V. PA!KLE"VE

hypothèse, phis grand qu'un certain nombre positif. Menons en M la normale MY vers le centre de courbure; MX est la direction perpendiculaire à

M Y qui fait avec M Y l'angle — -; siadésigne l'angle (MX, Oa?), un simple

changement de variables montre que, pour le point M, sp: doit être égal ou

inférieur à l'expression : — ; — •^, ■ . ■ — ^^ (x variant dans l'intervalle où le

dénominateur est positif). Cette condition est satisfaite à coup sûr si 2[j. est

inférieur (ou égal) à la plus petite valeur sur s de —^ — — — j-- Soient donc

{x'^' + y^r Dlat^i'sto/icemarimadedeux tangentes parallèles et 2m la cow/'èMrem(«jma

do s; il suffit de prendre R supérieur à la fois à D età — > pour que les

cercles de rayon R tangents intérieurement à s renferment s.

Le raisonnement n'exige pas à la rigueur que s admette en chaque point

un cercle osculateur, c'est-à-dire que -j- tende vers une limite, mais seulement que, pour les valeurs de as inférieures à un certain nombre S, le rapport -^ soit supérieur à une quantité finie, 2m, le long de s.

Si s présente des points anguleux, il suffit que la condition relative à R soit remplie pour chaque arc distinct de s.

Quand x'y" — y'x" s'annule en des points M, de s ne formant pas une suite linéaire, on décompose .î en deux parties : la première u comprenant ces points et dont la longueur peut être rendue aussi petite qu'on veut; la secondes — <7; on raisonne sur / —^ — comme sur l'intégrale analogue

prise le long de s. On voit ainsi que cette intégrale- peut se développer en série de polynômes : 2P^(n). Quand on fait tendre a vers zéro, l'intégrale relative à a tend vers zéro, et les polynômes P'„('^) icndent vers une limite P„(«); 2P„(a:^) représente F(^).

Si les points M, forment une suite linéaire sur s (par exemple, si s comprend des segments de droites), on a recours à la remarque générale suivante : soit une aire S intérieure (ou extérieure) à une courbe fermée s; s'il

existe, en dehors de S, un point A, tel que, en posant s, — __ 1 l'espace S se transforme en un espace S, intérieur à une courbe convexe s,, sans points d'inflexions, la fonction F(a;) peut se mettre, dans S, sous la

F(., = fp.(-^,).

A quelles conditions ce point A existe-L-il'? On sait que la figure qui correspond à s dans la transformation s, =^ __ peut coïncider avec la figure

inverse de s par rapport au point A ( i étant la puissance d'inversion). Si l'arc BC de s tourne sa convexité vers A, l'arc inverse 6,0, tourne sa coucavité vers A. Si BC tourne sa concavité vers A et si A est intérieur à tous les cercles C osculateurs de l'arc BC, B,G, tourne sa concavité vers A. Si A est extérieur à tous les cercles C, B, Cj tourne sa convexité vers A. Quand un cercle C passe par A, B, C, présente une inflexion.

Ceci posé, une discussion très simple montre que le point A existe aux conditions suivantes : S ne présente pas d'angle rentrant ; de plus, si C designe les cercles osculateurs à « en tous les points où s tourne sa convexité vers S, C" les cercles osculateurs aux autres points, il faut qu'il y ait, en dehors de S, une aire intérieure à tous les cercles C et extérieure à tous les cercles C".

Un point quelconque de cette aire jouit de la propriété énoncée.

Les cercles C et C" se réduisent à des droites aux points d'inflexion. Si, en particulier, s est convexe, mais renferme des segments de droites, il faut, pour que A existe, que les demi-plans situés par rapport à ces droites du côté opposé à la courbe s aient une partie commune (ceci a toujours lieu si s ne renferme que deux segments de droites).

Quand le point A n'existe pas, on peut toujours (S étant une aire quelconque sans angle rentrant) décomposer s en arcs PQ assez petits pour qu'il existe, en dehors de S, un point a, tel que les cercles tangents à s en chaque point de PQ et passant par a soient extérieurs à S. On peut écrire

la fonction/, (a?) — / " présente la ligne PQ comme coupure. Po-

88 p. l>Al^LEVlï.

L'arc PQ se transforme en un arc P'Q' donl LouLes les tangentes sont ordinaires et extérieures à l'aire S'. La fonction /i ( — + «) est développable en série de polynômes dans un contour convexe s' comprenant P'Q' et renfermant l'aire S'. Remarquons toutefois que/, devient infinie aux points P' et Q', mais de l'ordre do Ls pour s = o ; / ,| , représente donc bien encore

/, (x'), et le raisonnement employé n'est pas en défaut. II résulte de là que F(a;) peut se développer ainsi, dans l'aire S,

a,, a.,, . . ., a;, étant des points extérieurs à S.

Le cas où S est l'aire extérieure à une ligne ouverte se ramone au précédent par la transformation déjà employée

Les développements (2), (3), (4) s'étendent facilement aux fonctions de plusieurs variables.

3, Propriétés des développements (2), (3) et (4)- ~ Les développements (2), (3), (4) convergent imiformément et absolument dans toute aire intérieure à S et sans point commun avec s. Leur convergence est comparable à celle des progressions géométriques. Les dérivées de F(ic) sont représentées par les séries obtenues en dérivant les différents termes de ces développements, séries qui sont de même forme que les premières.

Etudions, en particulier, le développement (2), Les termes 9v(s) de ce développement sont identiquement nuls dans l'aire D extérieure aux cercles a,, a^, . . ., a-k, qui ne renferme pas S. Par suite, la somme de la série (2) est nulle dans 2, et égale à F(ic) dans S. On déduit de là un moyen de former des séries dont les termes sont des fonctions rationnelles, et qui représentent deux fonctions quelconques dans deux aires distinctes absolument quelconques.

Le développement (2) est possible d'une infinité de manières. En effet, quand la fonction 9v(^) est déterminée, ses coefficients ne le sont pas entièrement; déplus, on peut ajouter aux termes de la série (2) les termes d'une

série de la forme (pv(^)) "î^i représente zéro dans l'aire 2', extérieure aux cercles a,, a^, . . ,, a^, et renfermant S.

Remarquons que, dans la démonstration, on pfiut remplacer lu fonclioii - — — par la fonction \{z — :r), ■jj(a?) ayant au point rc = o un pôle d'ordre i, dont le résidu est égal à Tunité, et ses points singuliers A,, A^, ... étant tels que les points ar + A,, a; 4- A^, . . . restent compris dans l'aire 2 quand x reste compris dans Taire 2'. L'expression j^^ — r^ est alors remplacée par -r;-'^(s — a;,), et les coefficients sont indépendants de la forme de ']^. On peut prendre, par exemple, pour (j^ (s) la fonction Z(s). On déduit de \l\, pour un contour quelconque, des remarques analogues à celles cpi'a indiquées M. Appell dans le cas d'un contour d'arcs de cercles (').

Si nous considérons les premiers termes de ^, (ic)

On voit que, dans le cas où S est l'espace extérieur à un contour s, (a') -'r- fY{œ)dœ-=a'^b' + ...+ l\

c'est-à-dire que cette somme est égale au résidu de la coupure s. Quand S est l'aire intérieure à s, rappelons-nous que

et que

ft. A +...-4-/^ =

identiquement. D'autre part.

