MOUVEMENT RÉSISTANT PARABOLIQUE

Nous allons étudier dans ce chapitre les circonstances d’un mouvement résistant dont la trajectoire est une parabole.

11. Equations du mouvement. — Soit une parabole passant par l’origine. Son équation est :

y = y(x) = ax — b + b(1 —cx) ?.

Calculons les trois premières dérivées :

bc ee y @=a— (er) ?, bc? = (= (—er ?, 3 bc Es

y" (x) EX re S (1 Es Cx) 2

Les conditions trouvées plus haut : y” < 0, y’ < 0, exigent que b et c soient positifs.

La relation entre t et x est donnée par l’équation (8) :

Er once tVe = Lie dr, o

ce qui donne après intégration :

ee a ds.

G—t)Vg= —2Vb (1—ex)1, OU :

AS g”

RSS TOUS LE. 4 Mo PE

SAUNA

Les autres éléments du mouvement s’obtiennent à partir de l'équation de la parabole et des équations (7). On trouve :

9 bp?

eme £ g?

PQ — ————— t Fos a t , 4 bccosr o) R=—30{(t—1,)1 Conditions initiales. — La.parabole utilisée passe par l’origine

Les trois paramètres dont elle dépend seront déterminés sans ambi-

Fic. 3.

guité si l’on écrit qu’à l’origine x, v, R ont pour valeur %,, #o, Ro- D’autre part, la constante {, sera déterminée par la condition que l’origine est atteinte à l’instant zéro. Le calcul ne présente aucune difficulté et donne :

5 NAS AE PL , a —= t PALIER ETS 6 R, GE Con) (15) te &tlo? Pise a Nr ane VotoCOS To Remarque sur la constante t,. — À l'instant {,, tgr est infini. Le

mobile est au point M, de la parabole où la tangente est verticale. M, est l'extrémité de l’arc que peut parcourir le mobile, car, au delà, y’ devient positif (fig. 3).

PO) es

12. Fonctions balistiques. Leurs expressions dans le mouvement parabolique. — Nous mettrons toujours les équations d’un mouvement résistant d'éléments initiaux %,, vo, Ro Sous la forme suivante :

= AVS COTON

= (Ti To - ee 1B;

ot tore tore ee C; ae ce Po COS To

PICOSR = P/ICOS TR DE

À, B, C, D, qui seraient égaux à l’unité dans le cas du mouvement dans le vide, sont ce que nous appellerons les fonctions balistiques : elles représentent l’influence de la résistance de l’air. À priori, elles dépendent des données initiales du mouvement et de la variable ; si l’on effectue le calcul pour le mouvement parabolique, on trouve ce résultat curieux (que nous expliquerons au n° 51): les fonctions

À, B, C, D dépendent uniquement de la quantité s — ir . Le calcul

fo S S se ; =(1—+) (1 RE is)

donne :

D’autre part, on obtient pour R l'expression : (2 SENTE R= Re (1 — = x (0 ,

13: — Interprétation de la seconde équation (15). — Cette équation relie le coefficient angulaire a de l’axe de la parabole, To et R;. Tout point de la parabole pouvant être pris comme origine du mouvement, on a, quel que soit £ :

NAT Re teen à FA TRreeSS

MT Ex.

> Le + Or, considérons le vecteur w = 2 R + 3 g, ses projections sur les axes étant respectivement — 2 R cos + et — 2 R sin + — 3 y, son

coefficient angulaire est égal à a : le vecteur w est donc parallèle à l’axe de la parabole. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME. — Dans un mouvement parabolique résistant, l’axe

= Es de la parabole est parallèle au vecteur 2 R + 3 g. 14. Hodographe de la résistance. Indice p. — Construisons =

> En g ee les vecteurs OR = R puis RS— ne (fig. 4). Le vecteur OS, somme

de ces deux vecteurs est, d’après le théorème précédent, paralièle

Fi1G. 4.

à l’axe de la parabole ; la droite OS est donc fixe et le point R décrit

la droite (D) qui se déduit de OS par la translation — ne L’hodographe de la résistance est donc une droite parfaitement

déterminée par le point rx de Oy d’ordonnée . et par les conditions

initiales qui en donnent un second point de coordonnées polaires SARA à

Réciproquement toute droite passant par x est hodographe d’une infinité de mouvements paraboliques, puisque, la droite étant donnée, +, et #, sont arbitraires.

Indice p. — L'’hodographe de la résistance étant une droite, lin-

dice est constant et égal à p = — Or 3

RAA OR LS

Calcul de — L'équation (13) donne:

qu ae (—TR—esins)

15. Éléments d’une trajectoire parabolique. — Soit une trajectoire parabolique parfaitement déterminée par les données initiales r,, #, Ro. Lies éléments de cette trajectoire, c’est-à-dire : la portée P, les coordonnées X;, Y, du sommet, la durée de trajet T, la tangente de l’angle de chute s’obtiennent aisément à partir de l'équation de la parabole et des équations du mouvement données au n° 11. |

Nous nous contenterons de donner le résultat du calcul. Il est très curieux de constater que les rapports des valeurs de ces éléments à leurs valeurs dans le cas de la trajectoire du vide dépendent de la seule quantité :

MR SESIANTS sacre

On obtient, en désignant par (Ph, (Xs)» (Ys) (Th les éléments de la trajectoire du vide :

PE Hepaus (1 +24) (P), — Vosm2ts X, =(X,) d'au) C4 (T+2%? 1 : 1 (Xs)s A D (Be Ys = (Y ) ———, avec :

1+2k v,? sin?

Y nu 0 To 1 us 5) k ( s)e F De DE tgw — 1tgTo RENE 8 —2k HR 2v,SsnT% AUS ER ments HET a g