CHAPITRE L

EXPRESSION ALGÉBRIQUE DES MINEURS DE LA DÉTERMINANTE EN FONCTION DE LA DÉTERMINANTE ET DE LA RÉSOLVANTE.

5. Nous établirons tout d’abord une formule importante de la théorie des déterminants, formule qui sera une généralisation de la formule bien connue

02? oP oP oP oP

5 == Em Jarss, dar,s, Jar,s, Jar, Ja;,s, Ja,

où P désigne le déterminant Œii CRE din P==

ni CRCES Ann

et ri, 23 81 S, deux combinaisons simples 2 à 2 des nombres 1, PR UT

La généralisation que nous avons en vue est la suivante : désignons par Pr, le déterminant obtenu en supprimant dans P leslignes 7,

Pislas,

LI 4] . 2) à 1 p. < Toy.) yet les colonnes s,, $,, ..., s,; nous nous proposons d'établir la formule

PATE Sq ir recto Va p°s 4 yes Sy P‘# LS q—2 ss.) S1

pq la Pop lg ee Ja ‘ve lp lg l'a

MCE : »Sq Sq—1 3 Sa > 4 Sq Sq— vs Sa > a—1 Sy de.) S1

(24) p[p;r® or ALES, == Pol ns Co NE Ar I PAT lg dela PE | l'A; l'q Fa 1.) Pa |9 e NPA ETELLEE D er 2 q pr ‘1 dtrotesre) Sa 2545 So Sq— "0 Sa P°1 1) Sg—a ere) S4 Pt lg vert li lg lo te la see ls ln 1

Ph Miam ns da iousert Se

à g des nombres 1, 2,...,n.

La formule (23) peut s’écrire

désignant deux combinaisons simples g

= 7 l'a 2 2) à AN

(25) Po x Pis etes

Po PE

et n’est autre que la formule (24) dans le cas de g —1.

Supposons donc la formule (24) vraie jusqu’à une certaine valeur de g et démontrons qu’elle est encore vraie pour la valeur g +1.

Pour cela, prenons la dérivée des deux membres de (24) par rapport à 4,,,,,,, en supposant 7, différent des nombres 7,,7,,...,7, és: Cerent des NOMDFPSS,, 8,52. 97

Nous obtenons, en multipliant les deux membres par (— 1)'7#%4,

loops pnfpeenl

TasT'aye..s l'islas tee q+1 QE LPELE TOOL) rq Pr dm SSI DRE En D) 0 45 SD 2 SE Sin S io, te) 4 Sg-t 45 Sqs eee Si Persos Sq 2 Sq 2 °°" 54 Pl qer Ta ot ap lg rereseniens »7à L'an l'a verrons conesnses Ta Pa lqao eee eee) l'a .. Tag ve Ta 1=

“ SqSq—4" ** “52 Sas Sin > Sa» Sgy et) Si Sa Sion tt) Sas Sg +1 Sq ve Si So its ee) S4 Sgs 28 re Sq—1 Sq—2° *t°9 54 » Plats PT Pas qqn venerrenee Ds Pan Pq + l'queis snnreresensssre) lg PPT EN EEE Hu ORCEC PTT qe 073 TT re nr nm ble et les» Diese dre our Se le sure eo nues ce as messe ox ace) eee 0 9 fo ee à eat ON

£=1 pr" ss Sa Sie Sig 815 Sq ee Si Sins Sos cer) 43 Sy 4 So ete9 Sida DSi Sin re Sa Squere2 Site PP‘ Sq—2 54 Dogs 2 © Pa l'q ose rneeeeres l'a Lao Tan tetetrenneneses » Pi lg PETITE LE ee Tag lg

D'une part, remarquons qu’en vertu de (24) ona

en A DE Ge CORAN) p's fi von Sa Sq“et Pa lqetes la exCr DPENTLE TEEN Ts Sqg+1 S4 Sa, +.) Sg+1 ]9—1 péri [pire | UT no lq+1 Var Paper get gas Squeres sr AA ps" So ve Si Sg+t Dar ga Tag Fe DOUTE OL ET

D'autre part, multiplions le terme général du second membre

DOSRRE 4 . Q “RE nes

de (26) par ere . Pour cela, multiplions les (4 1) premières

colonnes et les g—j dernières par ce déterminant à la première puissance en tenant compte de la formule (25).