(') Malkemalische Aiinalen, l. XXI.

90 p. PAINLEVÉ.

Ajoutons un mot au sujet des développements (3) et (4 )■ Soit d'abord h série (3)

Comme les dérivées successives de F(a;) sont représentées par les séries que forment les dérivées des termes, on en conclut que la série

converge et est égale à F(o). Plus généralement,

Les coefficients de (3) ne sont pas déterminés : on peut se donner arbitrairement les II premiers termes du développement (si gi-and que soit n)\ on peut aussi exiger qu'à partir du p'^""^ terme les polynômes ne renferment pas de terme de degré inférieur à/>, et que, pour y <Cp^ Pv soit égal à kx"-., k coïncide alors avec

Fno)

Le développement (2) ne converge pas, en général, en dehors de S, car les séries que nous avons intégrées pour l'obtenir divergent en deliors de S. Mais posons le = 9(2), fp(s) étant holomorphe et sa dérivée ne s'annulant pas dans S. A l'aire S correspond une aire S' que nous supposons convexe; ;: = ^(«) dans S' ['}'(«) est holomorphe | ; on voit donc que F(5) = F, («) est holomorphe dans S', et, par suite,

(5) rU) = 2P„[9(3}].

Si à une valeur de u correspondent, dans le plan des z, d'autres valeurs s,, z,,, . . ., la série (5) converge aussi dans les aires S,, Sj, ... décrites par s,,

z.., Cette remarque s'applique aussi bien aux développements (2) et (3).

Quand l'aire S est extérieure à un contour ç,

dans le cas le plus général. On voit que

a'„ désignant le coefficient de — — — dans Pj,, etc. On pent, dans ce développement, faire en sorte qu'à partir de v = /t les P* ne l'enferment plus de termes de degré inférieur à n en , et que, pour v <C. n, les Pj se réduisent à 7 :--■ Faisons, en particulier, v = 3 ; dans ce cas,

¥ {x) dx — a\^ b\+ . . .+ l\.

Quand s se réduit à une ligne ouverte dont a el b sont ies extrémités, on sait que les développements (2), (3), (4) subsistent à condition d'y remplacer X par ic, ^ - Le H — - — - -+- \l(x — a){x — 6) : le signe du radical

étant choisi de sorte que x, devienne infinie avec x, lim \x^ — x\^ o pour X = a>. Si Ton se reporte aux égalités établies dans le n" t, on voit que les égalités (2') et (4') sont encore vraies dans ce cas.

Telles sont les principales remarques relatives à ces développements. Il est facile d'appliquer, par exemple, le développement (3) à une aire convexe, formée d'arcs de cercles, disposés d'ailleurs d'une façon quelconque. Quand F(a;) est une constante, les coefficients se calculent aisément, et l'on obtient ainsi la somme de séries assez complexes. Mais je n'insiste pas davantage sur ce point pour le moment.

4. Nous avons, dans les raisonnements employés, supposé que F(3) était holomorphe dans S et continue sur s; quand cette condition n'est pas remplie (sauf dans certains cas particuliers indiqués dans la première Partie, au

lemme II du Chapitre II), l'intégrale / -^ ":} n'a plus de sens ou ne représente pas F(ii:), et la démonstration donnée tombe en défaut.

Prenons, par exemple, le cas d'un contour convexe s. Soit x im point de S; entourons ce point d'un contour fermé a intérieur à .î et convexe :

■.iv:Y{x)

92 p. PAISLEVU.

on peut écrire là encore

(a étant une foncLion continue de s), cl la série 2P„(x) converge clans a- ;

quand le contour a- tend vers s, l'intégrale / ■ -■- ^- - est constamment égale

à 2 (Tc F(a?) ; mais rien ne prouve c|ue les termes du second membre tendent respectivement vers une limite.

Supposons qu'il existe une fonction de :, P + ;Q, holomorphc dans la partie do S voisine de s, continue sur s, et telle que, si l'on pose

le point «, quand z parcourt s, soit sur la normale en ;; à *. Considérons dans S l'ensemble des courbes u voisines de s, et normales en chacun de leurs points s à la droite joignant ce point s au point a défmi par l'égalité précédente. Nous admettons encore que ces courbes sont fermées, sans points communs, et que chacune d'elles est comprise à l'intérieur des cercles qui passent par un de ses points z et ont a pour centre.

Choisissons une courbe (T assez voisine de s pour que P -H îQ soit holomorphc entre s et t; on peut écrire, pour tout point x intérieur à rr,

F(.)= j^X"^ = î^2X<fe^>w-=2 ■>"<"•

Si l'on désigne par t' une seconde courbe t, comprise entre s et la première, pour tout point x intérieur à s',

"<-' = ïs 2X (fel"'"*"' ■'-■ =2 ''■■'■"">■■

mais

X(fel^-''<='"--==X(î^°""^'""

Car la fonction placée sous le signe / est holomorphe entre u et t'. lien résulte que la série 2P„(œ) coïncide avec la série 2P^,(ic); elle converge donc à l'intérieur du contour a' et, par suite, dans l'aire S.

Tout revient, par suite, à trouver une fonction V -+- iO jouissant des

propnétés admises. Nous allons démonlrer qu'il existe une telle foncùoii pour toute courbe convexe s, n'ayant qu'un contact simple avec toutes ses

(^l étant l'arc de courbe) existent et sont continues.

Prenons comme paramètre arbitraire l'angle ô que fait avec la direction fixe Ox la droite OM qui joint l'origine O, intérieure à s, k \m point M

de s. Le loue; de s, -j^, --Â sont continues, et l'expression — ^- ~ - ^—^. - reste

supérieure à un certain minimum positif.

Par hypothèse, la droite (s — a) est normale à s, quand z parcourt s. Il

faut trouver une fonction P-hîQ, telle que ^ tende vers — ^ quand z tend

Si Iti fonction P, + ('Q, existe et que U -H Vi désigne son inLogralc, U prend sur s une valeur constante.

Ceci posé, la démonstration est facile dans le cas où s est une ligne analytique régulière.

Cas où s est une ligne analytique régulière. — Soit s, = f(^) une des fonctions qui représentent, d'une manière conforme, l'espace S sur un cercle de centre O. Posons U 4- Vi = Li|)(3): U prend une valeur constante R, le long de s. Nous avons démontré, dans la première Partie, que la fonction U -f- î'V est continuable au delà de S, et holomorphe dans le voisinage de s, de part et d'autre. Il en est de même de ses dérivées successives. Soit p^^^, Q, = ^;le long de jf, P,dx^q,dy ^ o; P. et Q, ne s'annulent pas à la fois sur s, sinon la courbe s, \](x,y) = R,, présenterait un point singulier.

vers M, telle,

, par

suite, que, le long de s,

Pda:-\-Qdy = o.

Posons

il vient

P,da: — Q,df — 0.

Si l'on pose

i+OÎ I>î + l

94 l*- PAINLEVÉ.

la fonction P 4- /Q est holomorplic et diffcrentc de zéro aux environs de .î, eX prend sur s des valeurs telles que Pa;' h- Qy'= o.

