CHAPITRE I

1. Avant d'aborder Fétude d'une fonction dans le voisinage d'une coupure, il convient d'énumérer brièvement les singularités que peuvent offrir les symboles qui représentent, dans une partie du pian, une fonction uniforme de la variable z ^ x + iy.

Soit une expression de la forme P (a;, y) + iQ(x,y''), les fonctions P etQ étant uniformes dans tout l'espace du plan xOy où elles sont définies. Nous supposons de plus qu'en chaque point d'une certaine aire S, P -1- i'Qadmcttc une dérivée par rapport à z et, par suite, qu'elle représente dans S une fonction holomorphe de z.

Considérons dans le plan une aire fermée quelconque a: P + (Q sera dans C7 fonction holomorphe de z, sauf peut-être en certains points. Ces points pourront être en nombre infini (comprendre par exemple tous les points de cr) et affecter des distributions diverses.

Kn premier Ueu, si tous les points singuliers peuvent être enfermés à l'intérieur de cercles n'ayant pas de points communs et de rayon aussi petit qu'on veut, nous dirons que l'ensemble de ces points K est ponctuel. Les points forment alors des suites ayant pour limites d'autres points, formant eux-mêmes des suites analogues. La classification de ces ensembles a été faite par M. Cantor,

En second lieu, si tous les points ne satisfont pas à la condition précédente, mais peuvent être enfermés à l'intérieur de contours tels que l'aire totale enclose soit aussi petite qu'on veut, nous dirons que l'ensemble E est linéaire. Les points forment alors des suites ou des ensembles ponctuels, ayant pour limites des lignes : autrement dit, il existe des lignes telles que, si l'on décrit un cercle d'un quelconque de leurs points comme centre, ce cercle renferme un nombre infini de points E, si petit que soit son rayon.

Par exemple, l'ensemble E sera composé de points infiniment voisins (ou même de tous les points) de plusieurs lignes. Ces lignes peuvent être ellesmêmes en nombre infini et former des suites ayant pour limites des lignes ou des points, A ces ensembles de lignes, s'étend immédiatement la classification de M. Cantor sur les ensembles de points : le mot ligne remplace partout le mot point, une ligne pouvant parfois se réduire à un point.

En dernier lieu, il est possible que les points E soient distribués dans des aires finies œ', d", ..., c'est-à-dire qu'une portion de ces aires, si petite qu'elle soit, en renferme un nombre infini (l'ensemble E comprendra par exemple tous les points d'un certain espace). L'ensemble sera dit alors superficiel. Les aires a', a", . . . peuvent être en nombre infini et former des suites ayant pour limites des points ou des lignes.

Telles sont les dispositions possibles dans a des points singuliers de l'expression P(x,y) -+- iQ(x,y'). En chacun de ces points, une au moins des fonctions P, Q est soit discontinue, soit indéterminée, ou n'admet pas à la fois de dérivée partielle par rapport k x et y, ou bien enfin ces dérivées partielles ne vérifient pas les deux égalités

(ÏJ.- ~ à/ dy ~ dx

Supposons tout d'abord que les points E ne forment pas dans c un ensemble superficiel. Si, dans ce cas, la fonction P + (Q est continue dans u, il sera démontré plus tard en toute rigueur qu'elle est nécessairement holomorpbe dans le même espace. Les points E sont donc des points de discontinuité de P + (Q. Un premier genre de singularité qu'il convient de distinguer est le suivant : soit s^ un point isolé de l'ensemble E, tel que, z tendant verszo d'une façon quelconque, P -i- t'Q tende vers une certaine valeur a; pour z ^ 3o, P -I- i'Q est discontinue ou indéterminée. Appelons /(z) la fonction de s, qui coïncide avec P -i- i'Q en dehors de z^ et prend pour z^ la valeur a. Cette fonction est holomorphe au point z„. Une telle discontinuité est purement apparente. Un exemple très simple en est fourni par l'expression

où /(s) est holomorphe et différent de zéro à l'origine : P -i- i'Q =y(s), quel que soit s, sauf pour le point ^ = o où P -|- îQ est nulle. Nous suppo-

