CHAPITRE IL

l . Soit F(3) uue fonction uniforme d<: s qui ne présente dans le plan des : qu'un nombre fini de singularités L,, L^, ..., L„ (coupures, espaces lacunaires, points essentiels ou pôles) : L,, L^, .,,, L„ n'ont pas de points communs. Cette fonction peut se mettre sous la forme d'une somme de n fonctions n'admettant chacune dans le plan qu'une singularité.

Il suffit, pour le voir, de répéter le raisonnement employé par M. Bourguel dans le cas des points singuliers. On trace n contours s,, «a, ..., s,„ comprenant chacun à son intérieur une des singularités et une seule : quand la ligne L,- est fermée et n'enclôt pas un espace lacunaire, le contour *,- est multiple. La fonction F(3) (qu'on suppose régulière à l'infini) est holomorphe dans l'aire S extérieure aux contours s, et intérieure à un cercle G de centre O et de rayon assez grand pour enfermer toutes les coupures L,-, Si X désigne un point de S, s le contour de cette aire, on a

La première intégrale est une constante iiv.h\ l'intégrale / __ ■ __

définit une fonction de x holomorphe à l'extérieur de L,-, car on peut prendre Si aussi voisin de L qu'on veut sans changer la valeur de l'intégrale pour les points x extérieurs à s,- : F(a;) se met donc sous la forme

(?liacune des fonctions/, , y^, ...■, fn n'admettant qu'une des singularités L,, L„ ..., L„.

Le cas où F(a;) n'est pas holomorphe à l'infini se ramène au précédent, en posant z = ; F(a7) est alors une somme de n fonctions dont l'une a, pour lignes singuhères, plusieurs lignes L' ayant des points à l'infini.

Le long de ^, l'intégrale / Y{z')dz est nulle : si donc on appelle résidu

de L,- la valeur de l'intégrale -^ f F(3) dz, on voit que la somme des résidus de F(x) dans le plan est nulle. Quand la fonction F(x') es t holomorphe

SUR LES LIGNES SraGtLIF.RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. lit)

à l'infini, le résidu du point s ^ ce est le coefficient de -, changé de signe, dans le développement de F(x) à l'extérieur d'un cercle de rayon suffisamment grand. Si le point s = co est un point singulier de F(x), le résidu relatif à la coupure L' est la valeur de l'intégrale -^ / F(s)(/3 prise, dans le sens inverse, le long d'un contour fermé entourant toutes les singularités, sauf L'.

Ce qui précède s'applique à la fonction -pj— r; quand F{j!:) n'a, dans le plan, qu'un nombre fini de zéros ou de singularités, on en conclut, en intégrant et en passant du logarithme à la fonction, que F(x) peut se développer ainsi

ftj/'ii ■ ■ -f fn n'ayant respectivement qu'une singularité L,, L^, . . ., L^, Si l'on appelle ordre de la coupure L,- l'intégrale ~ j ■ r.î. T- ' ^«^ somme des ordres de F(a7) est nulle dans le plan.

Remarque. — Il est possible, dans bien des cas, de dccompo-ier une singularité formée d'une ligne continue en plusieurs ordres, grâce à l'observation suivante :

Soit L une coupure non fermée de F(ie); A et B sont ses extrémités, C un point de AB. Posons

(tr désignant un contour fermé ne contenant t|ue la coupure L). S'il existe un chemin l, traversant AB au point C, et sur lequel | F(a;) | ne croisse pas indéfiniment, on peut décomposer y( a;) en une somme de deux fonctions, qui n'admettent respectivement comme coupure que AC et CB. En effet, l rencontre n aux points M et N et décompose <7 en deux parties a, et a-j, formant avec l deux contours fermés c, -f- MN et cja -l- NM, qui contiennent le premier AC, le second lîC. On peut écrire

y, (x) est définie pour toute valeur de x extérieure à AC, car on peut toujours tracer un contour tr', laissant à l'extérieur le point x et entourant AB :

ce contour rencontre le chemin l aux points M', N', et l'on ii

car F(it:) est holomorphe à l'intérieur du contour formé par a,, c',, MM' et NN'. De même, f^ix) est holomoi-phe à l'extérieur de BC. Il suffit, pour que la remarque s'applique, qu'il existe un chemin l, tel que, s cLs, leiidant vers C sur / de part et d'autre de L et suivant une certaine loi,

tende vers une limite ç(a^)- Il suffit même qu'on puisse trouver deux fonctions g, (x), gi (x) n'ayant respectivement pour coupures que AG et GB, telles que F, (a?) = F(a^) + ffi(^) + ^^i^) vérifie la condition précédente.