Cette fonction est holomorphe dans tout l'espace S, car P + iQ — ^Tr4 >

et f'(z) ne s'annule pas dans S; P -F i'Q s'annule pour la valeur z,, qui annule <p(s), valeur qu'on peut toujours supposer être o. Dans le voisinage de

s = o, P + i'Q est de la forme 5(1 -+- zA), car le résidu de ^-tt' relatif au pôle z ^o, est égal à -)- ï ,

Considérons alors les courbes C normales, en chacun de leurs points z, à la droite z — a. Elles vérifient l'équation différentielle Pdx-hQdy:=o, qui a pour intégrale générale U=R. Pour des valeurs de li<CR| , ces courbes sont fermées, sans points communs, intérieures à s et tendent vers s quand lî tend vers R,; elles entourent le point - = o pour lequel ^(s) s'annule. Je dis, de plus, que ces courbes sont convexes et n'ont qu'un contact simple avec leurs tangentes. En effet, soit ù l'angle que fait avec Ox la noi'malc en M à l'une des courbes C. Il suffit de prouver que -jp,- garde un signe constant et ne s'annule pas quand M parcourt la courbe C. Par hypothèse, surs, -jô est toujours positif; désignons par x = y'(ô, R), y = /,(^, R), les coordonnées d'un point de G (C correspondant à ia valeur K), / et /, sont des fonctions continues de et de R :

d6 ~ dJ TFj ^ âï- dô ~ d^ ■'' "^ d'y ■'' "

On sait que

— 7 ^— fi et, d autre pari, — — lantr^.

On déduit de là que

A étant une fonction de et R (ou de x et y) éeale à tt ^ ; X est

\ y / G Vx~h Qy

une fonction continue qui ne s'annule pas dans S, et qui, par suite, garde

un signe constant; en etfet,

SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIOWS ANALTriQUES. CfS

[t-(xy) est lu partie réelle du produit (P + (Q)- (holomorphc clans S, puisque P + i'Q s'annule pour s — o); c'est donc une fonction qui satisfait à l'équation Ajj: — o, régulière dans S, et prenant sur s une suite continue de valeurs dont le signe est constant; autrement, Fx-{- Qy s'annulerait sur s, et une tangente à la courbe s passerait par l'origine O, ce qui est impossible. Comme la fonction X est égale à i pour s — o, elle est toujours positive. On voit ainsi que

de \ ^ ôa; dyj'

ii=arctang — — =i arc tang-r^,

par suite

dQ -^ P^ + Qj

P^ est une fonction qui satisfait à l'équation AP!^, — o, et prend sur s des valeurs -35 V) toutes positives. Comme elle est régulière dans S, elle est constamment positive dans cet espace; -^ est donc toujours plus grand que o sur une courbe C.

En dernier lieu, les cercles décrits de a comme centres et passant par ^, comprennent-ils à leur intérieior la courbe C qui passe par ce point s? Soit C, une des courbes C; traçons un cercle qui lui soit tangent et dont le centre soit du côté du centre de courbure de C,. Ce cercle entoure C, si son

rayon r est supérieur à la fois à t^ et à ' d étant la distance maxima

dé deux tangentes parallèles de C,, et 2m le minimum sur la courbe de l'expression i^-^- — ^^) c'est-à-dire de la courbure de C, (ou une quantité iu-

féricure à ce minimum). D'autre part, d'après ce qui précède,

g6 p. PAINLEVÉ.

Soit B la plus pctile valeur de P^ sur s; dans l'aire S, P'(x') est au moius égale à B; soit b le maximum de v/P* + Q^ sur s, et D la distance maxima de deux tangentes parallèles de la courbe s.

Il suffit que r soit supérieur à la fois à D et à — ■■■ Cette dernière

quantité garde la même valeur quand on multiplie P -i- (Q par une constante K.

Ce point établi, on peut toujours (sans que rien soit modifié dans les raisonnements précédents) multiplier la fonction P + ÎQ par un nombre réel et positif k, assez grand pour que (ja désignant le module minimum de P ■+- i'Q entre C, et s), \i.k soit supérieur à D et à — ttw^ — La fonction /f(P + i'Q) remplit dès lors toutes les conditions exigées : les courbes C, comprises entre C, et *, sont intérieures aux cercles qui passent par un point *; de ces courbes et qui ont a pour centre; car le point a^ z — kP — ikQ est sur la normale en s à la courbe C, et à une distance de s supérieure à r, du côté du centre de courbure x,, y,, puisque

h étant positif. Il est même aisé de voir que l'on peut prendre k assez grand pour que cette condition soit remplie pour toutes les courbes C (si voisines qu'elles soient de l'origine).

On pouvait choisir au lieu de ç(s) une fonction P(2) (dont la partie réelle fût constante sur s), et présentant dans S des singularités quelconques. Le raisonnement précédent s'applique aussi bien.

Cas où la courbe s est quelconque. — Lorsque la courbe convexe s vérifie seulement les conditions énoncées, la démonstration est plus délicate. Nous prouverons, en premier lieu, qu'il existe une fonction P ■+- l'Q, holomorphe dans s, et prenant sur s une suite continue de valeurs telles que

P/r'+oy^o.

Soit, en effet,

ii = arctang^ ( = arclang^^ =F(0) sursV

F(ô) croît de i-ïi en même temps que 9. Posons £2' = ii~9 = G(Ç) surs.

yGoosle

SUR LES LIGiSES SINGULIÈRES DES FONCTIOKS ANALYTIQUES. 97

On sait qu'il existe une fonction Q', régulière dans S, satisfaisant à l'éqiuition AD'= o, et prenant sur s la suite continue de valeurs G(9). Désignons par R la fonction conjuguée de 0',

11 suffit d'établir que R prend sur s une suite continue de valeurs.

Soit z,=x,-hiy, une des fonctions de z qui représentent d'une manière conforme l'espace S sur un cercle C, ayant l'origine pour centre et de rayon i; 'R(x,y) devient une fonction R,(œ,, y,) quand on remplace x et y en fonction de a;,, y,; R,(ar,,yi) est régulière dans C et satisfait à Téquation AR, = o.

A chaque point z de s correspond un point z, de la circonférence C, et réciproquement^ ô est une fonction continue de f qui croît constamment avec 53 et augmente de 271 en même temps que 9 (9 désigne l'angle que fait avec Ox, la droite qui joint O à s,); G(0) est une fonction continue de 9, Gt(o'). A une constante réelle près, l{,(x,,y,) est donnée par l'intégrale

(a et o sont les coordonnées polaires d'un point z,). Remarquons que

£ tend vers o avec AO, et, quand G'(0) est continue entre o et sir (ce qui est riiypothèse), on peut trouver un nombre A, assez petit pour que, | Aô| étant inférieur à A,, |£J soit inférieur à un nombre ï], qu'on peut prendre aussi petit qu'on veut, et cela pour toute valeur de entre o et 271.

n s'ensuit qu'on peut trouver â assez petit, pour que, j ij/ 1 étant plus petii

que 0,

I £ I étant inférieur à tj, quelle que soit la valeur de ç entre o et 271:. [Dans G'(Q), représente la valeur de correspondant à 9.] On aura donc

On peut trouver un in cniiipi'is eiiLrc i et a,, ci]

quel que soit tp.

