REA ON 2 US SR 2 LE A

ECS EM HCS- Zi re Hs 22)

ER A HS er He re) D(A) est la fonction déterminante relative au noyau H(x, y) supposé fini et intégrable en x et y dans le domaine 0x1, o<y<1, D " Hs dy

Ju Ÿn Vo minante.

D'une part, Fredholm a montré que la fonction déterminante D (À)

à) est le mineur d'ordre q de cette fonction déter-

. 5 æÆ , = et son mineur du premier ordre D{ a) satisfont aux relations D +

caractéristiques

| D(o)—1, | (7) (7) ou ut A 1) ds, (7°)

LIPDELCPLHOEL ETES 2.) ds, (8’)

(8) 1 | =? f Hs) D(%/)ds (8)

D'autre part, Fredholm a établi :

1° Que si D(À) £ 0, ce que nous exprimerons en disant que À n’est

pas un nombre fondamental, l'équation intégrale linéaire (9) o(z) — à f H(x,s)o(s) ds = f(x),

où f(x) est donnée, finie et intégrable dans le domaine o£x£t, À un paramètre donné et 2(x) inconnue, admet une solution unique

(10) e(æ)= fe) +2 f JC(æ,s, À) f(s) ds.

(x, y, À) étant la fraction

»(51) (11) (x, PO Enen

Il résulte des relations (8) que la fonction æ&(x, y, À), dite résolvante du noyau H(x, y), satisfait aux deux relations

—H(z,y)+ (x, 71) [ H(x,s)3(s, y, à) ds, (1220 (12) 1.

SA HS TIC (rs, À). (129

2° Que si, pour À =c, D(X) est nul ainsi que tous ses mineurs d'ordre g—1, son mineur d'ordre q étant différent de zéro, ce que nous exprimerons en disant que cest ombre fondamental de genre q, les équations intégrales linéaires homogènes

(13) 9 (æ)—2 f H(æ,s) o(s) ds = 0.

(14) Ya f H(s,y)Ÿ(s) ds — 0,

dites associées, admettent respectivement les g solutions indépendantes

D ( Lys Los see, LG 4e y EG+ys ee Tag

Dé ee Foensre RENE » La k Ma Varenne Re tr vs Ya

(15) g(x) = Dix) —

) ) Les q solutions (x) sont linéairement indépendantes, et il n’y a pas d'autre solution indépendante des qg précédentes pour l’équation (13) et la valeur c de À. Ces solutions sont appelées solutions fondamentales relatives au point c.

3° Que, pour À — c, nombre fondamental de genre g, l'équation (9)

n'a pas, en général, de solution; les conditions nécessaires et suffisantes pour que des solutions existent sont les 4 conditions

Mi des r PO AMOR 2

D Vis Vos res VO—19 Vs VO» ces Va T Pass sases ss rebarre T 15 943 css ess pr ea s q

D Yu Ya els es eme ls aie ds ee or > Va

(16) Dr) = sy) —

(17) Ve Yi(s) f(s) ds = 0 Cr 7 ar

Ces conditions supposées remplies, toutes les solutions de l’équation (9) pour À = c sont définies par légalité

4 Et | (18) p(x)=f(z)+c] K(e,s)f(s) ds + Ÿ'ag dix), ù 0—1 où K(x,y) désigne la fonction Lula lie EPS URA d , , Ver A PAPE UE ee UT (19) K(x, Y)—= NS pre ) 15 Vas ss cos » Ya

et où les &; sont g constantes arbitraires.

2. L'étude des noyaux H(x,y) et de leurs résolvantes a été faite par MM. Goursat (') et Bryon Heywood (‘), et complétée par M. Lalesco (‘). Rappelons les principaux résultats de cette étude.

Deux noyaux, H(x,y) et K(x,y), sont dits orthogonaux s'ils satisfont aux deux conditions

(20) faeskena=f H(s,y7)K(zx,s) ds —o.

(*) Mémoires déjà cités.

Première proposition. — Si un noyau H(x,y) donné est la somme de plusieurs noyaux composants orthogonaux deux à deux : 1° la fonction déterminante du noyau H(x,y) est le produit des fonctions déterminantes des noyaux composants; 2° la fonction résol-

vante du noyau H(x, y) est la somme des fonctions résolvantes des noyaux composants.

Deuxième proposition. — Désignons par h,(æ,y, À) la partie de la fonction méromorphe %(x,y,X), résolvante du noyau H(x,y), qui devient infinie pour À = 6, et soient c, et c, deux nombres fondamentaux du noyau H(x,y). On peut poser

Hz, y, 1) = (x, 7, à) + he, y, À) + (x, y, A).

Les noyaux 2,(x,y,0), A,.(x,y,0), k(x,y,0) sont orthogonaux entre eux deux à deux et admettent comme résolvantes respectives RUE, MX) he, ya).

Les deux propositions ci-dessus montrent qu’on peut étudier séparément la partie du noyau h.(x,y,0), et la partie de la résolvante h.(x,y, À), relatives au nombre fondamental c.

Soit c un nombre fondamental de genre 7 annulant p fois D (À). h.(x, y, À) peut être considérée comme la somme de g fonctions

où (x, y) NE (x, y) pa (x, 7)

(eme uen DT ce WU Rs

(O2 Cr, y, —

[ I=nÿ

x N= > az) Br).

1=1 i=ng— 1 pU(x,r)= > CAPE) BA (x), (22) 2

i=ng—2

6, , ne PMHa UD aabahtz) BU, (y),

DU (x, 7) abat... a, ad(r) By).

7% ‘v HQ— ñQ

n+n+...+n=p etles 2p fonctions" (r)Mer B°(y) qui

: - , ( NS existent, quel que soit le choix des constantes a}, forment un système

de fonctions biorthogonales.

h®(æ,y,0) est dit noyau canonique d’ordre #5, h®(x,y,}h) résolvante canonique d'ordre nÇ correspondant à ce noyau. . , . 6 De plus, la fonction déterminante du noyau h(x,7y,0) est

PAUT e Dans la première Partie de la présente étude, nous définirons les nombres n,, R:, ..., np.