Quand la coupure L est une ligne fermée ne limitant pas un espace lacunaire, si cette condition est remplie pour deux points C et D de L, on peut la décomposer en deux coupures CED, GFD.

Quand L limite un espace lacunaire 2, si, pour deux points C et D de L, il existe deux chemins l et /' sur lesquels | F(x') ] ne croisse pas indéfiniment quand z tend vers C sur l, et vers D sur /', à l'extérieur de 2, la coupure peut se décomposer en deux parties CED, CFD. Il suffit môme que, s et s' tendant simultanément vers C et D sur l et l' (suivant une certaine loi), J — ^^ T^ tende vers une nmite '^{x).

Dans tous les cas, cette condition n'étant pas remplie, on peut tracer un chemin arbitraire MN rencontrant la coupure L (qu'on suppose ouverte) au point C, et définir/, (x) et f^ix) de la manière suivante

^,.,=Xî

o-, étant un contour qui passe par M et N, sans rencontrer le chemin Mi\ en d'autres points, et qui entoure AG en laissant x à son extérieur. De même,

ffa entoure BC; /, et /^ admettent respectivement les coupures AG et BG, et la coupure commune MN, qu'on peut prendre aussi petite qu'on veut. En appliquant le même raisonnement à l'extrémité A de AB, on voit que /,{x) est la somme de deux fonctions /[ et f[ ayant

comme coupures la première une ligne MCAM, , la seconde une ligne NCAM, M, est un point arbitraire qui, parfois, peut se confondre avec A, notamment si / — £ ne croît pas indéfiniment quand z tend vers A .

Quand la coupure L est une ligne fermée, on peut décomposer fi^x') en une somme de deux fonctions/, (a:), /^ (a;) ayant respectivement pour coupures les lignes CED, CFD, et les deux coupures artificielles communes MCN, M,DN,. Si l'on remarque que f^ix) et /^{x) deviennent infinies aux points M, N, M,, N, comme log(a;) pour œ = o, il est clair qu'on peut décomposer /, (x), par exemple, en quatre fonctions ayant respectivement pour coupures MCDM,, MN, M, N,, M, CDN,. La conclusion est analogue si L limite un espace lacunaire. On peut, en définitive, décomposer, dans tous les cas, la fonction F(.-r) en une somme de fonctions dont chacune est holomorphe dans l'aire extérieure à un contour fermé ou à une U^ne non fermée ne se coupant pas.

Quand L est décomposée en deux coupures L', L", le résidu de ¥{x) relatif à L' estégalàla valeur de l'intégrale ~ j f,(z')dz, f,(x) n'admettant

que la coupure L' qu'entoure a. Ces résidus jouissent des propriétés ordinaires. Si plusieurs coupures L' ont des points à l'infini, la fonction /(-) qui a pour coupure L' est la somme de plusieurs fonctions dont cUacune admet pour coupure une des lignes L' et une certaine ligne L, arbitraire, ayant un point à l'infini, et qui disparaît dans certains cas.

Les mêmes remarques s'appliquent à la fonction .. et, par suite, à I<i décomposition en produit.

2. La fonction F(x) étant ramenée à une somme de fonctions plus simples, on peut chercher à développer ces fonctions à l'aide des séries étudiées plus haut.

Il est facile de décomposer dans tous les cas F(x-) en une somme de fonctions "^^-/(x), auxquelles le développement (i) s'applique, puisque cetu-

forme de développement convient pour toute fonction /{a?) holomorphe à

l'extérieur d'une ligne (fermée on non) qui ne se coupe pas. La fonction

yGoosle

122 P. PAINLEVE.

F(x) est alors de la forino

La somme ^ A^ est nulle, car A^ csl le résidu relatif à chaque coupure L^.

Les développements (2), (3), (4) peuvent ne pas s'appliquer aux fonctions 9,(a;); nous avons indiqué dans quels cas au Chapitre précédent. On tâche alors de décomposer les fonctions exceptionnelles cpy(ar)enunesommc de fonctions pour lesquelles ces développements conviennent. Mais la chose n'est pas réalisable nécessairement. Ces cas écartés, la fonction F(x) peut se mettre sous la forme d'une somme de p séries (2), (3) ou (4)- Nous avons indiqué les valeurs des résidus en fonction des coefficients de ces séries : la somme de ces valeurs est nulle.