Considérons i(a, ç) ;

p. TAINLEVE,

Dmbre a, assez voisin de l'unité pour quo, a étant I iïit

Admettons, pour un instant, qu'il existe un nombre a\ assez voisin de i pour que, a' et a" étant compris entre a\ et r, on ait, quel que soit ç,

|Ji(a',o}-J,(«\9)|<Y). ,

Remarquons que la différence 0(cp -i- 4') — 9(ç) a le signe de 'j^; par suite, dans l'intégrale J,, tous les éléments sont positifs; Ja s'obtient en multipliant tous ces éléments par une quantité e de module inférieur h tj; par suit<',

I X I étant inférieur à r^, et la différence

J(a',9)-J(«",9)=.(;'((!)[J.{«',9)J,(«'',cp)] + a'J,(a',9)-«M,(«",9)

(|a'| et \a"\ sont inférieurs à yj). Soient M le module maximum de G'(0), quand 6 varie de o h 21:; m la valeur maxima de J|(a, <f). Si a' et a" sont comjn'is entre i et a\ , on a

|J(«',9)-J(«%9)|<-/,(M + am).

M est indépendant de §, m décroît avec S, par suite, avec ■/]. On peut donc choisir ■/] assez petit pour que

■(i(M -h m) soit inférieur à -■

En définitive, il existe un nombre A assez voisin de 1 pour que, a' et a" étant compris entre i et A, on ait

quel que soJt 9 (1 étant un nombre donné, aussi petit qu'on veut).

Sril LES LIGNES SINGULIÈRES - DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ()()

Mais ceci suppose l'existence du nombre a\ . Tout revient donc a démontrer que Texpression

' ' ,y g i-h a' — cacoaJj ^ ^

tend aniforracinent vers une limite le long de c, quand a tond vers i .

Pour cela, considérons encore la fonction s, de z, dont nous venons de faille usage, et soit 3 — 9,(3,) la fonction inverse. Prenons un point M sur,?, et désignons par u + iV une fonction de z holomorptie dans le plan ; ii{t, y) prend sur s une suite continue de valeurs ^(0),

x't, et y'it sont des fonctions continues de s qui ne s'annulent à la fois pour aucun point de s, et l'on peut toujours choisir u de telle sorte que -77- ne soit pas nul au point M. Par suite, dans un certain intervalle aMh de *■, le module de -7^ [ou de g'(^y} ^^^ supérieur à un nombre ja. Si l'on remplace s en fonction de 3,, u-\- iv devient une fonction u, -+- iç, de z,, holomorplie dans le cercle C, et g(Ji) une fonction continue de cp, ^, (9).

Ceci posé, on voit, comme plus haut, qu'il existe un nombre â, assoz potiL pour que, \'^\ étant inférieur à S,,

g,(o + d.) - ,n(9) = iHf H- ^) - ^J(?)] U"'(&) + Ej.

I £ I étant inférieur à ï], quel que soit ç. [Dans g'{'i), désigne la valeur de qui correspond à 9.] Si S, est inférieur à â, on remplace S par S, dans le premier raisonnement, qui subsiste aforliorl. Sinon, on garde Z comme intervalle. Dans tous les cas (â représentant la même valeur ipe dans la première partie de ta démonstration), on a

„Y,(,.„ ,-,) = " V,(», ,)= j;"""^^!iî-tiJj^ai|J,i„^,<,^,

^ /,■(«,¥)+/■(«, 9}, Mais on peut trouver un nombre a, assez voisin de i pour que, a étant

lOO 1'. PAISI.EVÉ.

compris eiiU'c a, et i, on ait

aTrir,(a,9)^-(',(.,V)|<«.

De même, il existe un nombre 6, tel que, a étant compris entre 6, et i , on ait

]/f(«,9)-A(.,9)l <-fl.

Il en résulte qu'on peut trouver un nombre A assez voisin de i pour que, a' et a" étant compris entre A et i , on ait

Mais on voit, comme plus haut, que

,/(«',9)-/(«",9)=o-'(9)[J,(«',9)-Js(«",9)] + P'J,(«',9)-P"J.(«%<?).

( I ^' I et ] P" I étant inférieurs à •/]).

Ne faisons varier ^ qu'entre les limites ç„ et ç, qui correspondent aux extrémités de l'arc a, M, b, (corrélatif de aMb). Dans cet intervalle, ]^'(9)j est supérieur à [a. L'égalité qui précède montre d'abord que J,(a, 9) ne croit pas au delà de toute limite quand a tend vers 1 , Sinon, a' restant fixe, a" tendant vers 1 , le second membre croîtrait indéfiniment. Soit donc v une limite supérieure des valeurs de J, (a, f) quand a prend toutes les valeurs de A à I (ç variant entre ^0 et ç,) : | 3 (a', f) — -1(0", 9) | est inférieur à ~ — — , quel que soit ç entre ç, et ^,. Comme p: est indépendant de S, et que (' tend vers o avec S, et par suite avec ïj, on peut choisir ï] assez petit

pour que —^ soit inférieur à a. Le raisonnement pouvant se répéter

pour un arc aM6 quelconque, iiexiste un nombre d^ assez voisin de i pour que, a' et a" étant compris entre i et a\ , on ait, quel que soit o entre o et 'IV.,

En conséquence, la fonction Ii,(«, 9) tend vers une limite R,(i, 9) quand a tend vers i , et cela uniformément le long de c. D'après le lemme I du Chapitre II (de la première Partie), R, (i , <p) est fonction continue de ç ; la fonction R(^,y), et par suite P -f- iC^, prend donc sur s une suite continue de valeurs vérifiant la condition

yGoosle

SLTi LES LIGNES SINGULIÈRES DES FOKf.TlOXS AN1L\TIQUES. 101

Déplus, P et Q ne s'annulent pas à la fois sur*; sinon li(^x,y), égale i'i — L \IP^ + Q- -I- Lp, deviendrait infime en un point du contour s. Posons

Le long- de s, P,-+-/Q, est continue, et P,dx — Q,dy = o. De plus, P + (Q étant holomorphe dans S et ne s'annulant que pour z = o,

(H(s) est holomorphe dans S]. Considérons l'intégrale f P,dx — Oi dv = U (^, 7) ;

elle est indépendante du chemin suivi entre (x^,y^) et (x, y), pourvu que deux chemins différents ne comprennent pas l'origine. Elle est de la forme

\u(x,y) étant régulière dans*]. D'après le lemme TU du Chapitre 11, si (a^ojjKu), et (3;,jk) sont deux points de s, et /un chemin quilcs joint .'i Tintérieur de s, les deux intégrales / P,dx — Q, c?>' prises, l'ime sur le chemin /, l'autre sur s, sont égales. Comme on a P , dx — Q, dy =^ o surs, U prend sur s une valeur constante. L'intégrale 1 P,dx — Q^,dy est donc nulle, et

comme, d'autre part, elle est égale à — 21:^, on voit que ^ = o. Multiplions enfin P ■+- i,Q piir œ, \](x,y)est divisée par a, et prend la forme

surs, \](x,y) est constante et égale à R,. Comparons cette fonction au logarithme népérien de |^(2)|î 9(2) étant une des fonctions qui représentent d'une manière conforme l'espace S sur un cercle de centre O et rie rayon e"', et qui de plus s'annulent à l'origine. La différence

est une fonction U, (x,y), régulière dans S, satisfaisant à AU, — o, ets'annulant sur 5; elle est donc identiquement nulle.

