Tuéorème Il. — Étant donné un noyau H(x,y) = (x, y
somme de q noyaux canoniques relatifs au nombre fondamental c
MINEURS DE LA FONCTION DÉTERMINANTE DE FREDHOLM. QT (n° 2), le mineur d'ordre q de la déterminante D(X) de ce noyau
n'est pas identiquement nul pour À = c.
On a vu (n° 2) que la déterminante D'(X) du noyau A (x, y,o)est
D()(2) Fe (1 ne €,
Il résulte de là et du corollaire précédent que les termes qui ne
, RS Lo nr contiennent pas (À — c) en facteur dans D ( NET Coupe x) sont tous Vs Vos cs Va
:) pi ( à)... Den (Tr à), / CAURS 47
(2) et (7) étant les permutations définies ci-dessus, et cette somme étant étendue à toutes les permutations simples (2), (7).
Par suite, en se reportantaux formules (21) et (22), on voit que les termes en question sont tous compris dans la somme
compris dans la somme
re DA a
P(a) ce : ' — cP DS aitær) Br, CAC is) RU Ve 5 CAIPAG/AE (à) (3)
P(a) désignant le produit des constantes af (0—1,2,...,q et
M 2 Les D 1) Cette somme peut s’écrire
if) (Er) af (Zi)
ta) CON RENE IR EE 00) DE NP ESS NT AR AE EE ee ROUGE) 0 AT (%r)
AE) FCYE) .…. PAC) Mme) ERA) Bh(ya) Pa (ya) :.. PE (a)
Je dis que les deux déterminants qui entrent dans cette expression ne sont ni l’un ni l’autre identiquement nuls; car, si le premier par exemple était identiquement nul, on pourrait déterminer des constantes &,, 4, .., @, non toutes nulles et telles que
aat(z)+aaf/(x)+...+aaf (x) = 0.
Or, ceci est impossible, les fonctions aŸ (x) formant avec les fonc-
tions b (y ) un système biorthogonal (").
S est donc différent de zéro et cette proposition entraine le théo-
rème IT.
45. Tuéorèwe II. — Ætant donné un noyau h,(x, y, 0) somme de q noyaux canoniques relatifs au nombre fondamental c, le mineur d'ordre 0 <q de la déterminante D(X) s’annule
n6+; SE NO + de COUR 477 ns fois pour À == c, si l’on suppose Elise gs
Nous fixerons les idées en supposant
> > CEUTEE QU, ra —i—1 — n6;,
Gi — Ni... — NG— frs —...— AN6+;, n6+5 > 6442 NB4j+s 2 … Nyse Soit, d’autre part,
(u) Us Uo, CAT lit)
une combinaison simple quelconque +1 à i+1 des 1+j+1 nombres (0—:)(0—1+1)...(0+7).
Le corollaire du théorème [ montre que les termes de moindre
degré en (c — À) dans D de Li A Vis Vos SOC EL
puy puo tee. ; E=(i—;) (En 042 Sons ve.s TG — J15.Ves +.., YO
x) sont donnés par l'expression
le terme sous le signe n désignant le mineur d'ordre 8 de la déter-
Lu)
minante du noyau
RO (2, 7, 0) + RP (x, yo) +. + REZ, y, 0) + A (x, y, 0) + Ala(x, Pr 0) AE ( 2 y, 0,
et la somme » étant étendue à toutes les combinaisons (x).
; fu ce sujet LaLrsco, Zntroduction à la théorie des équations intégrales, p. 35.
Cette somme ne saurait être identiquement nulle pour À = c. Il IAE S 06 OA Vis Var. YO terme non nul pour À = c, lequel est le produit d’une constante par le produit de deux déterminants non nuls
À | contient un
résulte en effet du théorème ll que De
REA Le, tit æ, ) au(r,), 2.0 arf) lala œbit (ne) HUB). CHE) AE RME PR mer ON OU ONE SRE E eCIE I0 0 MROO EE (1) pre ÿ à Cp) ee BR Cye) BC) ee Bye)
Par suite, si la somme
Re ss TL
V'ptw dd £ Vis Vos +. YO
1) était identiquement nulle, il existerait une relation linéaire à coefficients constants &,, &,, ..., @,; non tous nuls, tels que
alt (æx) + aatt(x) +...+ ap, af) (x) = 0,
ce qui est impossible en vertu de la biorthogonalité des fonctions (y, 6 œ, (æ) et By Cr).
On voit donc que E est divisible par la puissance n6,,+ n64:+...+n, de (À —c) et n’est pas divisible par une puissance supérieure. Le théorème IIT en résulte immédiatement.
44. Nous sommes maintenant à même, pour un noyau donné, de préciser la signification de l’ordre des pôles des résolvantes canoniques composant la partie du noyau relative à un nombre fondamental.
Soit un noyau H (x, y) tel que pour À — c sa fonction déterminante s’'annule p fois et tel que le mineur d’ordre Ô de cette déterminante s’annule p, fois.
En vertu de l’orthogonalité de la partie (x, y, o) du noyau H(x, y) relative au pôle c et de la partie H(x,y) —A.(x, 7,0), il résulte du théorème I que les nombres p et p, sont les mêmes pour le
noyau (x, y, 0) que pour le noyau H(x, y).
Si donc h,(x,y,h) est défini par les égalités (21) et (22), on déduira des théorèmes IT et III les égalités suivantes :
hp 10 P:
Ns= pin Pa
see den de :
(35) 4 RB— 61 — Ph»
TPE Pots
Pq— 9:
Ces égalités définissent les ordres des pôles des résolvantes canoniques.
Par analogie avec la théorie des diviseurs élémentaires d’un déterminant dont tous les termes sont fonctions linéaires d’un paramètre À, nous traduirons les égalités ci-dessus en disant que : les ordres des pôles des résolvantes canoniques sont les exposants des diviseurs élémentaires de la fonction déterminante.
