JE

duire à Y = o; et pour X* — X -4- i = o, elle doit se réduire à A = o (n^ 13). J'en conclus k, sauf un facteur numérique a

. (X^-X-Ml>

''-^[(X-:i)^X-h.)i:iX-.)j'-

Je détermine maintenant a en faisant X = 3 et^=: a^. Les déterminants Y et A se réduisent manifestement à a et 3, et a en résulte; j'ai donc enfin cette conséquence :

Véquation différentiette

(17) a*.7'[(X — 3i)(X-4-iM2X-i1]'A»=3>.5»iX*-1-m;*V

(3. ) a pour intégrale générale

dans laquelle a, |3, y sont des trinômes du premier degré à coefficients arbitraires.

Considérons mainleDant cette équation (17) et une intégrale particulière

Faisons croître X au delà de toute limite. L'intégrale devient/ = «*. Donc :

Dans le cas particulier \ = oo , o, i, V équation [i*]) a pour intégrale générale

i- — log « •

20. Parmi les cas particuliers de (17) on remarquera celui qui correspond àX = 3. V équation différentielle

est celle des cubiques de troisième classe. Si, dans Y et A, on suppose ^2 = 0, ces deux déterminants se réduisent à leurs diagonales ^al et 'ia,» et le premier membre de cette dernière équation à zéro. Il est donc divisible par le facteur as qui est Tinvariant U. Dans le paragraphe suivant, je ferai voir qu'il est divisible par U^ Je poserai donc

L'invariant H offre le premier exemple du théorème YI. Le coefficient de a^ dans A doit être, d'après le théorèmeY, un invariantd'ordre moindre que 7. On vérifie sans peine, d'après l'expression de A (n" 6), que ce coefficient est U*Y; par suite, et d'après le théorème YI, s'il existe un invariant nouveau du septième ordre <&, son produit par des facteurs U, Y est exprimable sous forme entière par U, Y, A. Or il est manifeste qu'on ne peut former avec ces derniers d'autre combinaison invariante que le produit d'une puissance de U par une fonction homo-

gène de A' et Y^. Il n*y a donc à considérer que des expressions telles que A' 4- *Y*. Or cette forme ne peut être divisible par V, Elle n*est divisible par U que dans la combinaison qui vient de fournir H. Donc, comme conclusion finale :

Jusquau huitième ordre exclusivejnentj il n'existe que les invariants différentiels U, V, A, H e/ A' 4- ^V*. Le quatrième A^ : V* est un invariant absolu.

IV- — Recherches algébriques sur les invariants du septième ordre.

21. Reprenant à un nouveau point de vue la théorie des invariants du septième ordre, je vais former directement, et par des considérations tout algébriques, l'invariant fondamental A. J'admets comme connu l'invariant Y, et, dénotant par des accents les dérivées prises par rapport k la variable indépendante X, je considère l'expression

dans laquelle /n, /n', ..., A, A', ..., ^, A', ... sont des constantes que je vais essayer de déterminer, dételle sorte que Z soit un invariant. Cette expression Z satisfait déjà aux conditions des théorèmes I, U, III, c'est-à-dire qu'elle ne contient ni X, ni Y, ni Y', et que chacun de ses termes est de degré et de poids constants. Elle est donc invariante pour les substitutions

Je considérerai successivement les deux substitutions

X=:r, Y = x et X=-, Y=:^>

qui, employées avec la précédente, équivalent à la substitution homographique générale (12). Il suffira que Z reste inaltérée par ces deux dernières.

Je considère la substitution X = j, Y = a? et je l'applique à un terme de Z. Je désignerai constamment par la même lettre, majuscule ou minuscule, une même fonction de X, Y ou de jt, y. Je dénoterai aussi

par des accenls les dérivées prises par rapport k x^ ce qui n'entraînera pas de confusion, pourvu qu'il demeure entendu que les dérivées des fonctions désignées par des majuscules sont prises par rapport à X, et les autres par rapport à x.

Pour la substitution envisagée, on a, conformément aux notations des

n«' U et 15,

et, en vertu du théorème IV,

Je dérive deux fois de suite par rapport à X, en dérivant chaque fois le second membre par rapport à a? et divisant ensuite par y.. Désignant par T le premier terme de Z, sauf le coefficient m, j'obtiens ainsi

T==y-"/ — A-(6A + 24A+i)/-»y'»w'-+-3(A-4-4A-)(3AH-i2*-H-2)/--V'*^'

En conséquence, Z se reproduit multiplié pary*"" si l'on a

2mA'(6A -h :t^k -4- i) = o, 2/ii(A4-4''^)(3A-Hi2Â*-H2) =0, 2m(3A*-i-i2AA'-f-2A-f-6A*) = 0.

Ces trois équations se réduisent visiblement à deux. Je considère maintenant la seconde substitution :

^ = i' Y=ï' ^^'> ^=r^ ^=^' çr-^ç'^-i, p = -i.

J'en conclus, comme tout a l'heure,

Y' A V* = éj(Jih-^\ikyJfk ^,k

(3A -4-i5Ar) (3A -4- i5* ->t-\)fv'x^.

En conséquence, Z se reproduit multiplié par x*"^ si l'on a

2/nA(3A i-i5A"-i-i) =0, 2m/r(3A-fi5A- + i)=o.