(Jc ])oint élahii, on voil, comme dans le cas où s cbL analytique, que les courbes C ou U^R(R étant inférieur à R,) sont des courbes fermées, sans points communs, entourant l'origine, et normales en chacun de leurs points z à la droite z — a (s — a = P + iQ)'t ces courbes tendent vers s quand R tend vers R, .

Il faut prouver de plus qu'elles sont convexes et iCont qu'un contact simple avec leurs tangentes. On démontre, ainsi que dans le premier cas, que, pour une courbe C[a: =/(9, R), y ;=;/,( 9, R)],

\Q. =arctang^ ^ arctang — ^,,etX(R,Q) = p^'^n I ^^^ Q' ^ ^°"^ des fonctions de a; et y (ou de 6 et X) continues dans S et sur s; X est plus grand que zéro dans l'aire S et surs; ^jâ est également positif

en tout point de s. \\ suffit de prouver que l'expression ( — Q-j-, "^P^r:) tend vers -j^ j — ■ . - -■ ■ quand (x^y) tendvci'sun point (^, ïj) de s, -tt-)X|(6|) et 0, étant les valeurs de -^^i 7^et0 au point (^,V]) ; le raisonnement s'aclièvera des lors comme précédemment.

Envisageons donc l'expi

■ression

(-oS-f)-

et cherchons directement s'il existe une fonction p + iq de z telle que ç P + jD Q tende vers la valeur -f-fA quand (ic, y) tend vers le point de s qui correspond à la valeur 6. Par hypothèse, F'(6) est continue et admet la période 2-:z; on sait qu'il en est de même de X, (9). Il existe donc une fonction

W(ic, y) qui prend sur s la suite de valeurs yjÀ ' réguHère dans S et satisfaisant à l'équation AW — o; considérons la fonction de s, (V -I- i W, etsoit p ■+- iq = "H"^ — rry : la fonction p -+- iq répond à la condition énoncée. Cette

SUR LES LIGiSES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Io3

fonction est holomorphe dans S, sauf au point s — o, qui est un pôle du premier ordre ;

(P étant holomorphe dans S), a -h (j3 est la valeur de «■ -i- i'W pour 3 = o, et contient une constante réelle arbitraire {w = w, -+- C), que Ton détermine par la condition que w soit nul pour z =. o. Alors

Soit

<^(^,y)— — j pdx — q dy.

D'après le lemme III du Chapitre II, si (x'(,,/„) et (x^y') sont deux points de s,

M{a:,y)=j pda^ -'-/(ly,

l'intégrale étant prise le lonj^; de s.

Mais, le long' de s,

p d.x -h q df :- F' (9) de :

donc

c.(^',7):--.F[e)-hO.

D'auti'e part, (i)(x,y) est de la forme ^0 4- k\ (x,y), la fonction k, étant régulière dans S. Quand 6 varie de 2.-K, F(0) augmente do 211, par suite j3 = I . Ceci posé, faisons C = o, et comparons les deux fonctions co et ti de x,y. La différence D(ar, y) — (ii{x,y) — ù(x,y) est uniforme et régulière dans S où elle satisfait à l'équation AD =^ o; elle s'annule sur le contour s.

dg .

dfune courbe C tend bien vers F'(ô) quand C tend vers s.

L'existence de la fonction P -f- iQ est donc établie en toute rigueur pour toute courbe s pour laquelle -j^ est continue, et qui n'a en cbaquc point qu'un contact simple avec sa tangente (' ).

(') Il résulte de ce qui précède que, pour toute courbe s vérifiant les conditions précédentes, la fonction js, = <f(z) qui représente S sur C admet une dérivée f'(s) qui prend sur

-.yt) relativi

Io4 p. PAIMLEVÉ.

Cas où la courbe s présente des points singuliers. — Si la courbe s présente des points A; où les dérivées premières ou secondes àa x gI y sont discontinues (sans devenir infinies ou indéterminées), par exemple si s présente des points anguleux, le développement en série de polynômes est

ï une suite continue de raleuis o'(s') et jouit, par suite, des propriétés énoncées au iemme III du Chapitre II ; quand z lend vers un point z' de s, à l'intérieur de s ou sur s,

ç'(a') = lim '' ^ ■\ — i; quand -j=j existe et est continue, (o°(a) existe aussi sur*. Ou

déduit de là plusieurs conséquences ; tout d'abord, soit un segment de courbe AB qui jouit

de la propriété énoncée / —jj^ est continue ); si une fonction/(s) prend sur AB des valeurs

5£l. /'i-s1nr^n^r//i- AR/*.!,T«/p»rr £5il — . A l'aide

fi(l) admettant une dérivée continue -^-i f {z) prend sur kh les valeurs -

dï de la représentation conforme, on ramène ce cas général au cas où AB est un cercle do rayon i, dans lequel /(s) est holomorphc. Soit/(3)--= U -i- (Vi/.ftf ) = ij(ç)+ (i'(u): si

-^ existe sur s, on doit avoir

dU . dU __

dx ^""^ ày '="*'? ^ "'■'?''

àx^""^ dy'^°^° ''^'^''

Il csistc une fonction \li{x,y) régulière dans C, satisfaisant à iUi — o et prenant sur C les valeurs — «'(iJ). Posons

— Us étant la fonction conjuguée de Ut, dont on détermine la constante, en sorte que Us -H j'Ui s'annule pour ^ = o, ce qui est possible, car Ut (3^,^) = o pour z= a, puisque

/ i('(o)rftp = o. Pour une valeur convenable de la constante, 1 Y' dx ^ Q^dy prend

dV . dV dU .dU V^+iV, dy dx~ dj- liy ~ z

V3 étant continu

dU . dU „ e sur c. Donc-T i -^ ou /'U) est cont nue si

.\ une fonction y{.r,y) et sa dérivée ^^ ou ~

montré.

Ajoutons que ■

SCR LES UGMES SINGULIÈRES DES FOKCTIOMS ANALYTIQUES. io5

encore possible, pourvu qu'à chaque point A,- corresponde un chemin mA, dans S, le long duquel / ^^-^ »fstendeversunelimite(a; désignant un point de S). Nous verrons en effet plus loin que la fonction F(x) peut se décomposer alors en une somme de fonctions, holomorphes respectivement à l'extérieur de lignes A, Ao, A^Aj, I^a première se développera en séries

de polynômes à l'intérieur d'une courbe convexe ordinaire A.AsMA, entourant S, et ainsi des autres.