Ces développements fournissent autant de formes de décomposition e]i produit de F(x) : par exemple, la forme (i) donne

¥{.^) = C(,c - a)^.{j, - by. . . . (^ - l)Jl[M.v) - a,y.A^^l

La somme ^a^ •+- 2^, est nulle,

3. Supposons maintenant que ¥(x) admette dans le plan une infinité de sing^ularilés L,, L^, . . ., L„, . .., sans points communs. Chacune d'elles, L, suite ou non d'autres singularités, peut toujours être entourée d'une certaine aire S à double contour, à l'intérieur de laquelle F(a;) est holomorphe : P(x) peut se développer dans S à l'aide des séries ci-dessus, ou bien encore, en se rappelant que l'aire S admet la représentation conforme sur une couronne limitée par deux cei'cles concentriques, on met F(a;) sous la forme

C'est la généralisation du théorème de Laurent. On peut définir la fonction caractéristique de la singularité L comme dans la théorie des points

essentiels, el elle jouit des mêmes propriétés. On peut définir également

fe résidu et Vordre par les intégrales / ¥{z)dz et / y^ dz (u étant le

contour fermé qui limite S à l'intérieur) : ces deux intégrales varient en général avec a-. Il est clair que les théorèmes énoncés sur les résidus et les ordres subsistent avec la nouvelle définition. Enfin, la classification des points singidiers s'étend sans modification aux lignes singulières; mais je renvoie pour cette question à un Mémoire de M. Guichard sur les points G?,s&rAie\s (^Annales de V École Normale, année i884)-

Kn raisonnant comme au n" 1 , on met la fonction F (a;) sous la forme

/, (.x) n'ayant que k singularité L, et F, (a?) étant holoniorplic sur L, (L, peut comprendre un ensemble de singularités). Mais, quand les lignes L,, Lj, ..., L„, ... forment une suite dont la limite est L, existe-t-il une série convergente J.f^{x) = F(3:;), telle que chaque terme n'admette en dehors de L qu'une singularité L,i î Le théorème do M. Mittag-Leffler permet de répondre à cette question.

TtiiioiiÈME BE M. Mittag-Leffler. ~ Soit/„(a;)= i ■ J (f^/i n'entourant que la coupure L„). // existe une fonction H„(x') ii ayant que des pâles isolés sur L, telle que la série ^ [/™(^) — H„(a?)] soit convergente pour tout point x extérieur à Ij et aux L„.

En effet, chaque terme /„(ic) est holomorphe dans l'espace S„ extérieur à un certain contour s^ d'arcs de cercles dont les centres «,,<=':>) ■■■■,<^-n sont surL, et/„(ic) se développe dans S„ ainsi :

On peut prendre un nombre y„ assez grand pour que (quand x varie à l'extérieur d'un contour d^, voisin de (t„ et l'entourant, mais sans point commun avec lui), le reste

ra'l [•- PAINLEVE.

iiît un module inférieur à un nombre positif doimu £„. Si Ton choisit les £„ ric manière que la série V e„ soit convergente, la série ^ ^^J.^) représente une fonction holoniorphe de x pour tout point x qui n'appartient ni à L, ni aux singularités L„; car, pour des valeurs de n supérieures à un certain nombre v, le point x est extérieur aux contours s^, (puisque ces

contours tendent versL quand /* croît indéflniraent), et la série V ll^Jx) converge absolumentet uniformément dans un certain espace entourant .r; d'autre part, la somme V K^^(x') est holomorphe au point x.

Ajoutons que la différence F(^) ~- "^ RgJ^x) peut s'éci-ire

F,„ et H,„ étant liolomorphes dans le voisinage de Ij^^. La fonction F(a;) peut donc se décomposer en une somme de fonctions f„(^) n'ayant qu'une singularité en dehors de L,

G{x) n'admet que la singularité L dans le voisinage de cette ligne.

Les remarques faites sur la décomposition des coupures en plusieurs autres permettent d'apercevoir aisément les cas principaux où le théorème subsiste, les coupures L„ ayant des points communs.

Dans le cas où L limite un espace lacunaire 2, on peut prendre les centres aci des cercles qui forment le contour s^, non plus sur L, mais à l'intérieur de 2. Le cas d'une coupure ouverte AB peut se ramener à celui d'un espace lacunaire par la transformation

Quand l'espace S extérieur à L admet la représentation conforme sur un cercle, on peut donner une autre démonstration du théorème.

