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H(x,s)=Hy, (x —p+1,s—v% +1) pour AN ST) Ù , 4 IE

TT} = Ju EEE) pour (OS VE ED EN ©

uw et y variant de p+r à p+g et considérons l’équation intégrale linéaire de première espèce Pp+gq (98) [ Hes)9(6)& = jte).

P On verra facilement par un raisonnement calqué sur celui du n° 16

que, à toute solution du système E,, correspond une solution de (98) et réciproquement, ces solutions étant liées par les relations

dz)=4(r— Pi) pour OLT—UHI<I.

Or, on sait que l'équation (98) n’a pas toujours de solution. 46. Plaçons-nous, pour terminer, à un point de vue particulier et

considérons la fénetion Ü(æ) qui satisfait à à (98) comme la limite pour À = de la fonction 0 (æ, À) qui satisfait à l'équation

LODENTI H(z;s)0(s,4)ds = À f(x)

et AHREUES H(x,s) de la forme H(æ,s) = Xi(æ) Si(s) + Xa(æ) Sas) ++ Xo(r) So(s).

Nous allons, dans ces hypothèses, établir la condition pour que la limite 0 (x) existe et déterminer cette solution.

La déterminante D(À) du noyau H(x,y) est un polynome de degré & en À qui peut s'écrire

D(À) = 0 + oi À +... + am À,

: , NES , el son mineur du premier ordre D ( D est un polynome de degré

TT en À qui peut s’écrire

4 = D ( h) = Bot, 7) +Bi(t,Y)À +... + Bo-1(2, y) À.

Par suite, dans le cas général,

P+4 fx À D S$

Br, ÀA)=— À f(x) — 2

1) f(s) ds TEE

se présentera sous la forme d’un quotient de deux polynomes en À : le numérateur est de degré & + 1, le dénominateur de degré &. Quand À croit indéfiniment, 0 (æ, À) tend en général vers l’infini.

Pour que 0 (x, À) ait une limite finie, il faut que

p+q (99) SC) aa+ [ Boi(æ, s)f(s) ds — 0, |

et alors 0(x,À) a en général une limite quand À croît indéfiniment, savoir

p+q des dh Ba-x(æ, s)f(5) ds PER RS RE De ET

La

47. Notons de plus que l'étude des équations intégrales linéaires

du second ordre sans second membre permet d'analyser la condi-

tion (99) : elle veut dire que f(x) est une fonction principale du noyau

8, (2,s) relative au nombre fondamental (- =) (o 4

La} Par suite il n’existera de fonction f(x) différente de zéro satis-

faisant à cette condition que si

Lo]

A (À) désignant la déterminante du noyau 6, (x,s). Il convient de remarquer que (100) est une condition dépendant uniquement du noyau H(x,s) de l'équation (98).

Vu et approuvé :

Paris, le 17 janvier 1913.

a Le Dovex pe La Facucré pes Sciences, Pau APPELL.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 17 oe Toi: S

Le Vice-RECTEUR DE L'ACADÉMIE DE Paris, ÿ | L. LIARD.. | SEE {