11 suffit même qu'il existe une série de polynômes /(s), convergente dans S, et telle que la différence F(z) — /(z) réponde à la condition énoncée. Ceci est toujours possible quand la fonction F admet les A,, Aj, .,., A„ comme points singuliers isolés. Plus généralement, nous indiquerons dans le Chapitre II d'autres cas où l'on peut décomposer la coupure s en coupures partielles A, Aj,

Si, en plusieurs points A,, A^, . . ., A„, la courbe a un contact d'ordre supérieur avec sa tangente, F(z) étant continue sur s aux environs de ces points, on décompose l'intégrale en deux parties / et / , u désignant un

fragment de s qui comprend tous les points A„, et qu'on peut prendre auswi petit qu'on veut; en faisant tendre t vers o, on voit que le développement subsiste.

Au cas contraire (et ceci s'applique aussi bien quand s n'est pas convexe), s'il existe un point a tel qu'en posant s, = — ■■■ la fonction F, (x, ) = F(x) soit holomorphe dans l'aire S| convexe, et dont le contour s, n'a pas do singularité, F(a;) se met sous la forme 2 P„( ^3—] ■ Le point a cxisti; toujours, quand il n'y a sur s que deux points A,, Aj.

Lorsque s est une courbe quelconque, on peut toujours la décomposer on parties A, A^ assez petites, soit pour que les tangentes en chaque point M

leurs V,{/), V',(0. admettar dérivées partielles.

• AB des '

V(^) ayant une dérivée première continue, la fonction conjuguée est continue sur AB. Si,

le long du même arc AB, V(a', j') prend des valeurs Yiil) admettant une dérivée seconde,

dV dV

-j— et --r- sont continues sur AB. Ces propositions sont utiles dans l'intégration de l'équation

à deux variables AV = o.

loG p. PAIMLEVÉ,

du A, A^ soient ordinaires et extérieures à S, soit pour que les cercles tangents à s en chaque point M et passant par un certain point a (extérieur à S) soient extérieurs à S. Si l'on peut choisir les points A^Aj, ..., en sorte qu'à chacun d'eux corresponde un chemin A, m,, A, m.,, . , ., sur lequel / —^ — dz tende vers une Umite, la fonction F(x) se développe dans S sous la forme (4).

Discussion du développemenl ("i). — La possibilité du développement (2) s'étabHt comme celle du développement (3), avec quelques simplifications .

Soit .î un contour fermé quelconque (sans ang;le rentrant) tel que, pour chaque point de s, -n^ existe et soit continu. Le contour peut offrir des tangentes d'inflexion. On établit qu'il existe une fonction P -H i'Q, holomorphe dans S et continue sur s, telle que le long de ,î

On peut toujours la multiplier par un nombre réel K assez petit en valeur absolue pour quelescercles ayant «pour centre etpassantpar s (z^a=P+ i'Q) soient extérieurs à la courbe C passant par s (s étant voisin de s). On en

conclut que l'intégrale / ~ — ~ S«+i ^^ ^^^ indépendante de C quand C

tend vers s ; ce qui montre que le développement, trouvé pour C, converge dans S.

Si s présente des points singuliers A,, A^, ..., le développement est encore possible, pourvu que la coupure s puisse se décomposer en coupures partielles, A, Aj,

Le cas où S est l'espace extérieur à une ligue non fermée se ramène aux précédents à l'aide de la transformation

Les développements dans une aire limitée par des arcs de cercle s ou extérieure à un contour rectiligne sont des cas particuliers des développements (2), (3) et (4). Ils s'appliquent à toute fonction discontinue sur .?, mais remplissant aux points anguleux les conditions indiquées.

5. Calcul des coefficients du développement (Z). — Revenons au cas d'une aire convexe régulière S. Nous avons démontré qu'à toute courbe.?

correspond une fonction

hoioraorphc dims S, s'annulant pour s = o, et telle que

La fonction z -f- -^ n'a dans s qu'un zéro simple, s = o; s est une courbe quelconque entourant l'origine et intérieure à 5. Chaque terme du second membre a une valeur indépendante de a-, valeur qui, pour le terme de rang n, n'est autre chose que le résidu relatif au pôle s = o de l'expression

(,^ + 4.)"F(a) Posons

(a^est réel et positif, comme nous l'avons vu). D'après une formule connue, le résidu est égal à

.^lS'^^-

Ceci montre que P„(x') s'exprime en fonction des valeurs pour ;; = o des /( premières dérivées dey(s)et deF(s).Si donc on connaît la fonction/(3), les coefficients pourront se calculer non plus à l'aide d'intégrales définies, jnais en fond ion de F (o), F'(o), ...,F„(o).

Mettons ces dérivées en évidence dans l'expression de l-*,(.Z') :

Soient On a

L'expression

108 p. PA1.\LEVÉ.

est indépendante de F

La quanlité u"^ est la valeur pour r = o de T^lu",

C'est donc un polynôme en x de degré /;, delà forme af'''^(b -+- xB) et dont les coefficients s'expriment en fonction de «(o), u'(o), .. ., Ug(o), par suite en fonction de g(o), g'(o), ■■■, gg(o). Posons

u{3) — gj; + z — 3g = ba-h b,:; -i- . . .-t- b„s" -i- . . .

Ceci posé, élevons « à la puissance n et cherchons le coefficient lî^ de z''. D'après une formule connue,

"'=" 2 iTuSlTTa !''•"'

Les «0, a,', ..., «^ sont dos nombres entiers positifs vérifiant les deux égalités

11 en résulte que

Telle est l'expression directe des polynômes P„(x) en fonction dos constantes g-^, g-;, ..., g„(o).

On peut aussi exprimer les uj, en fonction des polynômes d'indices inférieurs, en partant des identités

(/-{=- D^;i<:i = (/. ^i- OULo«;., «'.

yGoosle

OU encore

<:i = Dn"""= 2

(/>+i)...(^-^-Ha) ^ '■^■■■?

Réciproque du théorème précédent. — Soit une fonction arbitraire '^(^) ayant un zéro simple au point s = a qu'on peut toujours supposer être l'origine. Posons ^ + 4'(-s) — A(2) =P -f- i'Q, et voyons à quelles conditions les courbes C qui satisfont à l'équation P t/a; + Q 4/ = o sont fermées et convexes dans le voisinage de l'origine. Nous avons dit que, si

U 4- Vi désigne l'intégrale / irrr-,' ^'^^ courbes satisfont à l'équaLiou

U = R, Comme

Si les courbes C sont fermées, ^ est nul. D'autre part, on peut toujours supposer a égal à i, et

Posons

(G + (G, est bûlomorplie dans le voisinage de l'origine). Comme

la fonction 9(3) est holomorphe dans toute aire S ne renfermant ni point singulier, ni zéro de k(s) (en dehors du point s = o), et sa dérivée ^'(s) ne s'annule pas dans S. Par suite, la fonction inverse 5 — ^, (s,) est holomorphe dans l'aire S, correspondant à S; S comprenant le point O, S, comprend le point O I , et l'on peut touj ours décrire un cercle de centre O , c t intérieur à S, ; la courbe correspondante est une courbe fermée, entourant l'origine O et vérifiant l'équation U == R. Quand R a une valeur négative très gi'ande, la courbe C se réduit sensiblement au point O ; quand R croît, on obtient une famille de courbes qui ne se coupent pas et qui se ferment autour de l'origine, tant que R n'atteint pas une certaine valeur limite p. Ces courbes sont-elles convexes? Nous avons dit qu'en un point do ces

