AS-Y»0=:U*P

L'invariant 6 a pour degré et pour poids les nombres i4 et ^6. Il permet de former l'invariant absolu U*0Y~*. En conséquence, on a ce cas particulier du théorème X :

Toute équation différentielle invariante du neuvième ordre consiste en

C*0 U*T A* une relation entre les trois quantités -y^y -^7-» y*'

(48) 34. Posons, comme plus haut,

En prenant les dérivées, j'en conclus

0=^^[,A(U<T)'-3U^TA'] = ^(|) et, en divisant membre à membre,

(.8) !!;e = jî%Jî;.

J'en conclus que toute équation différentielle invariante du neuvième ordre se réduit à une relation entre S,^ rj et le rapport de leurs dérivées premières.

Cette équation, intégrée par rapport aÇ, >}, donne lieu à une équation invariante du huitième ordre contenant une constante arbitraire. C'est une intégrale première de l'équation du neuvième ordre. Ainsi :

L'intégration d'une équation différentielle invariante du neuvième ordre se ramène à l'intégration successive d'une équation du premier ordre et d'une équation invariante du huitième ordre.

Sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans plus de détails, on aperçoit que celte dernière proposition se généralise ainsi :

Théorème XI. — V intégration d'une équation différentielle invariante d'ordre [n -\-^) se ramène à l'intégration successive d'une équation d'ordre n et d'une équation invariante du huitième ordre.

VI. — Applications et propriétés dualistiques des invariants différentiels.

35. Je vais appliquer les résultats des n°' 33 et 34 à l'équation différentielle des courbes du troisième degré. Je vais mettre, à cet effet, cette équation sous la forme canonique, c'est-k-dire l'exprimer par les invariants différentiels précédents.

Dans l'invariant 6, défini par (^27)1 le coefficient de a^ est a*.3*U^VA. Je vais simplifier cet invariant en faisant successivement disparaître un facteur V et un facteur U. D'après (26) et (27) et d'après la définition de T(n^ 27), j'ai

T=-8AV', ! (V=o).

Je suis ainsi conduit k l'invariant entier

dans lequel le coefficient de a* est 3*.3'U^A. Pour faire maintenant disparaître un facteur U, je cherche à quoi se réduisent les divers invariants quand on fait U = o. En désignant par h ce que devient H dans cette hypothèse, je rappelle que Ton a [n^ 27 et éq. (aS)].

D'après les définitions de 6 et 6,, on aura en conséquence

0^ — -- — ^a->.3flr-«/i i

0,= 2-^3.5rt,-9/4=2-^3^5TV, )

J'ai donc le nouvel invariant entier

dans lequel le coefficient de a, est 2*.3'UA. Je vais démontrer que V équation 0j = o est l'équation différentielle des courbes du troisièine degré,

36. Je forme directement l'équation différentielle dont il s'agit par le procédé déjà employé pour former A et T. Son premier membre est

ûfs

^a^a^-hal

^atûz

(5o) alors le déterminant G suivant :

€Li 0.% a%

2^3^44 Cl] 2aja&H- la^ûi aflîa«H-2^s^64-aî

Ce déterminant se conipose, comme on voit, de A multiplié par a^ et bordé par la ligne supérieure et la colonne de droite. En conséquence, dans C le coefficient de a^ est — UA. On y voit immédiatement aussi le coefficient de al : il coïncide avec le coefficient de a-t dans A, multiplié par ^2 ou U. Ainsi j'écris

C=r — UAaoH-U*Vrt;-hA,

et A ne contient que les dérivées d'ordre inférieur à 9 et est linéaire en ag.

Pour comparer C et ©2 cherchons dans ce dernier le terme en a^ et le terme en al- Le premier nous est déjà connu; quant au second, observons d'abord que a» n'entre pas dans 62 à un degré supérieur à 2, ainsi que nous allons le constater.

