CHAPITRE V
APPLICATION DES THÉORIES DES MOUVEMENTS RÉSISTANTS PARABOLIQUE ET HYPERBOLIQUE AU MOUVEMENT DES PROJECTILES
21. Mouvement résistant osculateur. — Un projectile décrit une trajectoire & sous l’action de la pesanteur et d’une résistance tangentielle du milieu.
Prenons comme origine un point O de la trajectoire, et soient Tor Vo; Ro les valeurs de x, v, R en ce point.
Nous appellerons « mouvement résistant parabolique osculateur en O »le mouvement parabolique résistant d’un point qui part deO en même temps que le projectile réel, avec les mêmes éléments initiaux vo, Vo, Ro- (Nous appellerons parfois ce mouvement « le mouvement fictif » et celui du projectile « le mouvement réel »).
On définirait de la même façon le « mouvement résistant hyperbolique osculateur » l’hyperbole ayant bien entendu une asymptote verticale.
Nous avons vu que ces mouvements sont parfaitement déterminés par la connaissance de %, 4, Ro.
22. — Etude de l’osculation des deux mouvements. — Pour faciliter le langage, nous supposerons qu'il s’agit du mouvement parabolique, mais il va de soi que les résultats s'étendent au mou-
vement hyperbolique.
Ordre du contact des trajectoires fictive et réelle. — Soient y — f (x) et y — h (x) les équations de la trajectoire & et de la parabole & trajectoire du mouvement osculateur en O. Si l’on se reporte aux
SOS RE équations (9), on voit que, puisque %o, fo, Ro sont les mêmes dans les deux mouvements, on a :
les deux courbes & et & ont donc, à l’origine un contact d’ordre 3.
Les paraboles du plan dépendant de 4 paramètres, la parabole trajectoire du mouvement fictif est la parabole osculatrice à la trajectoire réelle. Comme, dans un mouvement parabolique résis-
= > tant, l’axe de la parabole est parallèle au vecteur 2R + 3 g, on a le théorème suivant :
TaéorèmEe. — La parabole osculatrice à une trajectoire en un
> — point quelconque M a son axe parallèle au vecteur 2R + 3 g. Dans le cas de l’hyperbole, on aura le théorème analogue :
THÉORÈME. — L’hyperbole d'asymptote verticale osculatrice à une trajectoire en un point quelconque M a son asymptote oblique parallèle = = au vecteur 4 R + 3 g.
Ordre infinitésimal de l'angle des deux vitesses. — Considérons la dr g COS T 2e retenue ; en la dérivant par rap-
port à {, on obtient après réduction :
troisième équation (5}:
d?r £ COST ; SR PR (R + 2g sin r).
Puisque 7, v, R ont la même valeur dans les deux mouvements
à l'instant zéro, il en sera de même de et ee L’angle des deux
vitesses sera donc un infiniment petit d’ordre 3 en t. Ordre infinitésimal de la différence des vitesses. — A l'instant zéro,
p : We v et Fm ont la même valeur dans les deux mouvements ; la différence
de la grandeur des vitesses est donc un infiniment petit d’ordre 2 en é.
Ordre infinitésimal de la distance des deux mobiles. — A l'instant zéro, les deux mobiles ont même vitesse et même accélération, par suite, les différences des abscisses et des ordonnées sont des infiniment petits d'ordre 3 en t.
UT) 0 ee
23. Assimilation de certaines trajectoires avec une parabole ou avec une hyperbole d’asymptote verticale. — Considérons par exemple la trajectoire suivante :
To = 200, c—3.10"4, +, — 200 mys.
