INTRODUCTION

La première Partie de ce travail est consacrée à l'étude d'une fonction dans le voisinage d'une ligne singulière ou coupure. La notion de coupure se présente dans la discussion de l'intégrale de Cauchy ; elle peut même s'introduire, ainsi que l'a montré M. Hermite, à l'aide d'intégrales définies où la variable d'intégration est réelle. La série de Taylor, convergente dans un certain cercle, offre aussi un exemple simple de coupure, et MM. Weierstrass, Tannery, Appel! ont formé de nombreuses séries qui représentent deux fonctions distinctes dans deux aires différentes du plan. Nous énumérons, dans un premier Chapitre, les singularités diverses que peuvent présenter les symboles (et particulièrement les séries) qui définissent, dans un certain espace, une fonction analytique de z. Ceci nous conduit à quelques théorèmes sur les séries, donj. le plus important est le suivant : Quand une série F — 2V„(a:,y) converge uniformément sur le contour s d'une aire fermée S, à l'intérieur de laquelle les fonctions V„(3;,)') sont régulières et satisfont à l'équation AV„= o : i" la série F converge uniformément dans S ; %° les séries, formées par les dérivées de ses termes, convergent uniformément dans toute aire S' intérieure à ?> et sans point commun avec s, et elles représentent les dérivées correspondantes de F.

Soit une fonction F(3) définie d'un côté d'une ligne L et présentant celte hgne comme coupure : il peut exister une seconde fonction F,(z) qui P. I

yGoosle

p. PAISLEVlî.

coïncide avec la première dans le voisinage de T.. et Va prolonge an delù sans discontinuité. La coupure est alors artificielle, elle est essentielle au cas contraire : le cercle de convergence de la série de Maclaurin F (s), qui développe la fonction -^^. est une coupure artificielle de F(s); la série

F(s) qui représente dans le cercle fondamental C une fonction fuchsienne, holomorphe et définie seulement dans ce cercle, admet au contraire C comme coupure essentielle. Nous donnons d'abord une forme de la condition nécessaire et suffisante pour qu'une coupure soit artificielle, qui s'applique à une coupure quelconque. De celte condition, on déduit plusieurs théorèmes, concernant les fonctions définies par une relation implicite ou par une équation différentielle du premier ordre : ces derniers sont utiles dans l'étude des intégrales uniformes d'une équation difl'ércntielle, ainsi que je le montre dans plusieurs applications, et notamment en recherchant toutes les équations de la forme -r^ = f{z^ u) \oùf(^z^ «) est uniformë\, dont l'intégrale générale peut être uniforme.

Dans le cas où la coupure est une ligne analytique, la condition précédente prend une forme plus simple, indiquée dès l'année 1870 par M, Schwarz ('), et qui permet de discuter plusieurs classes de coupures. Des exemples des principales singularités d'une fonction dans le voisinage d'une coupure essentielle terminent cette première Partie.

Dans la seconde, nous étendons aux fonctions uniformes les plus générales les formes de décomposition en sommes et en produits, données dans la théorie des fonctions à points singuliers. En i88r, avant le théorème de M. Mittag-Leffler, M. Picard indiquait, dans le cas d'une coupure circulaire, une forme de développement en produit, applicable à une coupure quelconque, et, peu de temps après, décomposait une fonction F(s), ayant pour coupures des segments de droites, en une somme de n fonctions n'ayant qu'une coupure, puis développait ces fonctions en séries (^). Après la découverte du théoi'ème de M. Mittag-Leffler, M. Goursat ( ' ) a étendu ce théorème aux fonctions uniformes présentant des singularités quelconques. Enfin, M. Mittag-Leffler {") a consacré lui-même un Mémoire à l'étude de

(1) Monatsberichte der Académie su Berlin, octobre 1870. C) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, : (») Id., aS février i883.

(*) Acta mathematica, i. IV; 1884.

SUR I.IîS LIGNES SIKGUUÉRKS DES FONCTIOSS ANALYTIQUES. .^

CCS propositions. Nous donnons, avec une démonstration un peu difforcntc de ces théorèmes, plusieurs modes de développements en séries des fonctions présentant dans le plan une seule coupure, auxquelles on se trouve ramené. Un premier développement, analogue à la série de Taylor, repose sur la représentation conforme ; les autres généralisent les développements, indiqués par M. Appell dans le cas d'une fonction holomorphe à l'intérieur d'un contour d'arcs de cercles. Ils découlent de ce théorème que toute fonction holomorphe dans une aire convexe peut se développer dans celle aire en série de polynômes.

Les notions de résidu, d'ordre, de /-esle (définis soit comme intégrales, soit comme coefficients) se généralisent dès lors facilement avec les propositions qui s'y rattachent. En particulier, le théorème des résidus et les théorèmes de Liouvitle subsistent pour les fonctions doublement périodiques à singularités quelconques.

Enfin, plusieurs des résultats énoncés ont été étendus aux fonctions V de deux ou trois variables qui satisfont à l'équation AV = o.

p. PAINLGVE.