MOUVEMENT RÉSISTANT HYPERBOLIQUE
(L’hyperbole a une asymptote verticale.)
Nous étudions dans ce chapitre les circonstances d’un mouvement résistant dont la trajectoire est une hyperbole ayant une asymptote verticale. Nous appellerons ce mouvement : « mouvement résistant hyperbolique », sans préciser chaque fois que l’hyperbole a une asymptote verticale.
16. Équations du mouvement. — L’hyperbole passant par l’origine a pour équation :
y = at — b + b(1 — ex) 1.
Calculons les trois premières dérivées :
y = a + bc(l — cxÿ?°, ur heal cr):
y Obc(l er)"
Les conditions : y” < 0, y'''< 0 exigent que b soit négatif et c positif. La relation entre t et x est donnée par l’équation (8) :
lon) (L— cx) * dx;
on en tire, après intégration :
Les autres éléments du mouvement s’en déduisent à partir de l'équation de l’hyperbole et des équations (7). On obtient :
LAVOR ES
y= ax —b— Ÿ(— 1), 2C gr a+ À (— to) Ÿ COS T = — nn gc
Conditions initiales. — Les trois paramètres dont dépend l’hyper bole seront déterminés sans ambiguïté par la connaissance de %,» Vo, Ro. La constante t, est déterminée par la condition que l’origine est atteinte au temps zéro. Le calcul donne :
Lo = — 39e NC ER 0 n NE ER R, 4 R, cost (16) EM En LE 2 SA Voto COS To | Remarque sur la constante t,. — À l'instant t,, le point est à linfini sur la branche oblique (x = — ). Quand t croît de #4, à
il , À + oo, x croît de — œ à — , abscisse de l’asymptote verticale: le UE
point décrit toute la branche d’hyperbole.
17. Fonctions balistiques dans le mouvement hyperbolique. — Comme dans le cas du mouvement parabolique, les fonctions balistiques définies au n° 12 ne dépendent, pour le mouvement déterminé par les éléments initiaux v,, #,, Ro, que de la quantité
o paragraphe précédent :
S — . Un calcul simple permet de tirer des équations du
SORTE CNE On trouve d’autre part pour R :
© Si\St A RENE ie
18. Interprétation de la seconde équation (16). — La seconde équation (16) donne une relation entre a, coefficient angulaire de l’asymptote oblique, r,et R,. Tout point pouvant être pris comme point origine, la relation est vraie quel que soit £, et l’on a : __4Rsnmr+3z
Le 4Rcost On voit donc que a est le co®fficient angulaire du vecteur = ee > w=4R+3g; on a donc le théorème suivant :
THÉORÈME. — Dans un mouvement hyperbolique résistant, l'asymp- Es
Es tote oblique est parallèle au vecteur &R + 3g.
19. Hodographe de la résistance. Indice p. — En raisonnant comme nous l’avons fait pour le mouvement parabolique, on déduit