serons désormais qu'en pareil cas on remplace P -+- i'Q par /(z), et ainsi pour tous les points analogues : ces points peuvent former des suites ayant

pour limites d'autres points s', s", Si ces points s' sont ponr/(z) des

discontinuités du même genre, on les supprime comme les s,,. Cela fait, l'ensemble E peut comprendre certaines lignes isolées L,,, telles que z, tendant d'une manière quelconque vers un point "C, de L^, la valeur de /"(s) tende vers une limite a(C). La fonction 9(2), qui coïncide avec /(s) en dehors de La et prend sur L^ les valeurs ci(^), est, comme nous le verrons, holomorphe dans le voisinage de L^. On peut citer comme exemple l'expression

.■Q = i /(.)sin^

/ (-)sin3»- /(i)sm5£

y(s) étant holomorphe sur Ox. Nous rempliiccrons là encore /(z) par Y(s), et ainsi pour toutes les singularités analogues. En définitive, s'il existe une fonction ç(s) coïncidant avec P -f- i'Q en dehors de l'ensemble E, continue et par suite holomorphe en certains points E' de cet ensemble, on substitue 9(2) à P -1- iQ,

Ces singularités parasites éliminées, quelles sont les discontinuités que présente P -1- i'Q ?

Si l'ensemble E est ponctuel, les points singuliers de P + /Q dans a sont des pôles ou des points essentiels.

Si l'ensemble E est linéaire, la fonction P -+■ i'Q est en outre affectée de coupures. Ces coupures sont isolées ou sont les limites de suites de points essentiels ou de coupures. Dans le second cas, P -I- i'Q est nécessairement discontinue ou indéterminée aux environs de la coupure. Dans le premier cas, soit L la ligne considérée : quand s tend vers un point quelconque ^ de L en restant du côté C de L, P -+- i'Q peut tendre vers une certaine valeur /(C) ; du côlé opposé C' de L, P -I- i'Q peut prendre également sur L la suite de valeurs/, (t), qui doit différer dey"(Ç), Il est possible, au contraire, que d'un côté de L (ou des deux côtés), pour des points t, infiniment voisins sur L, ou même pour tous les points de L, P + îQ ne tende pas vers une limite quand z tend vers i^ sur un chemin /, ou que cette limite dépende du chemin /. Dans tous les cas, l'expression P -1- i'Q peut n'avoir aucun sens sur L, ou ses valeurs pour les points de cette ligne sont entièrement indépendantes des valeurs qu'elle prend aux points voisins.

Si l'ensemble E est superficiel, P + (Q présente dans t des espaces lacunaires ff', cr", En tout point E de ces espaces, P -1- i'Q peut n'avoir pas de

sens, ou être discontinue, ou ne pas admettre de dérivée par rapport à s ( ' ). Le contour s' de l'aire a' est une coupure de P -i- l'Q, cette ligne peut êLrc la limite de singularités extérieures à <7'; au cas contraire, P + (Q peut tendre vers une suite de valeurs /(Ç), quand z tend vers un point K de s', extérieurement à cr'. Il arrive notamment que P + iQ est continue sur s' et dans 'y'j et n'admet pas dans œ' de dérivée par rapport à z.

En dernier lieu, si P + iQ est holomorphe dans cr et tend vers la valeur /(C), fonction continue de Ç, quand le point z de a- tond d'une manière quelconque vers le point Ç du contour s, nous dirons que la fonction P + iQ est holomorphe dans a et continue sur son contour.

2. Toutes ces remarques ont leurs analogues dans l'ctiide des fonctions V de deux ou trois variables qui satisfont à l'équation AV = o. Soit P(3;,y,s) une fonction de x,y, s, uniforme dans tout l'espace où elle est définie, et représentant dans un certain volume une fonction régulière \(^x,y, z), qui satisfait à l'équation AV = o. Les points singuliers de F(x,y, z) seront les discontinuités de P et de ses dérivées premières, et les points où ses dérivées secondes ne vérifient pas l'équation AP = o. On voit, comme plus haut, qu'à l'intérieur u d'une surface fermée s ces points peuvent former des ensembles ponctuels, linéaires, superficiels, ou être distribués dans des volumes finis, et former ainsi un ensemble à trois dimensions.

