SUR L'ORDRE DES PÔLES DE LA RÉSOLVANTE D'UN NOYAU DONNÉ
9. Tuéorèue 1. — Sr l’on considère deux noyaux orthogonaux H'(x, y) et H'(x, y), le mineur d'ordre q de la determinante D(X) du noyau H(x, y) = H'(x, y) + H"(x, y) est fonction linéaire et homogène des mineurs d'ordre o à q de chacune des déterminantes
D'(A) et D'(À) des noyaux respectifs H'(x, y) et H'(x, y).
En effet, en vertu de la formule (31) et des propriétés des noyaux orthogonaux (n° 2),
(G4) D A EE 1) SAN RE JC (Ts, Vas À) + Ha, Y'a À) ... Cr À) + "(1 Yo À) DA DA le nt tea ee ee eos aise dés 0 CURE ; FC (Los Pas À) HR (tp YnoA) ose (rs YEN (re
Le déterminant du second membre peut se décomposer en 2% déterminants. Si nous faisons cette décomposition, nous obtenons une somme de termes de la forme
Rte Va A) UC, Vas À) (LS dot) MIE TAI D DRM re RE RER LE RE RE
DC; Y'a À) ... I (Lys Y'a À) FC" (Lg Ya+u À) ... JC (HT)
une permutation quelconque des variables y,, y,, ..., y, pouvant être substituée à la permutation y,, V2, ..., Vo.
En développant le déterminant du terme précédent par rapport aux & premières colonnes, d’après la règle de Laplace, on voit immédiatement, en vertu de la formule (31), que ce terme est une somme de produits de deux facteurs dont l’un est un mineur d’ordre & de la déterminante D’(À) et l’autre un mineur d’ordre 49 — & de la déterminante D’(À). En faisant varier & de o à g, on démontrera donc le théorème I.
10. De plus, en vertu de la règle de Laplace, on voit que le second membre de (34) peut être formé de la façon suivante : .
Soient
(&) hs Aie DUO ARE
(7) Ji Ja cs Ja
deux permutations simples quelconques des nombres 1, 2, ..., g et soient t, j les nombres d’inversions respectifs de ces permutations
D, TE sie à ee Bis + + +3 Lig D -
\ to Tiny "9 Li NÉPN AEn e One
à) Var Vera SÉLEDE NT
la somme du second membre étant étendue à toutes les permutations simples (4), (7) et à toutes les valeurs des nombres entiers positifs ou
nuls &«, B tels que à + 6 — gq.
11. Corollaire. — La règle précédente se généralise facilement si l’on suppose H(æ.y)=H'(x,y) + H'(x, y) +...+HO0(z, y),
les 0 noyaux composants H(x, y) étant orthogonaux deux à deux. On a avec la notation précédente
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