Soit x^ = ?(ic) la fonction ^^î/r«ïiW de L; cette fonction représente S

SOR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIOSS ANALYTIQUES, 12,-î

sur l'espace ^ extérieur à un certain cercle C du plan des x, , de rayon R : à des cercles C,^ de même centre et de rayon R^, (R^, étant supérieur à R), correspondent des courbes C7„ entourant L et sans points communs avec cette ligne. On peut raisonner sur ces courbes g^, comme sur les contours .ï„ d'arcs de cercles : la fonction à retranclier est alors de la forme

Ce sont les premiers termes du développement de f„(x) à l'extérieur dn contour (T„ qui entoure L et L„, Dans ce cas [si F(3;) n'admet pas de singularités en dehors des L,, L^, ..., L,, ..., L], cette fonction se met sous la forme

P„ désignant un polynôme en —, — r

On pourra aussi appliquer, dans bien des cas, les développements (2), (3) ou (4)- Par exemple, si L est une courbe convexe à l'extérieur de laquelle F(x) n'est pas définie, et qui sert de limite à des espaces lacunaii'es L„, à l'extérieur desquels le développement (3) converge (les L„ peuvent être des points isolés, ou des cercles), la fonction F(a?) est de la forme

Les Pv(-3), P!/"(^) sont des polynômes en z, comme les Qj,(z) [ces derniers sont les premiers termes du développement des /p(z) à l'intérieur d'une aire convexe, qui tend vers L]. On peut prendre aussi pour les Qp(x) des fonctions qui n'ont que des polos distribués sur L, ou des pôles cxtériéiu's à L (d'après la première démonstration).

126 p. PAINLEVÉ.

Si la fonction F(x) a m singularités, telles qne L, clic est la somme de m développements analogues aux précédents.

Au théorème sur la décomposition en somme correspond un théorème sur la décomposition en produit. 11 suffit d'appliquer les résultats obtenus à

-pj—l- Si ¥(x) présente une suite de zéros a,- et de singularités bj, qui

tendent vers L, on a [d'après la formule (a)]

les h„(x) ne s'anuulant pas et n'admettant qu'un(^ singularité b^, en dehors de L; X; désigne un point de L, tel que ja^ — a,| tende vers o avoc-n et ^,(3) est un polynôme en z. En particulier, quand les singularités bj sont des points isolés, on a

Y„(s) est une fonction holomorphe de z, g'i,(z) un polynôme en z. Si ces singularités bj n'existent pas, on retombe sur la formule de développement en produit, indiquée par M. Picard.

On obtient d'autres formes de développement en appliquant la formule (3). Par exemple, si L est un cercle C de centre O à l'extérieur duquel F(x) est définie et holomorphe, les zéros de F tendant vers G, F(x) se développe ainsi

On parvient au même développement en appliquant la formule (4), ou eu se servant de la remarque qu'on peut prendre les points «^ k l'intérieur do C, et ici les faire coïncider avec l'origine.

Il est à remarquer que cette dernière forme est identique à celle du développement de F(x) quand F a l'origine pour point essentiel et est holomorphe dans le reste du plan. Plus généralement, si C est la limite de cercles C„, qui enferment un espace lacunaire de F(x), le développement de la fonction en somme ou en produit peut se mettre sous la même forme que dans le cas où F(a7) admet le point essentiel O, limite d'autres points essentiels.

On voit quelle diversité de formes on peut donner aux développements précédents. La seule difficulté pratique de la méthode réside, comme pour le cas des points essentiels, dans le calcul direct de la fonction désignée par G(x) et qai admet L comme coupure.

11 est facile dès lors de former l'expression la plus générale des fonctions simplement et doublement périodiques. Nous dirons nn mot de ces dernières.

4. Applications aux fonctions doublement périodiques. — En premier lieu, le théorème des résidus et le théorème de Liouville subsistent quand la fonction doublement périodique F(^) admet des singularités quelconques; car les intégrales / F(s)t?s et / -p^rfs (P désignant le parallélogramme

des périodes) sont nulles. Donc la somme des résidus el celle des ordres sont nulles dans P.

Si, de plus, on considère l'intégrale —t~ f ' ,"' " , on voit, sans peine, en la mettant sous la forme

^J.zLz)l{V)-^Jh^{z)d=,

que sa valenr est de la forme mto + /ito', oj et w' désignant les périodes.

D'autre part, soit f^x) une fonction holomorphe et ne s'annulant pas à l'extérieur d'un cercle C de centre a, .

la manière suivante

Si l'on considère chaque fonction fi{x) ~ f ■ -__ [ct/ entourant un

seul zéro ou une seule singularité de F(ir)], la somme des quantités «,a,- + a,-, dans P, est de la forme mto + noi'.

En particulier, supposons ({u'on développe la fonction /l(.x) en somme

128 p. rAINLEVFl.