Remontons d'abord à 0. D'après (27 ), «g y entre au plus haut degré, c'est-à-dire au second, dans le terme — 3UA'TV"^ On a

En conséquence, dans 0, le coefficient de al est — 2®. 3'U*V^. Dans 0, (n° 35) on a un nouveau terme en al provenant de G. En

vertu de (23), le coefficient de al dans G est le même que dans -yr^

c'est-à-dire 2*.3^U*V^. En conséquence, on a pour le coefficient cherché

Dans 0. = 1(04- tG]. .. ~2^3'U«V, Dans 0a= g fe-^Tv] ... - 2«.3»U'V.

(5i ) J'ai donc

et B, comme A, ne contient ni a^ ni a^. Comparant ces expressions de C et de ©a, j'en conclus

Comme 62 et C sont des invariants, D en est un aussi. A cause des propriétés de A et B, D est un invariant du huitième ordre linéaire en ag. Je dis que cet invariant ne peut être que zéro.

En premier lieu, D ne peut être d'ordre inférieur à 8, s'il existe. Son degré et son poids sont les nombres 10 et 35. S'il était d'ordre inférieur à 8, il se composerait de termes U"* VA''; j'omets H dont le degré et le poids surpassent ceux de D. On aurait alors

m -f- 3nH- 8/? = 10, 2m -f- 9/* -h 24/> = 35,

équations qui ne peuvent se résoudre en nombres positifs.

Si D existe, il est donc du huitième ordre. Le coefficient de a, est alors du degré 9 et du poids 27. C'est donc (th. V) V, sauf un coefficient numérique. DansT, le coefficient de a^ est, sauf un coefficient numérique, UV^. Donc UD et VT, sauf un facteur numérique, ne différeraient que par un invariant E d'ordre inférieur à huit, et dont le degré et le poids seraient les nombres 11 et 37. Les équations

sont impossibles en nombres positifs: donc E est nul. Mais UD etVT ne peuvent être égaux, puisque T ne contient pas le facteur U; donc D n'existe pas.

Donc on a

et cette identité démontre la proposition énoncée.

37. Je vais, maintenant, appliquer le théorème XI a cet équation, et chercher son intégrale première invariante. On aura ainsi téquation différentielle des courbes du troisième degré dont l'invariant absolu est un nombre donné.

La première opération consiste à introduire, au lieu de 62. les quantités Ç, fi. D'après le mode de formation de 62, l'équation s'écrit

En multipliant par Y^ U\ on ramène les invariants fondamentaux

Divisant par Y* et employant les formules du n'' 34, j'ai l'équation différentielle du premier ordre cherchée

Cette équation ne rentre dans aucune catégorie de celles que l'on sait intégrer par des moyens généraux. Mais nous savons ici que son intégrale générale est algébrique.

Je poserai, pour simplifier l'écriture,

et l'équation à intégrer devient Soit une intégrale

P = Ç» -4- M.Ç"- -f- M,Ç«-» -f- , . . + Mn-,Ç -+- M„ = o,

dans laquelle les M sont des fonctions rationnelles de Ç. On devra avoir, en désignant par Xune autre fonction de cette même lettre,

(3i) $ç^^(A-0|^ + iP = o.

Dénotant par des accents les dérivées prises par rapport à §, j*en

(53) conclus le système

m; =[X-h(«-i)Ç]M. + AM',,

M", = [X-+- (n -2)^]M,+ AM'.,

M'„=(X + ?)M»-. + AM;„ o =3iM. + AM;.

SoitMn = |- La deuxième équation donne

/ = A Ai--:

donc, si X est fraclionnaire, les racines de son dénominateur sont simples. Mais alors la première équation donne, pour M«, une fonction transcendante, ce qui ne se peut. Donc X est entier, et par suite du premier degré, et ensuite M| du deuxième, M2 du quatrième, . . . , M;, du degré 2n.