Soit 7 le rang d’une des colonnes considérées, elle peut être rem-

placée par la colonne suivante :

P' DETTES TEEN ET ET TO 2 +1 P; japon 18 que pri targ pese Sj41 pit ses SaSques Pgtil'quesssressessssese l'qpreessee 0 Sn 1 Pquessersssssessre TT Pi EE l'a ;

P° js je 08 9 + 158 q ns 1 P° sera S4Squee ns Pi ET -5j +1 P° jte 4S ques 8j (250 7er TOUS à PA prenne tree) ra P'iplquorssesrennenene l'a CR DDC Tee l'a ,

TO nc 0 Co DA AO CCC Ie CR D Mo DCE Na LOC A2 At AOC ,

poser DSi 58538; D jar 8498 q +4 158 que j +4 P° jt ones S 4 ne 8j Pt reset PR ln OUT D CT Ae QU ST UE LR ODA l'il'q le LE ER

4 1 q 4 q q x qg—17"q— q

Le déterminant du terme général du second membre de (26) ainsi multiplié peut alors être remplacé par 27! déterminants partels et tous ceux de ces déterminants partiels qui contiennent deux colonnes provenant des termes soustractifs des sommes (27) sont nuls comme ayant deux colonnes proportionnelles.

Le déterminant du terme général du second membre de (26) multiplié par ee est donc finalement égal à la somme des q termes suivants :

1° Le produit

p+ssr ss Tire 45 lq +

2° Les (g — 1) produits

Pan » 845 Sq-+t Sqp Li [PE Sa.

DOTE RON NN co

ra, Te Tq

obtenus en faisant varier 7 de 1 à { — 1 et de : +1 à g et où À ; représente le déterminant

site CHE ee. P? Fj—opeees 848 q 4e ÿ P° PE CE EF ÉREEO] P? press S1s Sq+arsS jte Pa-1$g-2. 5 0Sq+1 Pgo queese le l'q+v7 4 corne roan Sa Per qe l'a rq+t qe. l'a .… rq+i7 q ra ui DOCCEET ‘2 ue DE 9" Sa $q+4 FO Si DS jt 54 " 8) Sjpeee » S4s Sq-+1 ras Sj+a Pia Sosa +4 LECLERC PL POP FRE TPS TE Pal'q+t le bts PA ADS ls RE Pal q+ sl queues ra RS rte ete ele . Pete ot ete ile Die Ce . du ee ous Le . ee à HD su TRS LA EC E A SperSq+4-$j+a Pr-12%9-2-50$g + Teste ë ° 0 nn ed D ol NT SET ARRET Dr ‘ , té qq mr Palo s gb lg 17444 MATE ul'q+i C'Ens me COQUE OÙ En x qq q4 à

En vertu des remarques ci-dessus, la formule (26) peut s’écrire, après | Sas Sa, D V4) RU

Fa, la, Tq+1

multiplication des deux membres par — "1, (gere HE Le EU, |

>q+0$q Sa Sq—i Sg—2 Si» Sq+4

: lqtulq ARLON ra Fqtv7q pissssves le

Fe Ü S> So

P|p°" Sa, pie P AE Sq CO OC …….. SO AC PR A CR

DETENTE nt ne ŒuUrEE

ay OPINION) s ù ÿ

RÉ RS Dee CR Des borts Lg Pgo Po lg

Sas. > 54 Sy + à M PA ho (0 LES PÉCEEEEE EE ELT EN A

Cette égalité n’est autre que l'égalité déduite de (24) en remplaçant qg par g +1 et développant le déterminant du second membre par rapport à sa dernière ligne.

: ù : sl LA ' ’ L'égalité (24) est donc générale, C0, Fo

4. Nous nous proposons d'appliquer la formule précédente à la fonction déterminante D(A) d'un noyau H(x, y) et à ses mineurs.

Auparavant, nous reprendrons la démonstration d’un théorème dû à Hilbert (').

Supposons | H(xy)| moindre que M et considérons les déterminants:

LA ( :) (2) =eu(s ss —u(2,2) 10) RL on [42 4 2 1 À "à IUT ni TLONt == tt __ / A —u(2 2) —}u(2, à) À x 2) 17 —u(i,2) n ? 4 NS 4 ) n CN 1? ni n nn nr COR 1) À, VE = es É sen k (4) cu (2) un(e 3 D 2 (52) M —n(s2) It PR TE ELA na n n V1} LA PEN à}

lola ele eo aan Tien 07 oise ee moe ns ee Un ee mire os eo ete. Foie nn Ses "+ s site ste tele sh

e held e els sie ets ele Fier da ds D des 2 sols as Lines ele le pirlnle 19 Lu nie ep se 0,04 0 51e 94e" Me elle 0 ene'e es

Lis Los * Ta 1)

Yi Ya » Va

Die, »)H(x,y:) .… He, y) —H(anx) (ent) ” LCR

H(2,71)H(2:, 72) + H(22, Ya) (ax) EH (2) —2u(a,2)

H(zy Y1) H(Z 72) He) (ans) Hans) —u(x,t)

CG) nb) (es) 6) … NS

ns)nG) ee MG) MG) vd = (2) cn

n n n —À LE — n 2 6 A# n(Rr)H() ni: H (Sy) HD) —'u(re) D

(*) Himerr, Mémoire déjà cité (Erste Mitteilung).