OU en produit, à l'aide de la série i,

''^^^ == '"■ + ^ûT^,- + [,(..) -«.r +■ ■ ■

les sommes "V/c, clV /?^- doivent éti-i; nulles dans P, ella somme V(7i;a;~p,)

est de la forme mm + thù'. Ceci résulte des égalités établies au n" 1 du Chapitre précédent. Nous avons dit que a,- était Yafjixc de la singularité correspondante : si l'on appelle reste de cette singularité le coefficient [3; changé de signe, on voit que la somme des restes des singularités dans P, augmentés du produit de leur affixe par l'ordre correspondant, doit être égale à une somme de multiples des périodes cd et oj'.

Si l'on applique à /i(x) les développement (2), (3), (4), les égalités ('i') et (4')) établies dans le Chapitre 1, fournissent les valeurs des trois intégrales définies considérées, en fonction des coefficients.

Réciproquement, on peut former une fonction doublement périodique ayant p singularités données (ou p singidarités et p zéros) dans P, si les résidus, ordres et restes de ces singularités, véiniient les conditions énoncées. Il suffit, pour établir cette réciproque, de raisonner comme dans le cas des points essentiels : on peut entourer toutes les singidarités (formées ou non d'un ensemble de singularités distinctes), de contours d'arcs de cercles, et appliquer la méthode de M. Appell, ou la méthode de décomposition en sommes et en produits doublement infinis. Je renvoie, pour cette question, au Mémoire déjà cité de M. Guichard.

Quand les singularités se composent de n espaces lacunaires, on peut appliquer aussi à ces espaces le mode de développement (3), où la fonction élémentaire est remplacée par Z(s — x). Les termes du développement sont des fonctions linéaires de Z et de ses dérivées. C'est la généralisation de la méthode de M. Appell.

Il est facile encore de développer V(x) (cette fonction présentant dans P un nombre fini de zéros ou de singularités) en sommes ou en produits doublement infinis, dont les termes 9p(^ ■+- mw +■ nia') sont représentés par des intégrales définies ou par des développements de la forme (i), (2), (3) ou (4). La démonstration ordinaire s'étend aisément au cas actuel.

Enfin, si Ton emploie la méthode de M. Ilermile, on voil que

F(^).= /(sn.î;)-hcn(x)dn(:s)9[SH(^)].

et l'on sait développer f{t) et <p(i) qui ont n sing:ularitês dans le plan.

Les fonctions de première et de seconde espèce s'obtiennent de la même manière; mais je n'insiste pas davantage sur ces considérations, dont le seul intérêt est de montrer la généralité des raisonnements sur lesquels repose la théorie des points essentiels.

5. Extension des théorèmes précédents aux fonctions y{x,y, z) qui salis/ont à l'équation AV^o. — Les théorèmes que nous venons d'énoncer ont leurs correspondants dans l'étude des fonctions Y(x, y, z) de trois variables, qui satisfont à l'équation AV = o. Nous nous contentons de les énoncer: les démonstrations se déduisent de celles qu'on a données dans

le plan, à condition de raisonner sur l'intégrale / / \ -^ — '■ ~~ TT^U '^*' comme sur ( ^-^z

1° Une fonction affectée de n singularités (sans points communs) est la somme de n fonctions V^ n'ayant chacune qu'une singularité. — Lorsqu'une ligne L divise une surface coupure a en deux parues (t, et o-^, et que, sur une surface 5 traversant u et passant par L, V et ses dérivées premières ne croissent pas au delà de toute limite, on peut décomposer la fonction qui admet cr comme coupure, en une somme de deux fonctions admettant respectivement les coupures <t, et a^. Cette décomposition est possible dans tous les cas, a condition d'ajouter une coupure arbitraire s.

2° La somme des résidus de V est nulle dans tout l'espace, en définissant convenablement le résidu relatif au point à l'infini. ( Le résidu de o- est la valeur de l'intégrale définie / / j—ds, s entourant la seule singularité u. )

Quand V(a?, y, z) présente des espaces lacunaires sur la surface desquels V est continue, on peut développer les fonctions V^ sous les formes (2), (3) ou (4)- La somme des coefficients de ces développements qui représentent les résidus est nulle,

3" Lorsque les singularités S„ de V forment une suite ayant pour limite S, on peut encore mettre V(a?,y, z) sous la forme "W(ic, 7,2) + 2V„(a;,/, 2), les yjx^y^ z) n'ayant qu'une singularité S^ et des pôles sur S, et "W(a;, y, z)

PAlilS. - IMPHIMERIE DE GAUTH I Elî- VILf.ARS,