U»T. = 3VA' - SAV'^X

En conséquence, si l'on prend X pour variable indépendante» Téquation

se change en

/[x, p, fxX^ fx', |[xX^ (|[xX^ fx') , . . . J = o,

qui est, ainsi que l'indique le théorème XI, une équation différentielle d'ordre (n — 8).

41. Pour peu qu'on réfléchisse à cette théorie des invariants différentiels, on y voit apparaître, comme dans la théorie des formes, des points dont l'évidence s'offre immédiatement. Dans la théorie des formes binaires, par exemple, il suffit de savoir que deux invariants relatifs peuvent composer un invariant absolu pour conclure que les formes quadratiques ou cubiques, ne pouvant avoir d'invariant absolu, n'ont certainement qu'un invariant relatif.

Ici la substitution envisagée contient huit arbitraires et permet

de donner au système ^, j, ^> •••5 v^ des valeurs arbitraires. Il ne

saurait donc exister d'invariant absolu formé avec ces quantités. D'ailleurs, avec trois invariants relatifs on peut former un invariant absolu; donc jusqu'au septième ordre exclusivement il ne peut exister au plus que deux invariants relatifs. Puis il est visible que, pour chaque ordre

au delà, il ne peut exister qu'un invariant absolu vraiment nouveau.

Si mainteDant on veut aborder la théorie des invariants formés avec les dérivées partielles d'une fonction de deux variables indépendantes, on peut prévoir la nature des résultats qui devront s'y rencontrer. La substitution contiendra quinze arbitraires, qui permettront de donner

des valeurs arbitraires à a;, r, z, ^, ^, ^., g^, ^-, ^,, -.., ^,.

au nombre de douze, et à trois des cinq dérivées du quatrième ordre; donc au-dessous du quatrième ordre il ne peut exister que deux invariants relatifs au plus. Et, en effet, on les connaît : ce sont les équations aux dérivées partielles des développables et des surfaces réglées qui les fournissent. Puis on aura deux invariants absolus distincts du quatrième ordre, six du cinquième ordre, etc.

Vu et approuvé.

Paris, le 26 juin 1878.

Le Doyen de la Faculté des Sciences, MILNE-EDWARDS.

Permis d'imprimer.

Le Yice-Recteue de l^Académie de Pahis,

A. MOURIER.