PT À

est holomorphe en x et y dans le domaine (S) du plan de chacune de ces variables.

Cette fonction (x, y) joue un rôle analogue par rapport aux deux équations (92) et(92). Considérée comme fonction de x par exemple, elle est, dans le domaine (5), la solution de l'équation (92) qui, pour

G. Darsoux, Théorie des surfaces, t. IT, Liv. IV, Chap. V. G

() (2) G. Huuserr, Cours d'Analyse, t. II, 3° Partie, Chap. V.

æ= y, S'annule ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre # — 2 inclusivement, la dérivée d'ordre x — 1 étant égale à l’unité.

Cauchy à montré que la fonction z(x, y) est telle que la solution de l'équation différentielle

Ds pi M)errer me cr Pn (NN (D),

pour # compris dans (S), est donnée par la formule (96) u(æ) = U(zx).+ | 2% ANAL),

Ur) désignant l'intégrale générale de l'équation (92).

42. Considérons maintenant la classe d’équations intégro-différentielles linéaires

n n—1 1 - + Pr) ee ct pntelu = (a) +4 D [bte s) Das

les fonctions (x) et k,,,(x,s) étant holomorphes en x dans le domaine (S).

La formule (96) nous permet d'écrire

u(æ) = U(zx) + [ ste t)Ü(L) dt

+ À à à HEC Pda t(ers) a . ds.

Posons .

U(e) + fl 2020 9(0dt= 8() el

Î APR tLs) dk, (c,s)

Ces fonctions sont holomorphes par rapport à æ dans le domaine(S) en vertu des hypothèses faites et la fonction u(x) est définie, dans ce

domaine, par l'équalion intésro-différentielle suivante rentrant dans le type étudié par M. Boutnisky (1).

V=m—t1 l' " (97) u(z)= g(x)+ À > Î Rate 1722

Y û 453. Nous allons donner une nouvelle méthode pour résoudre cette

équalion.

Dérivons m — 1 fois les deux membres de cette équation par rap-

port à æ et posons

d'u(x) d'h,(æ,s) dv g(æx) DÉS ET NES — Qu+i(æ), S es Hysi,v(æ, SR Pr = fu (2

L'équation (97) jointe aux »—1 équations ainsi obtenues forme le système d'équations v=m

qu(æ) = fu(z) + Ù 1 Huv(æ, s) p,(s ) ds (ht, sm

système d'équations intégrales linéaires de deuxième ou de troisième espèce que nous avons étudié dans les Chapitres précédents.

NOTE SUR LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES DE PREMIÈRE ESPÈCE.

4%. Dans l'étude que nous avons faite (n° 16) des systèmes d'éguations intégrales linéaires du type (36), nous avons laissé de côté le cas où À est identiquement nul.

Pour compléter cette étude, nous allons indiquer sommairement les principales particularités qui se présentent dans ce cas.

Supposons donc que A(æ)=—:0 ainsi que ses mineurs d'ordre

(*) Bournisky, Bull. des Sciences math., 1908. Mémoire déjà cité.

P+I, p+2,..., m, mais que le mineur

CAC MEL TAF 2

ApitÆ) 0: “4 (X)

ne s’annule que pour des valeurs particulières isolées dans le domaine DB:

1° Supposons 0,,,(x),0,,:(x),...,0,(x) connus dans les p premières équations du système; elles peuvent être considérées comme un système Ë d'équations intégrales linéaires d’ordre p en 0,(x), 0,(æ), ...,0,(x), système de seconde ou de troisième espèce du type étudié dans la seconde Partie;

2° Supposons 0,(x),0,(æ),...,0,(æ) remplacés par leurs valeurs

sous les signes f ; les m équations du système proposé forment un

système d'équations linéaires en 0,(x),0,(x),...,0,(x) qui seront compatibles si » — p conditions de la forme

> [ Hwte,s)8,(9)d= jte) (B=p+I,p+2,...,m)

sont satisfaites. Appelons Ÿ’ ce système de conditions et supposons que Hy,(x, s) = 0

pour tous les systèmes de valeurs

V=p+q+i, P+gq+2, Dre m.

B=p+1, P +2, FES m.

Les q premiéres équations du système ZX’ forment un système d'équations intégrales linéaires en 0,,,(x),0,,,(x),..., 0,,,(æ) que nous désignerons par È,.

Les 7» — p + qg —r dernières équations du système L’ constituent r conditions auxquelles sont astreintes les p fonctions 0,,,(x), 6,,,(æ),..., 0,4(æ). Nous désignerons l’ensemble de ces r conditions par },.

Pour résoudre le système (36) nous aurons à résoudre d’abord Île système E,, à vérifier ensuite que les solutions de ce système, si elles existent, satisfont aux conditions X,, enfin, si les conditions È, sont remplies, à résoudre le système È où nous choisirons arbitrairement

les fonctions 0,4: (x),0,30æ) 0, (7);

45. En dehors des conditions Y,, l'existence des solutions du système (36) est donc subordonnée à l'existence des solutions du système À, etil est facile de voir qu’un tel système n’a pas toujours des solutions.

Définissons, en effet, les fonctions