Nous connaissons déjà une intégrale particulière, répondant au cas n= 2; c'est celle que nous avons trouvée aun® 30, l'équation différentielle des cubiques à point double. Cette intégrale est ainsi fournie par Téquation {22). Si Ton y fait le changement de notation (3o),

on a ainsi

ft«P= (a*Ç -h $' — 2.3*^ — 3^)> -h 2«.3Ç%

et, avec ce polynôme P, on vérifie aisément l'identité (3i), dans laquelle

Des considérations déduites de la bliéorie des formes cubiques ternaires, et qu'on trouvera un peu plus loin, prouvent l'existence d'une autre intégrale particulière, répondant aussi au cas den = 2. Avec quelque tâtonnement, on parvient à la trouver sous la forme suivante :

on vérifiera l'identité (3i) avec ce polynôme Q, et

AU moyen de ces deux intégrales particulières, l'intégration s'achève. Prenant, en effet, les deux identités

je les écris ainsi

(^l j'en conclus une relation toute pareille pour la combinaison (PÇ^ — cQ^ ), ce qui prouve que l'équation proposée a pour intégrale générale

c étant une constante arbitraire. Aux intégrales particulières P et Q il faut encore en joindre une autre digne de remarque. Pour une valeur particulière de c, le polynôme PC' — cQ' se réduit à un carré. On a, en effet,

Si Ton fiut intervenir R au lieu de P, on pourra écrire l'intégrale sous la forme suivante, dans laquelle h est la constante arbitraire :

38. Nous connaissons la signification de l'intégrale particulière P = o; il reste à trouver la signification des deux autres Q = o, R = o, et aussi la liaison qui existe entre l'invariant absolu h et l'invariant absolu do la courbe du troisième degré, mis sous la forme habituelle.

D'après la théorie des formes cubiques ternaires, on sait qu'il y a deux invariants relatifs, 8, C, l'un du quatrième degré, l'autre du sixième par rapport aux coeiricients de la forme, et que le rapport c^ : e^* est un invariant absolu k. Si Ton voulait chercher directement rêquation dilTêrentielle des cubiques, qui ont l'invariant it, il faudrait

déterminer les coefficients en fonctions de a?, y et des dérivées jusqu'à Tordre 8, et substituer dans G et s. Or les coefficients s'expriment ainsi linéairement en fonction de la dérivée huitième de j'ou «g. L'équation sera donc de la forme

Xet Y contenant a», la première au quatrième degré, la seconde au sixième au plus. D'autre part, ag, dans nos équations intégrales, ne figure que dans la lettre ? et y entre linéairement; donc cette dernière équation doit coïncider exactement avecR^ = AQ% et il n'y a plus qu'à trouver le rapport numérique des invariants absolus h et h.

Prenons, pour s et©, les déterminations qui, à l'égard de la forme canonique (a?* 4- j' -l- z^ + Slxyz)^ se réduisent à

Le discriminant est alors G^ — 64§' (*). Quand A est égal à 64, la courbe a un point double. L'équation intégrale doit alors se réduire à P = o, et, par suite, h à l'unité. Donc, en résumé :

Si ^ et s sont les invariants fondamentaux d'une courbe du troisième degrés et que Von fasse G^ : S'= 64 A, V équation différentielle des courbes du troisième degrés qui ont V invariant absolu A, est

Cette équation peut s'écrire

P=o,Qr=o, R = o sont respectivement les équations différentielles des cubiques à point double ^ des cubiques équianharmoniqueSy des cubiques harmoniques.

Si l'on applique à l'expression Q le procédé expliqué aux n"31 et 32 pour la recherche des facteurs, on trouve sans peine

( ' ) Foir, par exemple, Salmon, Algèbre supérieure^ traduction française de Bazin, p. aïo.

Q, étant un invariant entier qui n'est divisible ni par U ni par V. On a trouvé précédemment que de même P est de la forme

p, étant également un invariant entier indécomposable. Au moyen de ces invariants, on met Téquation finale sous la forme

2'«.3"A*P, = (A-i)U'QJ.