En nous appuyant sur le calcul de la trajectoire par ares succes-
sifs, construisons l’hodographe de la résistance (fig. 6). L’arc ASC correspond à l’arc de trajectoire d’ordonnée positive, l’are CB corres-
Fi1G. 6.
pond aux ordonnées négatives de 0 à —400m. environ (la flèche est d'environ 230 m.). L’angle de chute est de 2108’. Le point B correspond à r — — 330. Les variations de R sont (en m/s/s) :
és 200 (9 —40 —330 |
R | 1435 NX 1448 NX 1131 / 1,405
an free Cane ut 7 14 |
Considérons d’autre part le mouvement parabolique correspondant aux mêmes valeurs de r, et v,, et admettant pour hodographe la droite A'B' (dont le prolongement passe naturellement par le
point r de Oy d’ordonnée . Ce mouvement se rapprochera
ne
sans aucun doute du mouvement réel, puisque, pour une même valeur de 7, la différence des accélérations résistantes est au plus de 0,1 m/s/s et cette différence est tantôt positive, tantôt négative. D'ailleurs, ce mouvement représentera mieux le mouvement réel dans son ensemble que le mouvement parabolique osculateur à l’origine, qui aurait pour hodographe la droite tA : la différence des accélérations résistantes atteindrait 0,2 m/s/s et jouerait toujours dans le même sens.
L’axe de la parabole, parallèle à la droite hodographe, est sensiblement parallèle à la droite Sx ; il fait avec Oy un angle 8 tel que
OS 2R, to = = —— 4 Or SEE
R, étant l’accélération résistante au sommet.
Considérons maintenant le mouvement hyperbolique ayant toujours pour éléments initiaux +, et #, et dont l’hodographe est le segment de droite A'’ C’’ (dont le prolongement passe par le point H
de Oy d’ordonnée # Il se rapprochera plus du mouvement réel
que le mouvement parabolique, tout au moins pour la partie de la trajectoire d’ordonnée positive, puisque, pour une même valeur de +, la différence des accélérations résistantes est au plus de 0,07 m/s/s, et ne joue pas toujours dans le même sens.
Remarquons que cette trajectoire sera mieux représentée par une parabole ou une hyperbole d’asymptote verticale que par une trajectoire de Piton-Bressant pour laquelle l’hodographe serait une droite telle que LM dont le prolongement passe par le point P, de Oy d’ordonnée g/4.
24. — Hodographe de la résistance pour R — ke2. — Aux vitesses faibles, les lois de résistance de l’air indiquent que, à pression et température constantes, la résistance est sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse. Or, si la vitesse initiale est faible, le projectile ne s’élève pas très haut, les conditions atmosphériques varient peu le long de la trajectoire.
Cherchons donc la forme de l’hodographe de R quand la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.
Le calcul de R en fonction de + revient au calcul de # en fonction de + qui est un problème classique.
Le EE M
Divisons membre à membre les équations intrinsèques (4) d’un mouvement résistant ; on obtient :
gcosr dv?
— = 2R l Fe as | + 2gsint, ou, en remplaçant #2? par = :
—— = = 2R + 2g sin *.
C’est l’équation différentielle de la famille d’hodographes que nous écrirons sous la forme :
TETE + RE 2 — ] COST + — sin rt = — —.
d \R Ro g L'intégration ne présente aucune difficulté et donne : £ Sin T T o £ ——— = — — Lig(— + — EE R cos? = cos?t 1e cn RES R, étant l’accélération résistante au sommet. Lieu des points d’inflexion. — En partant de l’équation différen-
tielle, on obtient facilement :
* d? 1 1 3 sin r—1 2 sint R
R :j dr? ANSE COS? Tt Aer Eud
le lieu des points d’inflexion, qui s'obtient en annulant le second membre est donc la courbe :
3p7- R— 5 — — SIn T ; c’est une cubique circulaire unicursale, conchoïde du cercle A— LE sin tr et de la droite R — 5 — :
Branches infinies. — Pour + = +/2 et pour + — 0, 1/R prend les
valeurs de signes contraires — 1 et 1/R;. R devient donc infini pour une valeur de x comprise entre 0 et x/2.
Indice en un point. — L'indice est donné par l’équation (11). En
«l £ remplaçant (5) par sa valeur tirée de l’équation différentielle, T
en trouve :
SR
