.

Si est un invariant différentiel, les deux équations

doivent être équivalentes. Cela exige qu'il n'existe qu'un seul groupe de lettres 9$; donc :

Théorème II. — Le degré d'un terme quekonque d'un invariant différentiel pa^ rapport à la lettre y y abstrojction faite des indices de dérivation, est constant pour tous les termes de cet invariant.

Ce degré sera dit le degré de l'invariant.

Par un raisonnement semblable, et en considérant la substitution X = ax^ Y = aj, on obtient cet autre résultat :

Théorème III. — La somme des indices de dérivation dans un terme quelconque d'un invariant différentiel est la même pour tous les termes.

Cette somme constante sera dite le poids de l'invariant.

15. Soit maintenant une fonction $ satisfaisant aux conditions des théorèmes I, II, III, c'est-k-dire ne contenant ni X, ni Y, ni la dérivée première de Y, dont tous les termes aient, en outre, un même degré 8 et un même poids p. Je lui applique la substitution (1:1) dans toute sa généralité. En vertu des formules (i3), elle devient

Ici f désigne la même fonction que O» sauf le changement des lettres.

iUSmii

et ^ une fonction entière de a?, y et des dérivées de /, mais d'ordre moindre que n. Si maintenant $ est un invariant, Téquation obtenue en égalant cette expression à zéro doit, par définition, être équivalente à f = o. Puisque i{; est d'ordre inférieur a celui de 9, il en résulte que ^ est identiquement zéro; donc:

Théorème IV. — Appliquée à un invariant différentiel de degré (? et de poids pf la substitution homo graphique générale (13) a pour effet de le reproduire multiplié par le /acteur

dans lequel D est le déterminant de la substitution.

Corollaires. — \^ La somme de deux invariants différentiels du mime degré et du même poids est encore un invariant ; a** réciproquement, si un invariant différentiel est la somme de deux autres, ces derniers sont de même degré et de même poids; 3** le quotient de deux invariants de même degré et de même poids est un invariant absolu.

16, tjae autre conséquence est encore à tirer de cette analyse. Considérons dans un invariant les termes qui contiennent au plus haut degré la dérivée de l'ordre le plus élevé n; réunissons-les en un seul, et soit W le coefficient de cette dérivée élevée à cette puissance. Soit maintenant ^ ce que devient Y après la substitution générale {12). Il est manifeste qu'aux facteurs D, Ç, (ÇÇ' — |Ç') près, ^ est le coefficient do la même puissance de la dérivée d'ordre le plus élevé dans l'invariant transformé y; donc, à ces facteurs près, ^ ne diffère de W que par le changement des lettres. Donc W est lui-même un invariant. Ainsi :

Théorème V. — Dans un invariant différentiel, le coefficient de Ut plus haute puissance de la dérivée de l'ordre le plus élevé est lui-même un invariant différentiel.

De cette dernière proposition résulte comme corollaire la suivante, qui donne la clef de cette théorie :

Théorème VI. — Soient $ et Y deux invariants différentiels du même ordre /i, et dont le second soit linéaire par rapport à la dérivée d'ordre n :

il existe un invariant d'ordre inférieur à n, tel que son produit par soit une fonction entière de Y et d'invariants d'ordre moindre que n.

Soit z la dérivée d'ordre n^ entrant dans $ au degré m\ posons

D'après le théorème V, A et C sont des invariants d'ordre moindre que n\ donc aussi Ç!^^ et A^'" sont aussi des invariants, d'ailleurs d'un même degré et d'un même poids. Leur différence (ih. IV, coroli.) est donc aussi un invariant. Soit $« celte différence. Elle ne contient :; qu'à un degré moindre que m. On lui appliquera le même raisonnement et Ton continuera jusqu'à faire disparaître ;;. On aura finalement l'identité

dans laquelle les Cet les F sont tous des invariants d'ordre moindre que n ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

17. Telles sont les propositions générales sur lesquelles se fonde toute la théorie qui va suivre. J'arrive maintenant à ce qui concerne en particulier les invariants différentiels jusqu'au septième ordre inclusivement, dont on va voir immédiatement le caractère distinctif.