39. Je terminerai en appliquant le principe de dualité aux invariants différentiels; soient X,Ydeux variables liées par une relation, etx,y deux nouvelles variables. Posons, pour faire une transformation corrélative,

d'où résultent inversement

dY dY

puis, en accentuant les dérivées prises par rapport à x,

d}\ I rf»Y y^ dpY x^P^ .

dX' f dX' y»' dXP y

A ne contenant que les dérivées d'ordre inférieur à /i. Soit $ une fonction

d^Y dPY

de ^=7^9 •••» T^- Par la transformation, elle se change en une fonction

9 de y, ... , y^\ divisée par une puissance dey. L'équation y = o est une transformée corrélaWe de = o.

Appliquons cette transformation à l'équation y= o, équation différentielle des coniques. D'après le principe de dualité, la transformée (^ = o ne doit difierer de la proposée que par le changement des lettres. D'autre part, si dans Y on prend le terme unique qui contient la dérivée cinquième de Y, on voit que celui-là seul fournit le terme Aev contenant la dérivée cinquième de/. A un facteur numérique près,

ce terme est (n« 18) (35^,)'-^.» qu» fournit le terme --1^ (^y^'.

(57) J'en conclus donc

Même raisonnement, a l'égard de la fonction A, conduit à un résultat tout pareil; car on sait que les courbes intégrales de A = o se changent en elles-mêmes par des transformations corrélatives, par suite

d'où résultent, pour les invariants fondamentaux du huitième et du neuvième ordre.

L'exposant dey est constamment égal au poids de l'invariant ; ce facteur disparait donc dans les invariants absolus. D'où cette conséquence:

Dans une équation différentielle invariante du huitième ou du neuvième ordre

il suffit de changer le signe de T pour obtenir V équation corrélative. Nous avons trouvé (n** 37) que

est l'équation différentielle des courbes du troisième degré. J'en déduis maintenant que

est V équation différentielle des courbes de troisième classe.

J'ai de même

(G H- 2. 3>TV»)» - 2«.3U«T> = o

pour V équation différentielle des courbes de troisième classe et du quatrième degré, déduite de celle des courbes du troisième degré à point

double, et

pour réquation difTérentielIe des courbes de troisième classe d'invariant absolu hy si Pa et Q2 désignent ce que deviennent les invariants P| et Q, du n^ 38, par le changement de signe de T.

40. Ces résultats se généralisent aisément. Pour le montrer, il convient d'adopter un mode régulier de formation des invariants fondamentaux de chaque ordre, mode que j'ai abandonné ici, en me bornant au neuvième ordre, et en vue d'une application.

Désignons par Ts l'invariant du huitième ordre désigné précédemment par T. Avec Tg on a l'invariant absolu U*TsV~*, et avec cet invariant absolu on peut former l'invariant du neuvième ordre que j'ai appelé S (n^ 33). Je le désignerai par T»; ainsi

(ÎÎ<T \ ' V* ^j l-=:Uvr.+4(vu'-uvoTe.

En passant de Ts à Tq, on accroît le degré d'un nombre égal à celui de UV, c'est-à-dire de 4» et le poids d'un nombre égal à celui de UV, augmenté d'une unité, c'est-à-dire de 12. Ces deux nombres sont précisément égaux aux { du degré et du 'poids de V. On formera donc

rinvariant absolu U*T,V"" ^ , puis l'invariant du dixième ordre.

T..r.:(u*T,V-'^y-^=:UVr.H-4(VU'-iUV')T„

et ainsi de suite :

T.. -= uvr, . + 4 (vu' ~ I UV ) T..,

T. = uvr„. + 4 (vu' - ^^ ovA T

Au moyen de ces invariants, on a maintenant cette proposition :

Toute équation différentielle invariante d'ordre /i ^ 8 consiste en une relation entre les quantités

lS}\-\ U^T.V-, U'T.V"" S ..., U*T»V

Si' Von y change les signes de Tg, T,o • . . . , T^a. cette équation se change en sa corrélative.

Nous pouvons aussi préciser le théorème XI comme il suit. Si i*on fait

OD a