Ce dernier cas excepté, les points E sont nécessairement des discontinuités de P ou de ses dérivées premières, d'après ce théorème que, si une fonction V est régulière dans un espace, sauf peut-être sur une surface où elle est continue, ainsi que ses dérivées premières, elle est régulière dans tout cet espace. De plus, s'il existe une fonction Q(a;,y, ^), coïncidant avec P(a;,y, 3) en dehors des points E, et continue en des points ou sur des lignes et des surfaces E' qui sont des discontinuités de P, on supprime ces singularités apparentes en substituant Q à P. Mais les points E' peuvent être encore des discontinuités des dérivées premières de Q. Cette discussion s'achève comme la première. En particulier, si P(iP,y, s) est une fonction régulière dans cr, et si elle tend vers une valeur/'(^, ï), X,), fonction continue de Ç, T), C, quand (a;, y, z) tend vers le point (^, t], C) de « en restant intérieur à (T, on dira qu'elle est régulière dans <j et continue sur s; on dira de

(') P -1- iQ peut admettre une dérivée i l'existé pas pour des points infiniment voisî

même que ses dérivées premières sont continues dans t et sur s, si les fonctions -^^> -T-' -^r- vérifient la même condition. ax dy m

3. Les diverses singularités que nous avons énumérées sont offertes par

tes symboles élémentaires qui définissent une fonction de z. Envisageons,

par exemple, l'intégrale / /(ï, z) dz = F(^), où /, a et |3 sont réels. Si à

chaque valeur de t correspondent des points singuliers de/(ï, s) ne formant pas de suites linéaires, la fonction F ainsi définie présentera en général des lignes singulières; si à chaque valeur de / correspondent des lignes singulières doy'(ï, s), la fonction F présentera des espaces singuliers. Il en serait de même si F était définie par l'intégrale double

xï'

/(3, t,Q)dtdS,

f(z) ayant des points singuliers pour chaque valeur réelle de t et de 9.

En particulier, ces intégrales peuvent définir une fonction F continue

dans une aire S, dont la dérivée par rapport à z existe dans une partie

de cette aire et n'existe pas dans l'autre. Ainsi l'intégrale i L^— -— ^(/ï f '^^ L ^ V représente une fonction uniforme de s ayant pour coupure le segment de droite y = t compris entre x ^ o eX x ^ i\ définit une fonction de z liolomorphe dans le plan, sauf pour les points x + iz dont l'a; et Vy sont positifs et plus petits que l'unité; car, en ces points, F est égale à une fonction de s -H 2î7u(i —y)- De plus, F est continue dans le plan, sauf pour les points des droites x ^o, x = i dont l'ordonnée est comprise entre o et I.

Il est facile également de former des séries qui définissent dans une aire S une fonction uniforme de z, et qui présentent dans le plan des singularités quelconques, notamment celle dont nous venons de parler. Soit en effet \J{x,y')-\- i\{x,y) une fonction holomorphe de s, telle que, pour 37 = o, U = o. Développons en série de fonctions deLapIace, entre ir= — tv, X ^Ti Gt y ^^ o, y =^-x, les fonctions V(a;,j)^) et U,(a:,y) : \i,{x,y') étant égale à U pour œ ^ o et à — U pour a;<[ o. La série F = U, + (' Vsera continue pour les valeurs de a; et de y comprises, les premières entre — ir et

+ -, les secondes enlre o et ti; elle n'atlraetlra pas do dérivée par rapport à s pour les valeurs négatives de x.

Si les termes d'une série sont des fonctions de z, la série n'aura pas de sens en tout point qui sera singulier pour un de ses termes, et l'on peut faire en sorte que ces points forment des ensembles quelconques. Si, dans une aire S, tous les termes sont holomorphes, la série peut représenter une fonction holomorphe dans une partie de S et diverger dans l'autre. Mais d'autres singularités sont-elles possibles? Pour étudier cette question, nous aurons recours à quelques propriétés bien connues des séries, que nous rappellerons tout d'abord.