Avec les équations précédentes, on en a ainsi quatre, qui, on le re-

(34) marquera 9 sont linéaires et homogènes par rapport aux cinq quantités

2mA, 2mk, Imh*, 2mhk, lmk\

et déterminent leurs rapports. D'autre part» en développant chaque terme de Z» on obtient

Z = V»Y*'»2mA(A - i) + V^Y^Y'^2mA H- 2Y''Y«'VV'2myiA-

Y"»VV'2mA -f- Y'^»V'»2m/f (A — i).

En conséquence, Z est entièrement déterminée, à un facteur arbitraire près. Mettant U à la place de Y'% j'obtiens ainsi l'invariant suivant :

(i8) Z = 2iV»U'»-27V»UU''4-6UU'VV'4-6U'VV'-7U»V'%

qui peut s'écrire de diverses manières sous la forme qui a servi de point de départ» par exemple

22. Voici donc un invariant du septième ordre obtenu directement. La dérivée du septième ordre ^7 ne figure que dansY", et linéairement. Dans Y, le coefficient de a^ est U^. Donc, dans Y'\ le coefficient de a^ est 6 X 711^. Donc, dans Z (18), le coefficient de a^ est 6^ x 7U*V.

Comparons Z k A. Dans ce dernier, le coefficient de a, est U^Y. La différence Z — 6* x 7A est donc un invariant d'ordre inférieur à 7. D'ailleurs, avec U, V, on ne peut former d'invariant de degré 8 et de de poids 2^. Donc cette différence est nulle, et

On peutfaire diverses vérifications de cette formule (20). Par exemple, dans Z et dans A, il est très-facile de former les termes en al et aussi le terme indépendant de 03, et de constater que ces termes sont les mêmes dans les deux membres de (ao).

Mais» d'une autre manière et sans se fonder sur la théorie des invariants, on peut encore reconnaître l'identité de Z et de A. On a plus haut intégré l'équation A = o. Je vais maintenant intégrer l'équation Z = o, et reconnaître l'identité des deux intégrales.

(35) 23. Si Ton fait j = oo^, on a, suivant les notations du n° 18,

M et N ne dépendant que de X. J'en conclus

(o-r=M-K--^)''=M-^-:=^ ^-:tl.

En substituant dans (19), j'obtiens

Les racines de Met N fournissent des intégrales singulières. Les racines de X* — X 4- 1 = o fournissent des intégrales y = j?^, qui, par une substitution homographique, acquièrent sept constantes. On a donc ainsi l'intégrale générale deZ = o.Elle coïncide avec celle que Ton a trouvée (n^l3) pour A=o; donc, Z et A, qui, toutes deux, contiennent linéairement a^ et dans lesquelles les coeQicients de a^ ne diffèrent que par un facteur numérique ne diffèrent elles-mêmes, que par ce facteur. L'équation (20) est donc démontrée de nouveau.

En second lieu, des expressions de V et de Z pour 7=a?\ je conclus

et, en mettant pour N sa valeur et remplaçant Z par A en vertu de (20),

2<.7>[(X — 2)(X-hi)(2X — i)]»A>=3*5^(X' — X4-i)»V» pour/ = a;V

ce qui démontre de nouveau l'un des résultats du n^ 19. Quant au second résultat de ce numéro, et relatif à l'équation dont l'intégrale est

- = log - > on le vérité très-aisément aussi au moyen des formules (18)

ou (19), en y faisant y = ^,

24. Je vais, maintenant, envisager l'expression {2* A' — 3* V*), déjà considérée au n® 20, et chercher quel est l'exposant de la plus haute puissance de U, par laquelle elle est divisible. Cette question, qu'il est nécessaire de résoudre en vue des applications, exigerait un calcul

très-compliqué si ToD voulait faire usage de l'expression de A sous forme de déterminant. Elle pourra se résoudre assez aisément au moyen de l'expression (i8), et grâce à un artifice.

Supposons qu'il s'agisse de résoudre pareille question k Tégard d'une fonction 9 quelconque de^et de ses dérivées. Je substitue dans 9 à 7 un développement

jrz=a-h bx -^ ex* -+-...,

et j'ordonne le résultat suivant les puissances croissantes A^x^ en laisr sant, bien entendu, les coefficients a^b^c, ... indéterminés. Je fais ensuite c = o. Si la fonction f contient le facteur y"", il est clair que le résultat de la substitution contiendra le facteur cc^^ et réciproquement. Si la fonction 9 envisagée est, comme ici, un invariant différentiel, on peut simplifier le calcul au moyen d'une substitution homographique, qui, par définition, n'altérera pas 9, et qui simplifiera le développement de y. On peut d'abord faire disparaître les deux premiers termes: mais cela n'a aucune importance, puisque 9 ne contient ni j, ni y (Th. I). Suivant l'hypothèse, le terme en x^ manque. Je dis qu'on peut réduire le développement à la forme

Soit, en eflet, le développement considéré

jrnr jr»-f aX^-h 6x*H- Ca?*-+- rfx'H-... .

Je détermine les constantes m, /i,/>de telle sorte que le développement de

coïncide avec celui de j^ jusqu'au sixième ordre inclusivement. A cet effet, je développe

(i-f- mx-h iij)-* = (i -h mx -h nx* -4- . . .}-*

= 1— amx 4- 3m* X*— 2(2111* + n)x* -f-

(37) Effectuant le produit» et égalant à a» 6, c les coefficients, j'ai

3p -h 3m*== b, — 2(2m'-h/i) — 6mp-{'3pa = c,

équations qui déterminent successivement et sans ambiguïté m, n, p. J'ai alors

•^ (i + /nar -f- »j *