Soient, comme précédemment, cf et/i le degré et le poids d'un invariant 0. J'y remplace Y par X\ Chaque terme prend alors la forme F (X)X^^"^, F étant un polynôme entier. Le second facteur est commun à tous les termes. A ce facteur près, $ se réduit à un polynôme entier 0(X). Si donc X est une racine de ce polynôme, Y = X^ est une intégrale de l'équation $ = o. Faisons maintenant la substitution (12) dans l'intégrale et dans l'équation différentielle. Cette dernière n'est pas changée et est, par suite, indépendante des constantes de (13); donc :

Toute équation différentielle dont le premier membre est un invariant admet une ou plusieurs intégrales de la forme

(i4) ax-^ by-\-c=i{a'x-\- i'j-f- c')^(a''^ H- 6*>--f-c'')''\

oàa^ b^. . . ^c" sont des constantes arbitraires.

Ces constantes sont au nombre de sept seulement; car on peut, par

( «5) exemple, supposer a = a' =i sans restreindre la généralité. Donc :

Toute équation différentielle dont le premier membre est un invariant et dont V ordre ne surpasse pas sept, a pour intégrale générale V équation (14)9 oà\a une valeur convenablement choisie.

Cette proposition ne pourrait subir d'exception qu'au cas où X aurait une telle valeur que Téquation (i4) contint moins de sept constantes arbitraires. Examinons donc ces cas particuliers.

18. J'observe d'abord qu'une même intégrale de la forme (i4) répond à plusieurs valeurs différentes de X. En effet, en désignant par- a, p, 7 les trois trinômes, on peut écrire l'équation (i4) sous les diverses formes

d'où résulte qu'une même intégrale (i4) répond à six valeurs de X, savoir

(■^' ^'x' '"""' riTx' rr^' -r-

Ces six valeurs forment un système fermé, le même que celui des six expressions du rapport anharmonique de quatre points. Si X est négatify (i —X) sera positif; donc on peut, sans restreindre la généralité, supposer X positif; puis, s'il est plus grand que l'unité, son inverse sera plus^tit; donc on peut aussi le supposer plus petit que l'unité. Ainsi, sans restreindre la généralité, je peux, pour cette discussion, supposer X compris entre zéro et l'unité.

En premier lieu, si X est incommensurable, les trois sommets du triangle formé par les droites a = o, /3 = o, y = o sont trois points singuliers transcendants de la courbe (i4). La détermination de ce triangle exige six constantes effectives. Ce triangle donné, l'équation contient encore une constante nécessaire à la détermination de la courbe; donc, si X est incommensurable, l'équation (i4) contient effectivement sept constantes.

En second lieu, si X est commensurable, je le suppose égal k la fraction positive, plus petite que l'uaité et irréductible/?: 9. L'équation (i4) devient alors

et lous les exposants sont entiers et positife. C'est Téquation d'une courbe de degré q présentant deux points singuliers : t^ le point j3 = a = o, en lequel l'ordre de multiplicité est égal à /> et l'ordre du

contact de chaque branche avec la tangente commune |S = o, est ^""^ ; 2** le point 7 = a = o, en lequel Tordre de multiplicité est {q —p) et l'ordre du contact de chaque branche avec la tangente 7 = 0, est ^ *

Or les deux nombres SLilZ et ^ sont tous deux différents de l'unité,

sauf au cas oixp = 1,9 = 2; donc» hormis ce cas, les deux points sont effectivement singuliers: le triangle est alors entièrement particularisé relativement a la courbe, et les conclusions sont les mêmes que si X est incommensurable.