4. Une série ^cp„(ï) converge uniforinément dans on intervalle ?„;,, si à tout nombre positif e correspond un entier v tel que, n étant égal ou supérieur à V, on ait

pour toutes les valeurs de ï égales à fo, ï,, ou comprises entre i^ et ï, (la variable t est réelle). Ceci revient à dire qu'on peut trouver v assez grand pour que, /> étant quelconque, on ait dans le même intervalle

Les raisonnements qui vont suivre reposent sur ces deux tbéorcmcs :

Lemmc I. — Si tous les termes d'une série sont susceptibles d'intégration et si la série converge uniformément dans un intervalle, la fonction que représente la série est intégrable dans cet intervalle, et son intégrale est la somme des intégrales de tous les termes.

Lemme II. — Si tous les termes d'une série /(ï) admettent une dérivée susceptible d'intégration et si de plus la série de ces dérivées converge uniformément dans un intervalle, elle représente la dérivée de/(i) dans cet intervalle.

Le lemme I peut s'étendre à une certaine classe de séries non uniformément convergentes. Soit une série /(i) = 2?„(0 qui converge uniformément dans tout intervalle, compris entre /„ elt, et ne renfermant pas certains

points î', t", Nous convenons de dire alors, pour abréger, que la série

converge uniformément entre i^, et I,, sauf pour les valeurs t', t", — Les points ;', l", . . . peuvent former sur l'axe des / des suites ponctuelles. En

yGoosle

ces points, la série peut être divergente. Si le module maximum de S„(/) entre t^ cl t, ne croît pas au delà de toute limite avec /i, le Icmme l s'applique encore à rintervalle i^t, .

Pour le voir, il suffît de décomposer l'intervalle tf,l, en deux parties s et s' (formées d'ailleurs d'intervalles sépares), s' renfermant toutes les valeurs t', t", — SoitM la limite supérieure de |(S„/)|. On peut toujours prendre « de telle sorte que / M dl soit inférieur à un nombre positif t aussi petit

qu'on veut : cela fait, il existe un nombre n assez grand pour que, p étant uu entier quelconque, on ait dans tout l'intervalle .v

Si donc on désigne par S'^, la somme des n premiei's termes de la série

9At)dt,

le module de la différence (S„,.p — ■ S^,) sera, pour la même valeur de n, inférieur à (t[(j = e(/-+- 2)], si /est la longueur du segment t„t,. La nouvelle série converge donc, el il apparaît aussitôt qu'elle représente l'intégrale de /(()■ Il suffit, pour que le raisonnement s'applique, que / "&„({) dt tende

vers o uniformément avec s' (quel que soit h).

Il convient d'ajouter qu'une série 2!p„(ï) peut converger dans un intervalle /of,, sans converger uniformément dans aucun intervalle fini, si petit qu'il soit. Soit par exemple une fonction /(/), à variation limitée entre —71 et +1:, cl discontinue dans tout intervalle, ainsi que la suite de valeurs

ii-i i -Ll L. I .a enrto

'-£^' m)dA\ + -^cr,,nO--l)\

converge dans l'intervalle — tt, -1--, et représente dans cet intervalle

" — ~ Comme ses termes sont fonctions continues de /, elle ne

converge uniformément dans aucun intervalle (sinon, sa somme serait fonction continue de t dans cet intervalle).

SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANAL\TIQUF,S . I i

Ces remarques faites, considérons une série de Informe

ou de la forme

Une pareille série converge uniformément dans Vairc S quand, à tout nombre positif e, correspond un entier v tel que, n étant supéricar ou égal à V, on ait pour tout point s (ou x,y) de S et de son contour

I R„(^) I ou U„(^,j) ! <s.

Si une série converge uniformément dans tout espace <t intérieur à S et ne renfermant pas certains points z' ou certaines lignes /' de S, nous convenons de dire que la série converge uniformément, sauf aux points z' ou sur les lignes l .

La série converge uniformément sur une ligna Alî \-t = g(t)-, g = A(ï)], si la série