Li, Lo,

a, ( *e Vis Ya CO

par 2x (

Tuionèue. — Lorsque n entier croit indéfiniment A,(X) el

tendent respectivement vers D(X) et

Li, Lo, .. Lg

Von

Li Las oe

J15 Ya OM

QE Va

! ’ . Lis Las cs Las Développons en effet les déterminants A,(À) et A, (7 $ F' à) Vis Va Va par rapport aux puissances croissantes de À; on obtient n( à) n( =} La ies É nm, nn, n° 41 ER 1èn PRE: EE ÉCE \s 6: 4) eur H(2, AAUAT == » (=) D. — un(e n n(2, a (= =) m=0 PAR La Ce: sieste MR ebieLNE -TESE

-» Jq

H(x:, y1) H(æ:1, ÿ2) H(æ:, Ya) H

Zi;

Fee. À TER.

él aletsre eee se «0 00 0 0 où D'JRNar et ste ee aie a Met sn der ea ei t DR eRRSR

L Fr A SE 5 f H (9 1) H(Zy Ya) H(r, (ent) (en) H(+,,2) D. e == te, ES 2 AE ice MS PÉE HU n)u(re) H (2 1) H (2 2)u ( à) H(2 =) an de Le LEST TE ÉS (2 n(?, u(, ha h\p{é à) (2 És (an) n vs) (= 2LE )n (& } : nn

n ñn n nñn Nous désignerons par à? le coefficient de (— A) dans A, (À) et

ir Pas 110 le coefficient de (— À )° dans, ( à | DATPÆÉTEEEEP

Ti, Los +. Tag

JY9 éL) Ÿq

MINEURS DE LA FONCTION DÉTERMINANTE DE FREDHOLM. 1 1 nue .

D'autre part, nous désignerons par d° le coefficient de (— À)

dans D(A) et par d° ) le coefficient de (— À) dans

D eue 1 Lg à)

V1 Yo) …. > Ÿ'q + Démontrons que

D is D ed y Yo Ye» CA 0 Ya

Ly Lay cs Lg

AA NRUNe

{ CAR Lo, dleuets Ty

1) = hm A? | HE VA ee ig

On démontrerait la formule

Remarquons que, en vertu du théorème de M. Hadamard sur la

valeur absolue d’un déterminant (‘}), (— À) sus ur et Re (— À) ar (

Li Lay y À :

TS he . sont moindres en valeur absolue que

NATRES .. .)Vq

DANCE lg = ————— — — ——— ;

terme général d’une série à termes positifs convergente puisque

I + Vorpan Eee

Do Ug

On peut donc déterminer & suffisamment grand pour que, quel que soit », on ait simultanément les deux inégalités

=D à pe TV 1) Say; Fe Dos Me LE.

: MDN RE 4 Le MN Re A D (2 ) “ss Lido sn Pa ee y a ù (E Te ) mt ; D he s "3 , pe » q ce ù ? LME À

(1) La valeur absolue d’un déterminant d'ordre & dont tous les éléments TD

sont < M en valeur absolue est inférieure à MSw° (Bulletin des Sciences mathé-

maliques, 1893, p. 2/0).

e étant une quantité positive aussi petite que l'on veut donnée à l'avance et À ayant une valeur donnée.

D'autre part, il résulte de la définition même de l'intégrale définie qu'on pourra déterminer 7 suffisamment grand pour que les & +1

inégalités

Us Las ct En TE Cai-ers Cyle (—à)'d, )—e'a ) > — 4 / VE Var si ds :

Vs For ar 2»

EUR PE Ce

soient vérifiées pour une valeur de À donnée. Ces dernières inégalités entraînent la suivante :

i=T ee |

3 Lys Los cs € Ty N u, TÉT U te Ty Le (29) (— 2)! su ( )— ÿ (—À)i di. ) £S - Pa Ja es Ja ne. ea Va SLT 3