MOUVEMENTS RÉSISTANTS D’INDICE CONSTANT
Les formules trouvées dans l’étude des mouvements résistants parabolique et hyperbolique ont une analogie frappante : ce sont évidemment deux cas particuliers de mouvements résistants plus généraux. La propriété commune à ces deux mouvements la plus intéressante est, non pas que dans les deux cas la trajectoire soit une conique, mais que l’hodographe de la résistance est chaque fois une droite, ce qui revient à dire que l’indice est constant.
Nous nous proposons de chercher les propriétés des mouvements résistants dont l'indice est un nombre p déterminé : nous les appellerons « Mouvements (M,) ».
28. Équations des mouvements (M,). — Le mouvement est déterminé par les équations générales (5) des mouvements résistants auxquelles il faut joindre l’équation (13) donnant la valeur de p qui est ici constant. On obtient :
—— = VSinT,
EAN 2: CO8T
HERO vs HR RAS RE EURE
dt
dR R ; BRL EN RERNEs/ ee CN SONORE ; Fe , (— p £ Sn 5)
Transformons les trois dernières équations en prenant comme nouvelles inconnues, au lieu de ? et R :
LV /COS Tr, nr A /COs*,
elles prennent la forme plus simple :
dr £g Cos?r dt a HAT : du 1 ET SE (18) 7 dr TA AR EE
L’élimination de t entre les deux dernières donne :
ar du — = mm , r u c’est-à-dire, si p < 0:
To = (AA uP
du 7 CERN EE up, dt uP d’où l’on tire, si p 1 :
—p+1 (19) u LE
———— = —— (it —t — D ue 1 uP ( o) la constante t, étant obtenue en faisant t — 0:
u (2 ANR CAEN 2
— pr (U—pDR on tire de l’équation (19) :
et, par suite :
La valeur de + est donnée par la première équation (18) :
dt (din COS?t u Uo to ce qui donne, après intégration :
JAN An t Ut ANR tgr = tgro+ RE ( eue U P Lo
x et y se calculent à partir des deux premières équations (17) ; pour x, on obtient, si p <2:
2—P È 1 — FIN D udt = — u,t, k (17 :
o P Lo et pour 7 | 2-P BE = f\2 — D 6-y- [+ dr ter PRES ï. lo par) 4e —= — a ———— — Y / 8 0 ER > ; Fe 1— p
Fonctions balistiques dans les mouvements (M,),si p 0, 1 et 2.— Nous venons de trouver, en fonction de t, les expressions de , r, tgr, x et y, et par suite aussi de v et R. Remplaçons la constante #, par sa valeur, et faisons apparaître les fonctions balistiques définies au n° 12, nous obtenons comme expressions des éléments du mouvement d'indice p donné ( 0, 1, 2) d’éléments initiaux *,, #,, Rs, en Ron
Por
posant, comme nous l’avons déjà fait, s —
T = VWot COST À (S, D),
y = TigTo— - g?B(s,p),
tgT—=tg To — C(s,p),
Po COS To
9 COST = #, COS To D (s, p),
AD es
les fonctions balistiques À, B, C, D ayant les valeurs suivantes :
| ni À (5; pie EURE ane Le B (pi 1 PE | TS Be) ee —
d’autre part, R est donné par la relation :
R= Ro [1+(p— 18%.
On constate ce fait intéressant (que nous expliquerons au n° 51):
: ne Riot les fonctions balistiques ne dépendent que des = ©?
et de p.
oO
29. Cas particuliers d’intégration. — Dans le courant de l'intégration, nous avons fait trois hypothèses : p £ 0, p 1 p < 2. Donnons les expressions des fonctions balistiques dans ces
trois cas particuliers.
19 p = (0. La droite hodographe est parallèle à 0y. On obtient :
A(50)—47) RGO EEE
DD ee = D (s,0) = 1—s.
20 p = 1. On obtient :
À (s 1) ONE Re
30 p = 2. On obtient :