Au cas /> = I , y = îi correspond pour la courbe une conique, relativement à laquelle le triangle peut être effectivement choisi d'une infinité de manières : on peut prendre a à volonté.

Enfin cette analyse laisse échapper le cas où X se réduit à l'unité ; auquel cas la courbe est une simple ligne droite. En résumé, j'ai donc ce résultat de la discussion: V équation (i4) contient sept constantes arbitraires^ sauf seulement dans le cas où elle représente une ligne droite (X = I »o) ou dans le cas où elle représente une conique (X = 2, — i , ^).

Je conclus de là que, s'il existe un invariant différentiel <S> d'ordre moindre que 8, dont l'inlégrale générale ne soit pas de la forme (14)9 le polynôme entier $(X) n'admet que les racines

En premier lieu, il est impossible qu'il n'admette que les racines 0,1. Employons encore la notation du n® 6

I rf'r i.a . . . I clx*

Si l'on fait y = aP", on ^

'—. = ûf,.

Oi — . * <

On sait que <t se compose seulement des quantités a,, a,, . . • (Th. 1)

Le polynôme 9{\)f résuItaDt delà substitution de telles expressions de Ui dans $» contient donc le Facteur (X— 2), si toutefois <P ne contient pas un terme composé simplement d'une puissance de ^3. Mais» s*il en estainsiy $se réduit à ce terme seul; car il est impossible de former d'autres termes du même degré et du même poids. Donc $(X) contient le facteur (X — 3), sauf au cas oii $ est simplement une puissance de a^. Nous sommes ainsi conduits à mettre à part l'invariant différentiel 03. Cest le plus simple de tous. L'équation a, = o a son intégrale générale de la forme (i4) et correspondant au cas (X = r,o).

J'emploierai des lettres majuscules pour désigner chaque invariant différentiel. Pour celui-là, adoptons la lettre U. Ainsi, dorénavant, U = aj.

Si $ n'est pas une puissance de U, 9{\) admet la racine 2 et, par

suite, les racines — i et -• Et cela s'applique à tous les invariants différentiels. Une conique quelconque en donne une intégrale; donc <> est au moins du cinquième ordre. Considérons maintenant l'invariant différentiel Y, qui est le premier membre de l'équation différentielle des coniques. En employant le même artifice qu'au n^ 6, on le forme aisément et Ton trouve

Vr=

= rtjcts -— 3^3^7,^74 H- ia\.

Et pour^ = x^

Je dis maintenant que si le résultat de la substitution y = a?" dans un invariant 4» quelconque conduit à un polynôme $(X) rC ayant que les racines o, I, 2, — i, -9 cet invariant est le produit d' une puissance de V

par une puissance de V.

Observons^ d'abord, que deux racines, qui sont simultanément du même tableau (i5), figurent dans $(X) avec le même ordre de multiplicité; car on chnage les unes dans les autres les expressions (i5] par une substitution homographique. Si donc $(X) ne contient que les racines

ci-(le88U8, ce polynôme est le produit d'une puissance de M par une puissance de N. Je dis maintenant que $(X) est d'un degré égal au poids de l'invariant 4>. Cette circonstance a lieu pour chacun des termes que fournit à 9{\) chacun des termes de $. Il y a donc à prouver simplement que le degré ne s'abaisse pas, c'est-à-dire que» si l'on fait

on ne saurait avoir

S^ fer (ïTs)"''' (iXTJf)' = ^-

S'il en était ainsi» l'équation 4> = o admettrait l'intégrale >" = e'^ et, par suite, ce serait l'équation différentielle du septième ordre dont l'intégrale générale (à sept constantes) est

(.6) ^ = log^-

Je reviendrai tout à l'heure sur ce dernier cas. Mettons-le de côté pour le moment, et concluons que 4>(X) est d'un degré égal au poids de *. D'autre part, 0(X) est, nous l'avons établi, de la forme M'^N". Le poids de 4^ est ainsi am -f- 3/i.

p = am + 3ii.