) p. PAINLE\'É.

ii'bes (Q étant l'angle de la normale avec Ox) dii œ-+ y^

Il faut que -rs ne devienne ni nul, ni infini. Considérons donc les deux courbes P^ + Qr

/ = I -I- Cx + DjK, C et D étant réguliers près de l'origine ]

sidérons aussi les points singuliers de P + i'Q (qui sont ceux de P^) ; soit R' la plus petite valeur de R pour laquelle la branche de courbe U = R qui se ferme autour de O rencontre un de ces points ou une de ces courbes (R' est au plus égal à p). Pour toute valeur de R inférieure à R', la courbe C est fermée et convexe, et l'on peut trouver un nombre K assez grand pour que le cercle passant par z et ayant pour centre a^ z^}Lh{z') comprenne à son intérieur la courbe C (s étant un point de C). Si l'on se donne a priori A, (s) =r Kk(z) (K est réel et plus grand que i), on voit bien aisément que cette condition est réalisée pour les courbes C voisines de l'origine (qui correspondent à des valeurs de R inférieures à un certain maximum R,).

En résumé, soit h,(z) une fonction de la forme Ks[i -h zA(z)], où K est réel et supérieur à l'unité et A une fonction holumorplie près de l'origine ; la série

est corn>ergente dans une certaine courheU = R,, st F(3) cstholomoi'pbe dans cette courbe

inon, elle converge dans la première des courbes U = R qui rencontre une discontinuité de F(s). La somme de cette série est F(x). De plus, on peut disposer do K, en sorte que R, soit égal à un nombre quelconque infé-

rieur à R' ( R' étant la valeur à partir de laquelle les courbes U = R ccsscii L d'être fermées, convexes ou régulières autour de rorig;ine).

Applications. ~ Pour ^, (s) = Ks, les courbes G sont des cercles ayant pour centre l'origine ; elles sont fermées convexes et sans inflexion, quel que soit R; on voit immédiatement que c'est la seule fonction h,(z) qui jouisse de cette propriété.

Quand h, (s) = Ks(i + az), les courbes C sont des cercles ayant mcmc

axe radical (à savoir la droite perpendiculaire au segment OA, en son

milieu; A, a pour affixe KetR'=^ — L|a|.

Si h,(z):= K.z(i ■+- az^), les courbes C sont des quartiques bicirculaires qu'on peut définir par la relation géométrique p^ = Cp'p" (p, p', p" étant les distances d'un point M de la courbe aux points O, A, A'; A et A' ont pour affixes — - et -H - )■ En prenant h, (z')=K.s\/i — c^z^ , on obtient pour les courbes C des quartiques bicirculaires, inverses, par rapport à leur centre O, de coniques homofocales dont les foyers sont ±: c (c est réel). Dans ce cas R' =t^ L — ^—=; en changeant a? en -j on obtient une forme de développement pour l'aire S earteWe«re à une ellipse ajanl 'poar Soyer dzcctdont l'excentricité est inférieure à --^ ■

Plus généralement, soit j— -^ = - + - ^ ' a + ■ ■ ■ ■^" ^TT/' '^■■' Pî ■ ■ ■ > ^ étant réels; les courbes C sont définies par la propriété pp". . .p^= const, ; p, pi,...,p„ sont les distances OM,AM, ..., LM de M aux points O, g, 6, ..., /. Si a = I et si p = . . . ^ X = o, ces courbes sont des ovales de Cassini.

Sans m'étendre davantage sur ces exemples, j'ajoute seulement que les polynômes Pn(s) se rencontrent dans une série assez analogue à celle de Lagrange, et qui peut s'en déduire.

L'équation z = a.x -h (i — ci.)zf{z) a une racine 'Q qui tend vers zéro avec a. Appliquons la première forme de la série de Lagrange à l'équation

en faisant

l l'2 P. PAISLEVÈ,

On sait que, dans un certain champ,

En parliculJer, pour a = o, l'équation (i) devient

et le premier membre du développement prend la forme

G'(0^(i+/)=-«[(i+/)(/+C/')-/'(^ + ï/)]-i+(i-«)(/ + ï/')' en tenant compte de (2), Par suite,

(Pour K = I, (^ = 37.) D'après la condition connue, cette série converge pour a = I , si ic reste intérieur à une courbe fermée comprenant l'origine et telle que, tout le long du contour, — t"^ soit inférieur à i. La condition peut s'écrire

|îT+j<' [+ = =/(-)]■

Si donc il existe une aire S telle que, x étant un point intérieur quelconque et s un point du contour s, le module de ^ ~^ t, .-. soit plus petit que l'unité, !EP„(a;) converge dans cette aire et représente F(x). Ceci résulte également du tbéorème établi précédemment. Mais inversement, pour démontrer ce théorème en partant de la série de Lagrange, il faudrait prouver qu'à un contour convexe donné s correspond une fonction '\'(z) vérifiant la condition énoncée. Or la recherche de 'j'(s) revient précisément à celle de la fonction désignée par P + i'Q ; c'est cette recherche qui constitue d'ailleurs la seule difficulté de la première démonstration.

6. Développement en séries des fonctions \ (x, y, z) satisfaisant à l'équation AV =. o et régulières dans un espace quelconque. — A chaque forme de développement indiquée plus haut, correspond une forme eorré-

SUR LES LIGNES SINGUUÈRES DES FONCTIONS ANALÏTIQCES. I l3

laLîve de développement pour les fonctions V(a;, y) de deux variables qui satisfont à l'équation AV = o. Si l'on envisage les fonctions de trois variables qui satisfont à la même équation, le premier développement, basé sur la représentation conforme, ne comporte pas d'extension naturelle. Mais les développements (2), (3) et (4) se généralisent sans difficullé. Soient, en premier lieu, une surface fermée quelconque s, sans angle rentrant ; a, [3, Y un de ses points (a, p, y sont fonctions de deux paramètres et t). On peut en chaque point a, jî, y construire une sphère de centre a, b, c, tangente à s et extérieure à cette surface. Soit, d'autre part, F(x, y, z) une fonction qui satisfait à AF = o, régulière dans le volume S et continue ainsi que ses dérivées premières f ou ainsi que -r- ) sur s :

a, b, c, X, \j.j V sont fonctions continues de a, ^, y, par suite do t et 0, sauf pour les lignes singulières de s. On peut écrire

2xF(^,/, z)=lj' J\U{œ - a, j~h, = - c)da,

en réunissant V(„+,| et V^,,. Soit a la surface lieu des centres «,&,(;; on peut construire une surface s' formée de fragments de sphères extérieurs à s, tournant vers s leur convexité et intérieurs à <7. Soient A, B, C,, . . . , A^B^G;^ les centres de ces sphères; la fonction

se met dans s' sous la forme

yGoosle

r ] 'l p. PAINLEVÉ.

Après l'inLcgration, ia fonction F(x, y, z) est représentée par la série

<P„ étant une expression de la forme (a).

