OP R
JO
VAT De cette égalité, nous tirons les conclusions suivantes :
1° Les tangentes aux hodographes aux points correspondant aux sommets des trajectoires coupent toutes Oy au même point A d’ordonnée g/2.
2° Si R devient infini, OP tend vers g/2 : les asymptotes coupent toutes Oy en ce même point A.
Nous avons tracé (fig. 7) les hodographes correspondant à R; = g/10etR, = gf5.
Soit ASBl’arcdela première courbe correspondant à200>7>—30e. On voit que cet arc s'éloigne très peu du segment de droite A'B!
CNE PA
dont le prolongement passe par x, et qui est l’hodographe d’un mouvement parabolique. Un segment de droite passant par H serait aussi très voisin de l’arc ASB. La trajectoire sera fidèlement représentée par une parabole ou par une hyperbole d’asymptote verticale.
Considérons maintenant l’are A,S,B, de la courbe R, — £g/5 correspondant aux mêmes valeurs de +. Il s’écarte plus du segment de droite AB; dont le prolongement passe par x que du segment de droite A;'B;' dont le prolongement passe par H. La trajectoire sera plus voisine d’une hyperbole que d’une parabole.
Dans les deux cas, la substitution à l’arc d’hodographe d’un segment de droite tel que af ou «,6, dont les prolongements passent par P, ne donne, surtout dans-le second cas, qu’une approximation grossière. La représentation de la trajectoire par une courbe de Piton-Bressant sera très imparfaite..
25. Hodographe de la résistance pour R — ke". — Le calcul est analogue au précédent. L’équation différentielle est :
Le cost + fes d \R R £
ce qui donne en intégrant :
g Le dt 8 a R cos? = 2 COST R; Lieu des points d’inflexion. — C’est la cubique circulaire unicursale :
gSNT— — 2
n SNT
Indice en un point. — L'indice en un point est:
de cette égalité on déduit :
19 Les tangentes aux hodographes aux points correspondant aux sommets coupent Oy au même point N (x — 0, y — g/n). 20 Les asymptotes coupent Oy en ce même point N.
26. Expression de la résistance en fonction de la vitesse dans les mouvements paraboliques et hyperboliques. —Eliminons s entre les équations donnant R et v, dans les équations
L'UnSEUt
obtenues aux numéros 12 et 17; on trouve, pour le mouvement
parabolique : À ;
HR (2 3 COST je Ho a
et pour le mouvement hyperbolique :
TS 3 R=R(+) (= SANTE COS To/
Si l’on suppose que + reste suffisamment petit, on peut remplacer
cos + et cos t, par l’unité, et l’on a :
3 3 R—R(—) et R=R(S) Vo Vo
La première formule paraîtrait montrer, a priori, comme l’indiquait le Commandant BATAILLER dans l’ouvrage que nous avons cité, que la trajectoire d’un projectile ne peut, en aucun cas, être assimilée à une parabole, puisque, pour aucune valeur de la vitesse, le degré de la résistance de l’air ne descend au-dessous de l’unité. Mais, en réalité, quand la vitesse initiale et l’angle de tir sont faibles la vitesse le long de la trajectoire varie peu, et il en est de même de la résistance. La forme de la loi de résistance a, en soi, moins d’importance que la valeur moyenne de cette résistance.
27. Approximation réalisée par le mouvement osculateur à l’origine.
19 Cas d’une trajectoire de faible vitesse initiale et de faible coejficent balistique. — L’approximation ne sera acceptable que si la résistance n’est qu’une faible partie de la pesanteur. Donnons quelques exemples :
| "98 | 1060 mouvoient | mouvement || 'FOrtée exsêle Portée | hyperbolique | parabolique (Gâvre) dans le vide
300! 200 dl 3420,5 3419,5 3429,8 35314,7