Le groupe de termes qui, dans $(X), provient d'un terme unique de $, contient X en facteur à une puissance précisément égale au degré de $. Je dis que, dans 4» (X) lui-même, X n'est pas en facteur à une puissance supérieure. S'il en était ainsi, on aurait

L'équation ^=o admettrait alors l'intégrale y = logx, et 4> serait encore l'invariant réservé précédemment et correspondant a Tintégrale (i6)« On a donc aussi

En conséquence, le résultat de la substitution y = c^ dans Tinvariaut proposé est

La même substitution opérée dans U''~'''V'' donne

car les exposants de x sont pour chacun des deux facteurs

(m— 3/i)(X — 2) et pn(X — 3), (m — 3n){X — î^) -+- 3/i(X— 3) =mX — (am-f-Sn).

Donc (* — BU'""'" Y") est identiquement nul pour^ = a?". D'ailleurs cette expression est un invariant différentiel, par hypothèse, d'ordre moindre que 8. Il ne peut donc avoir pour intégrale l'équation (iY|) où X serait aussi arbitraire, ce qui ferait huit constantes. L'expression envisagée est donc identiquement nulle.

De cette discussion résulte enfin cette conséquence, qui complète renoncé du n*^ 17 :

1° Au-dessous du septième ordre ^ il n* existe que les invariants différentiels U et V, dont l'un est le premier membre de l'équation différentielle des lignes droites, l'autre celui de Inéquation différentielle des coniques,

2^ En désignant par a, |3, y trois trinômes du premier degré à coefficients arhitrcUres, tout invariant différentiel du septième ordre résulte de réliminaiion de ces coejficients dans une des deux équations

~ = log^ ou « = (î^/-\

Remarquons, en passant, cette conséquence curieuse d'un des résultats ci-dessus. On a vu que tout invariant autre que U s'évanouit pour y == a?*, et par suite aussi pour^ = ar^ Pour cette dernière valeur, on a a; = ( — i)' j:""^'"*"*^ et j'en conclus que dam tout invariant différentiel autre que U, et exprimé par les quantités ai^ la somme des coefficients des divers termes est nulle.

19. Pour achever la théorie des invariants différentiels du septième ordre» il reste à traiter deux questions : \^ former Vinvariant dont Vin-

(3o) tégrcUe générale est a = |S^y* "^ ; a*^ former V invariant dont Vintégrale générale est - = loff - •

Je vais traiter ces deux questions. Remarquons d'abord que, étant connue la théorie que je viens d'exposer, on pouvait prévoir la forme de rintégrale générale de l'équation A = o, qui a été obtenue plus haut (n*' 13); et Ton n'aurait eu qu'à déterminer l'exposant X. Mais, ce résultat étant acquis, je vais en profiter pour traiter le nouveau problème sans calcul.

Les invariants A et Y ont pour degrés respectifs les nombres 8 et 3, pour poids les nombres 24 et 9. Ainsi A' et Y* sont d'un même degré et d'un même poids. Donc (th. lY, coroll.) A* + AY* est un invariant différentiel.

Soient ^(X) et/(X) les polynômes entiers qui résultent de la substitution j== x^ dans A" et dans Y*. Prenons ifc égal à leur quotient changé de signe. Alors A' -f- *Y' est nul pour^ = a?^. Donc l'équation A' -H AY* = a pour intégrale a = p^7*''^. La quantité k est une fonction rationnelle de X jusqu'à présent inconnue, puisque nous n*avons pas formé ^(X). Mais nous savons que, k étant donné, il ne peut exister qu'une seule intégrale générale, et par suite six valeurs de X renfermées dans un même tableau ( i5]; donc les deux termes de >t sont des polynômes de la forme

g(X.-->^,)3^yi[(^a)(X-hi)(iX-i)]>.

D'autre part, pour X = 2, — i , - l'équation différentielle doit se ré-