Les remarques faites dans le pian s'appliquent ici : la série converge absolument et uniformément dans tout volume S, intérieur à S, et sa convergence est cle l'ordre des progressions géométriques. Les dérivées de F(x,y, z) s'obtiennent en dérivant les termes de (2), ce qui conduit à des séries de même forme. Les termes de (2) sont nuls identiquement dans l'espace 2 extérieur aux sphères S,, S^, . . ., S^ et qui ne contient pas S; la série (2) converge donc et est égale à o sans S. De là le moyen de former une série de la forme (2) représentant dans deux espaces quelconques deux fonctions V(ic, y, z) distinctes.

Le développement (2) est possible d'une infinité de manières : chaque terme ^n(^> y» -^) étant donné, on peut lui ajouter une série dont la somme est nulle; de plus on peut ajouter, terme à terme, à la série (2) ellemême des séries de même forme dont la somme est nulle dans s'.

Les y p{x — A^, y — B*, z — C;,) sont des combinaisons linéaires des

dérivées ^i^™^* de -f On peut remplacer - par ip (a; — A^, y — B^, s — Cji) ;

'•K^'T"' '^) '^^'- ^'^^ fonction qui satisfait à A-]^ = o, admet l'origine pour pôle du premier ordre, le résidu étant égal à i, et ses autres points singuliers (a,, 6,, C|), ... sont tels que le point (^x + a,), {y + &,), (s -l- c,) est extérieur à s' (si x, y, z est compris dans s') ainsi qu'aux sphères (A^, B^, Cs), Les coefficients sont indépendants de la forme de \. On peut déduire de là, pour un espace quelconque, des remarques identiques à celles de M. Appell sur les espaces dont la surface est formée de fragments de sphères.

Si l'on considère !c premier terme de (2)

<>- >if,{x,y,z) = '^}. 4- lï +.. .+ ^ +a; -^ +...,

on voit, comme pour le plan, que la somme a, ~i- «3 + . . . + a^ est nulle. Quand l'espace S est extérieur à la surface s, rien n'est changé dans le rai-

Sun LES LIGSES S1NGULIEHES DES FONCTIONS ANALÏTIftliES.

soiïiiemcnt précédent; mais, dans ce cas,

A est le résidu de la surface-coupure s.

Les développements (3) et (5) s'étendcut de la même anariicre. Il sulIiL d'entourer la surface convexe s de sphères ^ qui lui soient lang'enles en chaque point, et l'on voit que

F(-^> .r> ^) = ^ S//"^"^^ -«^r-b,^- c)ds,

V„ étant un polynôme de de^é n eu x,y, z, qui salisfalL à ré(juation

J[ en résulte que

P„(:c,j>'-, s) étant un polynôme de degrés en x,y,z, qui satisfait à l'équation APn = o. Il suffît, pour que le théorème soit exact, que F(a;, y, s) soit continue surs; car, en appliquante la surface S la méthode de C. Neuman, on met la fonction V sous la forme

(j étant une certaine fonction continue de / et de 0. En raisonnant sur celte intégrale comme dans le premier cas, on voit que la fonction F(x,y,3), continue sur s et régulière, dans S, peut se développer, dans ce volume, en une série de polynômes P„, satisfaisant à l'équation iP„ = o.

Discussion. — On démontre (comme dans le cas du plan) que, si (rt — s^) ne s'annule en aucun point de s, on peut trouver un rayon R assez grand pour que toutes les sphères tangentes à * et de rayon r comprennent S à leiir intérieur. Si {rt — s^) s'annule en des points ou sur des lignes de s, le théorème subsiste, car il suffit de décomposer l'intégrale en deux parties, dont l'une, relative aux parties singulières de la surface, peut être prise aussi petite qu'on veut. Quand (rt — s^) s'annule sur une portion finie de s (s comprend un fragment de surface développable), il faut avoir

ii6 p. pAim.EvÉ.

recours à la remarque suivante : Soit l'espace S intérieur (ou ex-térieur) à une surface fermée quelconque s. S'il existe, en dehors de S, un point (A, B, C), tel que, en le prenant pour pôle d'inversion, S devienne l'espace intérieur à une surface convexe, la fonction F(x,y, z) régulière dans S se met sous la forme

x.A)'+(7~H)^+(=-"C)=' (^-Af-

P), est une combinaison linéaire des dérivées d'ordre /; et d'ordre infcrirnr de , l

v/(^" - A)^+ (/ - B")= + (^ - cy- '■

Ce point (A, B, C) existe aux conditions suivantes : soient M et iX les deux centres de courbure des sections principales de la surface au point P(a, p, y), MF le plus grand rayon. Si, au point P, la surface s est à courbure positive, nous construisons la sphère 2' dont le rayon est MP, quand ■s tourne sa concavité vers S ; autrement, nous contruisons la sphère 2" dont le rayon est NP. Si, au point P, la courbure de s est négative, nous construisons la sphère 2" qui passe par P et qui a pour centre celui des deux points M, N qui est, par rapport à s, du côté opposé à S. Il faut et il suffit, pour que (A, B, G) existe, qu'il y ait, en dehors de S, une portion d'espace S, extérieure à toutes les sphères 2' et intérieure à toutes les sphères 2". Ces sphères se réduisent à des plans aux points où (rt — s'^) est nul. Quand {ri — s^) est toujours positif ou nul, il faut et il suffît (si l'on désigne par P l'espace situé, par rapport à un plan tangent en un point de s, du côté opposé à S) que tous les espaces P relatifs aux points où (rt — s^) s'annule aient une partie commune.

Quand le point (A, B, C) n'existe pas, on peut toujours décomposer .y (si S ne présente pas d'angle rentrant) en parties s, , s^, , , . , Sj,, assez petites pour qu'il y ait, en dehors de S, des points M,-, tels que toutes les sphères qui passent par Mj et sont tangentes à s,- en chaque point soient extérieures à S. En décomposant l'intégrale qui représente F(x,y,z) en plusieurs

autres relatives respectivement à s,, Sj, . . ,, 5,,, on voit que

est une combinaison linéaire des dérivées d'ordre n et d'ordre inférieur

do — =: - - — -— ■ A,-, B;, C, désignant les coordon-

nées de M,- .

Les séries (3) et (4) convergent absolument et uniformément dans tout espace 2 intérieur à S. Les dérivées de F s'obtiennent en dérivant les termes des séries (3) et (4), ce qui conduit à des séries de même forme. Dans le développement (3) en particulier, si

Les développements (3) et (4) sont possibles d'une infinité de manières. On peut se donner arbitrairement les n premiers termes ou assujettir les polynômes P„ à ne pas contenir, au delà du j»i«™«, de termes de degré inférieur à p. On peut faire en sorte, par exemple, que les termes en —■, — 1 . ■ -, — figurent seulement dans le premier terme du développement (4). Si S est l'espace extérieur à une surface, le résidu de cette coupure est alo]'s égal à a, + «2 + ...+ «*, les lettres a,, a^, ..., % désignant les coefficients respectifs àe— ,—■,■■■, —•

Quand F(a7,y, s) n'est pas continue sur «, la convergence des séries (2), (3) et (4) ne s'établit que dans des cas particuliers.

p. PAINLEVK.